2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定同步练习题（Word版，含答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题（附答案）
1．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
2．如图，矩形ABCD，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连接CE，若OC＝cm，CD＝4cm，则DE的长为（　　）
A．cm
B．5cm
C．3cm
D．2cm
3．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（　　）
A．AB＝AD
B．∠AOB＝60°
C．AC⊥BD
D．∠OBC＝∠OCB
4．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2
B．1.5
C．2.4
D．2.5
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
A．5
B．2.5
C．4.8
D．2.4
6．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（　　）
A．1.5
B．2
C．2.4
D．2.5
7．如图，矩形ABCD的边AB＝2，若将矩形ABCD变形为?A'BCD'，并使得点A在水平方向移动的距离为1.5，则A'D'与BC的距离是
　
　．
8．如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为
　
　．
9．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE＝3∠EAB，则∠EAC的度数为　
　．
10．如图，在矩形ABCD中，AC＝5，AE平分∠DAC交CD于E，CF平分∠ACD交AE于点F，且EF：AF＝1：2，则CF＝　
　．
11．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为　
　．
12．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的是
　
　．
（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE＝．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AD上，且DE＝CD，连接OE，BE，AC与BE相交于点F，∠ABE＝∠ACB，则下列结论：①BE＝DE；②OE⊥BD；③△AEF是等腰三角形；④当AE＝2，则OE的长为，其中正确的结论是　
　．（填写所有正确结论的序号）
14．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，等于　
　．
15．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是
　
　．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，M是AD边上的一点，且AM＝2，点P在矩形ABCD所在的平面上，且∠BPD＝90°，则PM的最大值为　
　．
17．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是　
　．
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是　
　．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．
（1）当点F在对角线AC上时，求FC的长；
（2）当△FCE是直角三角形时，求BE的长．
20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
21．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．
22．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）若∠ADB＝30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO．
23．如图，在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线EF与边AD、BC分别交于点E、F，∠CAE＝∠FEA，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是矩形；
（2）若AB＝5，∠B＝60°，求出四边形AFCE的面积．
24．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：?ABCD是矩形；
（2）若AD＝4，cos∠ABE＝，求AC的长．
26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求的值．
27．如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F
（1）求证：OE＝CB；
（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AE∥BC，CE∥AD交于点E，连接DE，交AC于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝10，sin∠COE＝，求CE的长．
参考答案
1．解：如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．．
且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，
∵E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，
∴BP1＝t＝3，
∴t＝3．
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OA＝OC，AC＝2OC＝4，
∴AD＝＝＝8，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE＝8﹣5＝3（cm）；
故选：C．
3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、由四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝60°，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
4．解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
5．解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴PM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，
∴AP最短时，AP＝4.8，
∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．
故选：D．
6．解：连接BP，如图所示：
∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，
∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，
∴BP＝MN，BP与MN互相平分，
∵点O是MN的中点，
∴BO＝MN，
当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，
∴MN＝4.8，
∴BO＝MN＝2.4，
故选：C．
7．解：如图，延长A'H交AB于H，则A'H＝1.5，
∵将矩形ABCD变形为?A'BCD'，
∴AB＝A'B＝2，A'D'∥BC，
∴∠A'HB＝90°，
∴BH＝＝＝，
∴A'D'与BC的距离为，
故答案为：．
8．解：连接AO，
∵四边形CDGH是矩形，
∴CG＝DH，OC＝CG，OD＝DH，
∴OC＝OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
在△ACO和△ADO中，
，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠OAB＝∠CAO＝30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，
∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝×10＝5，
即OB的最小值为5．
故答案为：5．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的对角线且相交于O，
∴OA＝OB，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵∠DAE＝3∠BAE，∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°．
∵在矩形ABCD，∠DAE+∠ADB＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE＝67.5°，即∠BAC＝∠ABD＝67.5°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45°．
10．解：作FG⊥AC于点G，作FM⊥CD于点M，作FN⊥AD于点N，
∵CF平分∠ACD交AE于点F，且EF：AF＝1：2，
∴CE：CA＝1：2，
∵AC＝5，
∴CE＝，
∵AE平分∠DAC，CF平分∠ACD，
∴FG＝FM＝FN，
∵FM⊥CD，AD⊥CD，EF：AF＝1：2，
设FM＝x，
则AD＝3x，
同理可得，△ANF∽△AED，
则DE＝x，
∴CD＝x，
∵∠D＝90°，AD＝3x，AC＝5，
∴（x）2+（3x）2＝52，
解得x1＝1，x2＝（舍去），
∴FM＝1，CM＝×1﹣1＝3，
又∵∠CMF＝90°，
∴CF＝＝，
故答案为：．
11．解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴AC＝，
由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，
∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，
故答案为：8．
12．解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG＝AG＝GE＝AE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE＝2a，则OE＝OG＝a，
由勾股定理得，AO＝＝＝a，
∵O为AC中点，
∴AC＝2AO＝2a，
∴BC＝AC＝×2a＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DC＝3OG，故（1）正确；
∵OG＝a，BC＝a，
∴OG≠BC，故（2）错误；
∵S△AOE＝a?a＝a2，SABCD＝3a?a＝3a2，
∴S△AOE＝S矩形ABCD，故（4）正确；
综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAE＝90°，
∵DE＝CD，
∴AB＝DE，
∵AB＜BE，
∴BE≠DE，故①错误；
∵BO＝DO，BE≠DE，
∴OE与BD不垂直，故②错误；
如图，作CH⊥BE于H，EG⊥BD于G．设BE与AC的交点为F．
则∠HBC+∠BCH＝∠BHC＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，AC＝BD
∴∠ABE+∠CBH＝90°，
∴∠ABE＝∠BCH，
∵∠ABE＝∠ACB，
∴∠BCH＝∠GCH，
∴BH＝FH，BC＝CG，∠CBH＝∠CGH，
设AB＝x，则ED＝CD＝AB＝x，
∵AE＝2，所以AD＝AE+ED＝2+x，
∴CB＝CF＝2+x，
∵AD∥BC，
∴∠AEG＝∠CBH＝∠CGH＝∠AGE，
∴AF＝AE＝2，故③正确；
∴AC＝AG+CG＝4+x，
在Rt△ABC中：AB2+BC2＝AC2，
∴x2+（x+2）2＝（x+4）2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍），
∴AB＝CD＝6，AD＝AC＝8，AC＝BD＝10，
∵AC与BD交于点O，
∴AO＝BO＝CO＝DO＝5，
∴EG＝ED＝，DG＝ED＝，
∴OG＝OD﹣DG＝5﹣＝，
在Rt△OGE中：
OE2＝EG2+OG2＝（）2+（）2＝＝13，
∴OE＝，故④正确．
故其中正确的结论是③④．
故答案为：③④．
14．解：如图，
∵∠ADC＝∠HDF＝90°，
∴∠CDM＝∠NDH，
在△CDM和△HDN中，
，
∴△CDM≌△HDN（ASA），
∴MD＝ND，
∴四边形DNKM是菱形，
∴KM＝DM，
∵sinα＝sin∠DMC＝，
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD＝acm＝BM，则CM＝（8﹣a）（cm），
∵MD2＝CD2+MC2，
∴a2＝4+（8﹣a）2，
∴a＝，
∴CM＝（cm），
＝．
15．解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，
∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，
∴AE＝BE＝3＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，
∴DE＝＝，
∵OD≤OE+DE，
∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．
∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+，
故答案为：3+．
16．解：连接BD，以BD为直径作⊙O，则点P在⊙O上，作OE⊥AD于E，连接OM，PM，OP．
∵OE⊥AD，
∴AE＝DE＝4，
∵OB＝OD，AE＝DE，
∴OE＝AB＝3，
∵AM＝2，
∴EM＝AE﹣AM＝2，
∴OM＝＝＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，BC＝AD＝8，
∴BD＝＝＝10，
∴OP＝OB＝OD＝5，
∵PM≤OM+OP，
∴PM≤+5，
∴PM的最大值为+5，
故答案为+5．
17．解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB＝∠EFB′＝60°，∠B＝∠A′B′F＝90°，∠A＝∠A′＝90°，AE＝A′E＝2，AB＝A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF＝∠EFB＝∠EB′F＝60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°，
∴B′E＝2A′E，而A′E＝2，
∴B′E＝4，
∴A′B′＝2，即AB＝2，
∵AE＝2，DE＝6，
∴AD＝AE+DE＝2+6＝8，
∴矩形ABCD的面积＝AB?AD＝2×8＝16．
故答案为：16．
18．解：连接CP，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形EPFC是矩形，
∴EF＝CP，
即EF表示C与边AB上任意一点的距离，
根据垂线段最短，
过C作CD⊥AB，
当EF＝DC最短，
根据三角形面积公式得：AC×BC＝AB×CD，
∴CD＝，
故答案为：．
19．解：（1）如图所示：
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝＝，
∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE，
∴AF＝AB＝2，
∴FC＝AC﹣AF＝﹣2．
（2）当△FCE是直角三角形时，
①当∠CFE是直角时，如（1）图所示：
由题意可知点F在对角线AC上，且EF⊥AC，
设BE＝x，则EF＝x，
∴S△ABC＝×3×2＝3，
S△ABE＝×2×x＝x，
S△ACE＝××x，
∴3＝x+x，
解得：x＝2﹣4．
∴BE＝2﹣4．
②当∠FCE是直角时，如图所示：
∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．
∴AB＝AF，BE＝EF，
在Rt△ADF中，AD＝3，AF＝2，
∴DF＝＝＝，
CF＝DC﹣CE＝2﹣＝，
设BE＝x，则EF＝x，CE＝3﹣x，
∴在Rt△ADF中，
EF2＝CE2+CF2，
x2＝（3﹣x）2+，
解得：x＝2，
∴BE＝EF＝2；
③当E在BC延长线上时，此时∠CEF是直角，如图所示：
由题意得：BE＝AB＝EF＝2．
④当E在BC延长线上，∠ECF＝90°时，如图所示：
在Rt△ADF中，
DF＝＝＝＝，
∴CF＝3，
设BE＝t，则EF＝t，CE＝t﹣3，
在Rt△ECF中，
∵CF2+CE2＝EF2，
即（3）2+（t﹣3）2＝t2，
解得：t＝6，
∴BE＝6．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6，
∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，
∴矩形ABCD的面积＝AB?BC＝6×6＝36．
21．（1）证明：∵O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵矩形ABCD的边AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∵EF⊥AC，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：∵AE＝10cm，四边形AFCE是菱形，
∴AF＝AE＝10cm，
设AB＝x，∵△ABF的面积为24cm2，
∴BF＝，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，AB2+BF2＝AF2，
即x2+（）2＝102，
x4﹣100x2+2304＝0，
解得，x1＝6，x2＝8，
∴BF＝＝8cm，BF＝＝6cm，
所以，△ABF的周长＝6+8+10＝24cm．
22．解：（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴四边形AEBO是菱形；
（2）∵四边形AEBO是菱形，
∴AO＝BE，AO∥EB，
∴∠COF＝∠EBF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC＝OB＝OD，
∴EB＝OC，
在△COF和△EBF中，
，
∴△COF≌△EBF（AAS），
∴OF＝BF，
∵∠ADB＝30°，AO＝OD，
∴∠ADB＝∠DAO＝30°，
∴∠AOB＝∠ADB+∠DAO＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵OF＝BF，
∴AF平分∠BAO．
23．（1）证明：∵∠OAE＝∠OEA，
∴OA＝OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠OCF＝∠OAE，∠OFC＝∠OEA，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴OF＝OC，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∴OA＝OC＝OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，AC＝EF，
∴四边形AFCE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，
由（1）得：四边形AFCE是矩形，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝，AF＝BF＝，
∴CF＝BC﹣BF＝，
∴矩形AFCE的面积＝CF×AF＝×＝．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴平行四边形AMCN是矩形；
（2）解：由（1）得：MN＝AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝45°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴MN＝2．
25．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴?ABCD是矩形；
（2）∵?ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠CAD＝∠ABE，
在Rt△ACD中，AD＝4，
∴AC＝10．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，
∵在菱形ABCD中，AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，
∴∠OEC＝∠OCE，
由（1）知，四边形AECF为矩形；
∴∠AEC＝90°，
∵AE＝4，
∴BE＝＝3，
∴CE＝3+5＝8，
∴＝＝．
27．（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC为矩形，
∴OE＝CB．
（2）解：设OC＝x，则OB＝2x，
∴BC＝＝x．
∵BC＝OE＝2，
∴x＝2，
∴OC＝2，OB＝4，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝2OC?OB＝16．
28．（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC于点D，
∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是矩形；
（2）解：过点E作EF⊥AC于F．
∵AB＝10，
∴AC＝10，
∵对角线AC，DE交于点O，
∴DE＝AC＝10，
∴OE＝5，
∵sin∠COE＝，
∴EF＝4，
∴OF＝3，
∵OE＝OC＝5，
∴CF＝2．
∴CE＝．