2021-2022学年 北师大版 八年级数学上册 2.7.2 二次根式的四则运算 同步练习卷（Word版 含解析）

2.7.2
二次根式的四则运算
一、填空题
1.计算：×＝　　．
2如果最简二次根式与是同类根式，那么a＝　　．
3若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是　　（写出一个符合条件的即可）．
4对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“?”如下：a?b＝，如：3?2＝＝，那么12?4＝　　．
5在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为　　．
3
2
1
6
3
6计算：﹣+＝　　．
7计算的结果是　　．
8计算÷3×的结果是
　　．
9已知：﹣＝a﹣＝b，则ab＝　　．
二、选择题
10下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
12下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（　　）
A．与
B．与
C．与
D．与
13下列运算正确的是（　　）
A．+＝
B．×＝
C．＝﹣2
D．＝3
三、解答题
14计算：
（1）2﹣×；
（2）﹣+×；
（3）|1﹣|﹣2+7+×；
（4）（+2）2﹣（﹣2）（+2）．
15已知ab＝，则a+b＝　　．
16七巧板被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板（如图1）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形，则该凸六边形（如图2）的周长是　　．
17若m＝2+，则代数式m2﹣4m﹣6的值为　　．
18已知x＝，y＝，则x2+y2﹣xy的值是　　．
19已知x＝﹣，y＝+，求x2+3xy+y2的值．
20阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m，n，使m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2，
∴＝＝1+．
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）；
（2）．
2.7.2
二次根式的四则运算
一、填空题
1.计算：×＝　　．
【考点】二次根式的乘除法．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：×＝；
故答案为：．
2如果最简二次根式与是同类根式，那么a＝　　．
【考点】最简二次根式；同类二次根式．版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】利用同类二次根式定义计算即可求出a的值．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴4a﹣2＝1+a，
解得：a＝1．
故答案为：1．
3若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是　　（写出一个符合条件的即可）．
【考点】无理数；二次根式的乘除法．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
4对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“?”如下：a?b＝，如：3?2＝＝，那么12?4＝　　．
【考点】实数的运算．版权所有
【专题】新定义；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．
【解答】解：12?4＝＝．
故答案为：．
5在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为　　．
3
2
1
6
3
【考点】实数的运算．版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【解答】解：设方格中两个空格代表的实数分别为x，y．
由题意可得：xy＝，
xy＝．
故答案为：．
6计算：﹣+＝　　．
【考点】二次根式的加减法．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝﹣+2
＝3．
故答案为：3．
7计算的结果是　　．
【考点】分母有理化；二次根式的混合运算．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝＝＝．
故答案为：．
8计算÷3×的结果是
　　．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．版权所有
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】1．
【分析】按从左往右依次计算，也可以把除法化为乘法计算．
【解答】解：原式＝3÷3×
＝×
＝
＝1．
故答案为：1．
9已知：﹣＝a﹣＝b，则ab＝　　．
【考点】二次根式的加减法．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接化简二次根式进而得出a，b的值求出答案．
【解答】解：原式＝3﹣＝a﹣＝b，
故a＝3，b＝2，
则ab＝6．
故答案为：6．
二、选择题
10下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】同类二次根式．版权所有
【答案】B
【分析】化简各选项后，根据同类二次根式的定义判断．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与是同类二次根式，符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：B．
11下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的性质与化简；同类二次根式．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同类二次根式的概念进行分析排除，即几个最简二次根式的被开方数相同，则它们是同类二次根式．
【解答】解：A、与是同类二次根式，选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，选项符合题意；
C、与是同类二次根式，选项不符合题意；
D、与是同类二次根式，选项不符合题意；
故选：B．
12下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（　　）
A．与
B．与
C．与
D．与
【考点】同类二次根式．版权所有
【答案】C
【分析】将各选项的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同判断即可．
【解答】A、＝，和＝是同类二次根式，故本选项错误；
B、＝和＝是同类二次根式，故本选项错误；
C、＝|x|和＝|y|不是同类二次根式，故本选项正确；
D、＝a2和＝a是同类二次根式，故本选项错误．
故选：C．
13下列运算正确的是（　　）
A．+＝
B．×＝
C．＝﹣2
D．＝3
【考点】二次根式的混合运算．版权所有
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：与不是同类二次根式，故不能合并为一项，故选项A错误；
＝，故选项B错误；
＝2，故选项C错误；
＝3，故选项D正确；
故选：D．
三、解答题
14计算：
（1）2﹣×；
（2）﹣+×；
（3）|1﹣|﹣2+7+×；
（4）（+2）2﹣（﹣2）（+2）．
【考点】平方差公式；分母有理化；二次根式的混合运算．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）﹣2．
（2）1+2．
（3）﹣2+1．
（4）8+4．
【分析】（1）根据二次根式的减法运算以及乘法运算法则即可求出答案．
（2）根据二次根式的乘除运算以及加减运算法则即可求出答案．
（3）根据绝对值的性质、二次根式的乘法运算以及加减运算法则即可求出答案．
（4）根据完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2、平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣4
＝﹣2．
（2）原式＝+1﹣+2
＝1+2．
（3）原式＝﹣1﹣4++2
＝﹣2+1．
（4）原式＝5+4+4﹣（5﹣4）
＝5+4+4﹣1
＝8+4．
15已知ab＝，则a+b＝　　．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】±3．
【分析】直接利用二次根式的性质化简，再把已知代入得出答案．
【解答】解：∵ab＝，
∴a，b同号，
当a，b都大于0，
a+b＝a?+b?
＝2，
∵ab＝，
∴原式＝2＝2×＝3．
当a，b都小于0，
a+b＝﹣a?﹣b?
＝﹣2，
∵ab＝，
∴原式＝﹣2＝﹣2×＝﹣3．
综上所述：a+b＝±3．
故答案为：±3．
16七巧板被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板（如图1）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形，则该凸六边形（如图2）的周长是　　．
【考点】七巧板．版权所有
【专题】矩形
菱形
正方形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出凸六边形的周长．
【解答】解：如图所示：图形1：边长分别是：4，2，2；
图形2：边长分别是：4，2，2；
图形3：边长分别是：2，，；
图形4：边长是：；
图形5：边长分别是：2，，；
图形6：边长分别是：，2；
图形7：边长分别是：2，2，2；
∴凸六边形的周长＝2+2×2+2+×4＝4+8；
故答案为：4+8．
17若m＝2+，则代数式m2﹣4m﹣6的值为　　．
【考点】二次根式的化简求值．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】0．
【分析】先变形已知条件得到m﹣2＝，两边平方可得m2﹣4m＝6，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m＝2+，
∴m﹣2＝，
∴（m﹣2）2＝10，
即m2﹣4m+4＝10，
∴m2﹣4m＝6，
∴m2﹣4m﹣6＝6﹣6＝0．
故答案为0．
18已知x＝，y＝，则x2+y2﹣xy的值是　　．
【考点】完全平方公式；二次根式的化简求值．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出x+y和xy的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出即可．
【解答】解：∵x＝，y＝，
∴x+y＝+＝，xy＝×＝1，
∴x2+y2﹣xy＝（x+y）2﹣3xy＝（）2﹣3×1＝2，
故答案为：2．
19已知x＝﹣，y＝+，求x2+3xy+y2的值．
【考点】分母有理化；二次根式的化简求值．版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【答案】28．
【分析】先把代数式化为（x+y）2+xy，再把x，y的值代入代数式，很容易求得．
【解答】解：∵x＝﹣，y＝+，
∴x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
＝（﹣++）2+（﹣）（+）
＝24+6﹣2
＝28．
20阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m，n，使m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2，
∴＝＝1+．
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）；
（2）．
【考点】完全平方公式；二次根式的性质与化简．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）2+；
（2）﹣．
【分析】（1）（2）根据完全平方公式把原式变形，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵7+4＝4+4+3＝22+2×2×+（）2＝（2+）2，
∴＝＝2+；
（2）∵5﹣2＝3﹣2+2＝（）2﹣2××+（）2＝（﹣）2，
∴＝＝﹣．