第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试-2021-2022学年高一数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

新人教(2019)A版高一上学期
一元二次函数、方程和不等式单元测试卷
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、单项选择题（每小题5分,共40分）
1.
若集合,,则
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
2.
“”是“”的
【
】
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
3.
已知,,则
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
4.
下列说法正确的是
【
】
（A）若,则
（B）若,则
（C）若,则
（D）若,则
5.
若不等式≤0的解集为R,则实数的取值范围是
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
6.
设,且,则的最大值为
【
】
（A）77
（B）80
（C）81
（D）82
7.
已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
8.
若在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边长分别为,则其面积,其中.现有一个三角形的边长满足,则此三角形面积的最大值为
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）
9.
关于不等式的解集,下列判断正确的是
【
】
（A）不等式的解集为
（B）不等式≥0的解集为
（C）不等式的解集为
（D）不等式的解集为
10.
如果,给出下列不等式,其中一定成立的是
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）≥
11.
对于给定的实数,关于的一元二次不等式的解集可能为
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
12.
已知,,则的值可能是
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷
非选择题（共90分）
三、填空题（每小题5分,共20分）
13.
不等式的解集为________________.
14.
已知关于的不等式的解集是,则的解集为________________.
15.
若关于的不等式≤（R）的解集为,则__________,
__________.
16.
有材料可做72
m墙（不计高度和厚度）,如图所示,要做3间房,当4堵纵墙的长度相等且长度等于__________时,3间房的总面积达到最大值.
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
解下列不等式:
（1）≤1;
（2）≤0.
18.（本题满分12分）
（1）已知,求证:;
（2）已知,当取什么值时,的值最小?最小值是多少?
19.（本题满分12分）
已知R.
（1）求证:≥;
（2）若,求证:≥.
20.（本题满分12分）
已知,关于的不等式的解集为.
（1）求的值;
（2）正实数满足,求的最小值.
21.（本题满分12分）
已知函数（R）.
（1）求关于的不等式≤的解集;
（2）若对任意的1≤≤4,≥0恒成立,求实数的取值范围.
22.（本题满分12分）
某高科技公司研究开发了一种新产品,生产这种新产品的每天固定成本为30
000元,每生产件,需另投入成本为元,,每件产品售价为10
000元（该新产品在市场上供不应求可全部卖完）.
（1）写出每天利润关于每天产量的函数解析式;
（2）当每天产量为多少时,该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大?
新人教(2019)A版高一上学期
一元二次函数、方程和不等式单元测试卷答案解析
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、单项选择题（每小题5分,共40分）
1.
若集合,,则
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
答案
【
C
】
解析
本题考查集合的基本运算——交集运算以及分式不等式、一元二次不等式的解法.
解分式不等式的基本思路是把其转化为整式不等式求解.具体转化为同解整式不等式或由整式不等式组成的不等式组进行求解,注意分母不为0的限制.
分式不等式≤0同解于不等式组,解之得:≤.
∴.
解不等式得:.
∴.
∴.
∴选择答案【
C
】.
2.
“”是“”的
【
】
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
答案
【
B
】
解析
本题考查充分必要条件的判断.
判断充分必要条件的基本思路:
（1）先确定条件是什么,结论是什么;
（2）尝试用条件推结论,或由结论推条件;（必要时给出反例）;
（3）指出条件是结论的什么条件.
显然,由不能推出（实际上≥）,但由可以推出.
∴“”是“”的必要不充分条件.
∴选择答案【
B
】.
3.
已知,,则
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
答案
【
B
】
解析
本题考查作差法比较代数式的大小.
利用作差法比较大小的一般步骤为:
（1）作差;
（2）变形;
对差进行变形
（3）判号;
判断差的符号（如果差中含有参数,则需要进行分类讨论）
（4）定论.
根据差的符号作出大小判断.
即:
作差→变形→判号→定论.
作差法的关键在于变形,目的是判号.常用的变形有:因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等.
∵
∴
∴
∴.
∴选择答案【
B
】.
4.
下列说法正确的是
【
】
（A）若,则
（B）若,则
（C）若,则
（D）若,则
答案
【
B
】
解析
本题考查不等式的基本性质.
对于（A）,根据不等式的基本性质的拓展——倒数法则可知:.故（A）错误;
对于（B）,根据绝对值的几何意义可知:若,则.
另外,∵,∴,∴
∴,∴.故（B）正确;
对于（C）,当时,;当时,.∴≥.故（C）错误;
对于（D）,当时,若,则;当时,若,则.故（D）错误.
∴选择答案【
B
】.
5.
若不等式≤0的解集为R,则实数的取值范围是
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）答案
【
D
】
解析
本题考查与不等式有关的恒成立问题.注意分类讨论.
当时,不等式≤0恒成立,符合题意;
当时,则有,解之得:≤.
综上所述,实数的取值范围是.
∴选择答案【
D
】.
6.
设,且,则的最大值为
【
】
（A）77
（B）80
（C）81
（D）82
答案
【
C
】
解析
本题考查利用基本不等式求最值.
不等式链
≤≤≤（,当且仅当时,等号成立）
重要不等式
≤≤（R,当且仅当时,等号成立）
∵,
∴≤
当且仅当时,等号成立.
∴的最大值为81.
∴选择答案【
C
】.
点评
设,若（S为定值）,则当时,积取得最大值为.
7.
已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
答案
【
A
】
解析
本题考查利用基本不等式求最值和与一元二次不等式有关的恒成立问题.
∵恒成立
∴只需即可.
∵,
∴≥
当且仅当,即时,等号成立.
∴.
∴
∴,解之得:.
∴实数的取值范围是.
∴选择答案【
A
】.
点评
本题也可采用“消元法”求代数式的最小值.
∵,∴
∵
∴,解之得:.
∴
∴≥
当且仅当,即时,等号成立.
∴.
8.
若在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边长分别为,则其面积,其中.现有一个三角形的边长满足,则此三角形面积的最大值为
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
答案
【
D
】
解析
本题考查基本不等式的应用.
由题意可知:
∴≤
当且仅当,即时,等号成立.
∴S的最大值为.
∴选择答案【
D
】.
二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）
9.
关于不等式的解集,下列判断正确的是
【
】
（A）不等式的解集为
（B）不等式≥0的解集为
（C）不等式的解集为
（D）不等式的解集为
答案
【
BCD
】
解析
本题考查不等式的解法.
对于（A）,根据不等式的基本性质——可加性,解得:,∴不等式的解集为.故（A）错误;
对于（B）,≥0即≤0,它同解于不等式组,解之得:2≤.∴不等式≥0的解集为.故（B）正确;
对于（C）,∵,∴不等式的解集为.故（C）正确;
对于（D）,,,∴不等式的解集为.故（D）正确.
∴选择答案【
BCD
】.
10.
如果,给出下列不等式,其中一定成立的是
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）≥
答案
【
BD
】
解析
本题考查不等式的基本性质.
对于（A）,取,满足,但是.故（A）错误;
实际上,根据不等式性质的倒数法则,若,则.
对于（B）,
∵,,∴.
∴.故（B）正确;
对于（C）,取,满足,但是.故（C）错误;
实际上,根据作商法比较大小,有下面的结论:
（1）若,则;
（2）若,则.
对于（D）,当时,;当时,.∴≥.故（D）正确.
∴选择答案【
BD
】.
11.
对于给定的实数,关于的一元二次不等式的解集可能为
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
答案
【
ABCD
】
解析
本题考查含参不等式的解法.若二次项系数含有参数,应注意分类讨论.
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式同解于,解之得:或
∴原不等式的解集为;
当时,原不等式同解于.
①若,则原不等式的解集为;
②若,,则原不等式的解集为;
③若,则原不等式的解集为.
综上所述,当或时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
∴选择答案【
ABCD
】.
★12.
已知,,则的值可能是
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
答案
【
CD
】
解析
本题考查基本不等式的应用.
方法一:
∵,∴,∴.
∴.
∵
∴≥.
当时,,∴≥.
当且仅当,即时,等号成立;
当时,,∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为.
∴选择答案【
CD
】.
方法二:
∵,
∴,∴.
∵,∴分为两种情况:
当时,
≥.
当且仅当,即时,等号成立;
（或:）
当时,
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴选择答案【
CD
】.
第Ⅱ卷
非选择题（共90分）
三、填空题（每小题5分,共20分）
13.
不等式的解集为________________.
答案
解析
本题考查分式不等式的解法.
原不等式可变形为,它同解于不等式,解之得:或.
∴原不等式的解集为.
14.
已知关于的不等式的解集是,则的解集为________________.
答案
解析
本题考查一元二次不等式与对应一元二次方程之间的关系.一元二次不等式的解集的端点值,就是对应一元二次方程的实数根.
另外,一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.
∵不等式的解集是
∴,方程的两个实数根分别为和.
由根与系数的关系定理得:,∴.
∴可化为:.
∵,∴,解之得:.
∴不等式的解集为.
15.
若关于的不等式≤（R）的解集为,则__________,
__________.
答案
2
3
解析
本题考查不等式与对应方程之间的关系.
∵关于的不等式≤（R）的解集为
∴方程的两个实数根分别为1和2.
∴,解之得:.
∴的值为2,的值为3.
如下页图所示.
16.
有材料可做72
m墙（不计高度和厚度）,如图所示,要做3间房,当4堵纵墙的长度相等且长度等于__________时,3间房的总面积达到最大值.
答案
9
m
解析
本题考查基本不等式的应用和数学建模核心素养.
设3间房的总面积为m2,每堵纵墙的长为m,则有
≤
当且仅当,即时,等号成立.
∴当纵墙的长度为9
m时,3间房的总面积达到最大值,为162
m2.
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
解下列不等式:
（1）≤1;
（2）≤0.
解:（1）原不等式可化为≥0,它同解于不等式组.
解之得:≥或.
∴原不等式的解集为;
（2）当时,0≤0成立,满足不等式;
当时,,原不等式同解于≤0,解之得:≤≤2.
∴原不等式的解集为.
18.（本题满分12分）
（1）已知,求证:;
（2）已知,当取什么值时,的值最小?最小值是多少?
证明:（1）
∵
∴
∴,∴
∴;
（2）∵,∴.
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴当时,的值最小,最小值是5.
19.（本题满分12分）
已知R.
（1）求证:≥;
（2）若,求证:≥.
证明:（1）
≥0
∴≥;
（2）∵
∴
∴
∵
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴≥.
方法二:∵,∴.
∵,∴,解之得:.
∴
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴≥.
20.（本题满分12分）
已知,关于的不等式的解集为.
（1）求的值;
（2）正实数满足,求的最小值.
解:（1）∵不等式的解集为
∴方程的两个实数根分别为.
由根与系数的关系定理可得:,解之得:;
（2）∵,
∴
∴
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为9.
21.（本题满分12分）
已知函数（R）.
（1）求关于的不等式≤的解集;
（2）若对任意的1≤≤4,≥0恒成立,求实数的取值范围.
解:（1）∵≤
∴≤
∴≤0.
当时,原不等式的解集为;
当时,≤0,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
综上所述,当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
（2）∵≥0,∴≥0.
整理得:≤.
由题意可知,对任意的1≤≤4,≤恒成立.
当时,≤4恒成立,符合题意;
当≤4时,
∴≤恒成立,只需≤即可.
∵
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴.
∴≤4
∴实数的取值范围是.
22.（本题满分12分）
某高科技公司研究开发了一种新产品,生产这种新产品的每天固定成本为30
000元,每生产件,需另投入成本为元,,每件产品售价为10
000元（该新产品在市场上供不应求可全部卖完）.
（1）写出每天利润关于每天产量的函数解析式;
（2）当每天产量为多少时,该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大?
解:（1）;
（2）当时,
∴当时,取得最大值,最大值为;
当≥90时,≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∴当时,取得最大值,最大值为.
∵
∴当时,取得最大值,最大值为.
答:当每天产量为100件时,该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大.
高一数学试题
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