2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定同步练习（Word版，含答案解析）

第1章第3节正方形的性质与判定
一、选择题（共7小题；共35分）
1.
下列条件可以利用定义说明平行四边形
是正方形的是
A.
，
B.
，
C.
，
D.
以上均错
2.
菱形、矩形、正方形都具有的性质是
A.
四条边相等，四个角相等
B.
对角线相等
C.
对角线互相垂直
D.
两组对边分别平行且相等
3.
将五个边长都为
的正方形按如图所示的方式摆放，点
，，，
分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为
A.
B.
C.
D.
4.
如图，正方形
的边长为
，
在
上，且
，
是
上一动点，则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
5.
下列说法正确的个数是
①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；
②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
A.
B.
C.
D.
6.
我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线长分别为
和
的菱形，它的中点四边形的对角线长是
A.
B.
C.
D.
7.
如图，在正方形
中，点
，
分别在
，
上，且
，连接
，，相交于点
，则下列结论不正确的是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共8小题；共40分）
8.
如图，点
是正方形
内位于对角线
下方的一点，，则
的度数为
?
．
9.
如图，在
中，，点
，
分别是边
，
的中点．延长
到点
，使
，得四边形
．若使四边形
是正方形，则应在
中再添加一个条件是
?．
10.
如图，正方形
的周长为
，依次连接正方形
各边的中点，得到四边形
，则四边形
的形状是
?，四边形
的周长等于
?
，四边形
的面积等于
?
．
11.
如图，在正方形
中，点
是
上的一点，
与
交于点
．若
，则
?．
12.
如图，在正方形
中，
是对角线
上一点，
的延长线交
于点
，连接
．若
，则
?
．
13.
如图，已知正方形
的边长为
，则图中阴影部分的面积为
?
．
14.
如图，正方形
的边长为
，正方形
的边长为
．如果正方形
绕点
旋转，那么
，
两点之间的最小距离为
?
．
15.
如图，将正方形
放在平面直角坐标系中，
是坐标原点，点
的坐标为
，则点
的坐标为
?．
三、解答题（共6小题；共75分）
16.
如图，四边形
是正方形，
为
上一点，连接
，延长
至点
，使得
，过点
作
，垂足为
．求证：．
17.
如图，在正方形
中，
是
边上一点，
是
延长线上一点，．
（1）求证：；
（2）若点
在
边上，且
，，，求
的长．
18.
如图①，四边形
是正方形，
是
边上的一个动点（点
与点
，
不重合），以
为一边在正方形
外作正方形
，连接
，．
（1）猜想图①中线段
，线段
的长度关系及所在直线的位置关系，并说明理由；
（2）将图①中的正方形
绕着点
按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度
，得到如图②，③的情形．请你通过观察、测量等方法判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断．
19.
已知：如图，点
是
中
边上的中点，，，垂足分别是点
，且
．
（1）求证：；
（2）问：
满足什么条件时，四边形
是正方形，并说明理由．
20.
如图，在矩形
中，
和
边上分别存在一点
，，使得
，．
求证：矩形
是正方形．
21.
我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图，点
是四边形
内一点，且满足
，，，点
，，，
分别为边
，，，
的中点，猜想中点四边形
的形状，并证明你的猜想；
（2）若改变（）中的条件，使
，其他条件不变，直接写出中点四边形
的形状（不必证明）．
答案
1.
B
【解析】正方形定义中需要的条件是一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形，符合这一条件的只有选项B．
2.
D
【解析】矩形的四条边可能不相等，菱形的四个角可能不相等，故选项A不符合题意；
菱形的对角线可能不相等，故选项B不符合题意；
矩形的对角线可能不互相垂直，故选项C不符合题意；
菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，都具有两组对边分别平行且相等的性质，故选项D符合题意．
故选D．
3.
B
【解析】取题图中前两个正方形，如图，连接
，，点
是正方形
的中心，
则
，，
，
，，
四边形
的面积等于
的面积．
的面积是正方形
的面积的
，正方形
的面积为
，
四边形
的面积为
，
四块阴影面积的和为
．
故选B．
4.
C
【解析】连接
，由正方形的对称性，知
，则
的最小值即为
的最小值，也就是线段
的长．
连接
，在
中，，
（舍负）．
5.
D
【解析】①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形，故①正确；
②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形，故②正确；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故③正确；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故④正确．
综上所述，正确的个数为
，
故选D．
6.
A
【解析】如图，
，，，，，
分别为各边中点，
，，，，
四边形
是平行四边形，
，
，
四边形
是矩形，
，，
．
故选A．
7.
C
【解析】因为四边形
是正方形，
所以
，，
又因为
，
所以
，
所以
，，，
所以A正确，C错误；
因为
，，，
所以
，
所以B正确；
因为
，，
所以
，
所以
，
所以
，
所以D正确．
8.
【解析】
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
．
9.
（答案不唯一）
【解析】（答案不唯一）当
时，四边形
是正方形．
理由：
是
的中点，
，
又
，
四边形
是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形
是矩形，
点
，
分别是边
，
的中点，
，
，
，
矩形
是正方形．
10.
正方形，，
11.
12.
【解析】因为正方形
中，，
所以
，，
因为
，，，
所以
，
所以
，
因为
是
的外角，
所以
，
故答案为：．
13.
14.
【解析】当点
在正方形
的对角线
上时，，当点
不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知
，
当点
在正方形
的对角线
上时，，
两点之间的距离最小，
．
15.
【解析】如图，过点
作
轴的垂线
，垂足为
，过点
作
轴的垂线
，垂足为
，连接
，
交于点
，
则
．
四边形
是正方形，
，，
，
又
，
，在
与
中，
（），
，，
，
，
点
与点
关于点
对称，
点
的坐标为
．
16.
四边形
是正方形，
，，
，
，
，
又
，
，
．
17.
（1）
四边形
是正方形，
，，
在
和
中，
，
．
??????（2）
由（）知
，
，，
，
即
，
又
，
，
在
和
中，
，
．
18.
（1）
，．理由如下：
如图①，
四边形
和四边形
都是正方形，
，，，
，
，．
延长
交
于点
．
，，，
，
．
，即
．
??????（2）
，
仍然成立．
证明：如图②，
设
与
相交于点
，
与
相交于点
．
四边形
，四边形
都是正方形，
，，．
．
．
，．
又
，，
，
，
．
19.
（1）
，，
，
点
是
中
边上的中点，
，在
和
中，
（）；
??????（2）
当
满足
（答案不唯一）时，四边形
是正方形；理由如下：
，，
四边形
是矩形，
，
，
四边形
是正方形．
20.
如图，连接
，
在
和
中，
，
，
．
在矩形
中，，
又
，
，
矩形
是正方形．
21.
（1）
四边形
是菱形，
证明：
如图，连接
，．
因为
，
所以
，
即
，
在
和
中，
所以
，
所以
，
因为点
，，，
分别为
，，，
的中点，
所以
，，，，
所以
，
所以四边形
是菱形．
??????（2）
四边形
是正方形．
【解析】理由：如图，设
，
交于点
，
与
交于点
，
与
交于点
，
因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
因为
，，
所以
，
即
，
因为四边形
是菱形，
所以四边形
是正方形．