2.7.2
二次根式的四则运算
一、填空题
1.计算:×= .
2如果最简二次根式与是同类根式,那么a= .
3若计算×m的结果为正整数,则无理数m的值可以是 (写出一个符合条件的即可).
4对于任意两个不相等的数a,b,定义一种新运算“?”如下:a?b=,如:3?2==,那么12?4= .
5在如图方格中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则2个空格的实数之积为 .
3
2
1
6
3
6计算:﹣+= .
7计算的结果是 .
8计算÷3×的结果是
.
9已知:﹣=a﹣=b,则ab= .
二、选择题
10下列二次根式中,与是同类二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
11下列二次根式中,与不是同类二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
12下列各组二次根式中,不是同类二次根式的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
13下列运算正确的是( )
A.+=
B.×=
C.=﹣2
D.=3
三、解答题
14计算:
(1)2﹣×;
(2)﹣+×;
(3)|1﹣|﹣2+7+×;
(4)(+2)2﹣(﹣2)(+2).
15已知ab=,则a+b= .
16七巧板被誉为“东方魔板”.小明利用七巧板(如图1)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形,则该凸六边形(如图2)的周长是 .
17若m=2+,则代数式m2﹣4m﹣6的值为 .
18已知x=,y=,则x2+y2﹣xy的值是 .
19已知x=﹣,y=+,求x2+3xy+y2的值.
20阅读材料:把根式进行化简,若能找到两个数m,n,使m2+n2=x且mn=,则把x±2变成m2+n2±2mn=(m±n)2开方,从而使得化简.
例如:化简.
解:∵3+2=1+2+2=12+()2+2×1×=(1+)2,
∴==1+.
请你仿照上面的方法,化简下列各式:
(1);
(2).
2.7.2
二次根式的四则运算
一、填空题
1.计算:×= .
【考点】二次根式的乘除法.版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可.
【解答】解:×=;
故答案为:.
2如果最简二次根式与是同类根式,那么a= .
【考点】最简二次根式;同类二次根式.版权所有
【专题】实数;运算能力.
【答案】1.
【分析】利用同类二次根式定义计算即可求出a的值.
【解答】解:∵最简二次根式与是同类根式,
∴4a﹣2=1+a,
解得:a=1.
故答案为:1.
3若计算×m的结果为正整数,则无理数m的值可以是 (写出一个符合条件的即可).
【考点】无理数;二次根式的乘除法.版权所有
【专题】二次根式;运算能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式的性质得出符合题意的答案.
【解答】解:若计算×m的结果为正整数,则无理数m的值可以是:(答案不唯一).
故答案为:(答案不唯一).
4对于任意两个不相等的数a,b,定义一种新运算“?”如下:a?b=,如:3?2==,那么12?4= .
【考点】实数的运算.版权所有
【专题】新定义;应用意识.
【答案】见试题解答内容
【分析】先依据定义列出算式,然后再进行计算即可.
【解答】解:12?4==.
故答案为:.
5在如图方格中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则2个空格的实数之积为 .
3
2
1
6
3
【考点】实数的运算.版权所有
【专题】实数;运算能力.
【答案】.
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到,然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是,即可求解.
【解答】解:设方格中两个空格代表的实数分别为x,y.
由题意可得:xy=,
xy=.
故答案为:.
6计算:﹣+= .
【考点】二次根式的加减法.版权所有
【专题】二次根式;运算能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案.
【解答】解:原式=﹣+2
=3.
故答案为:3.
7计算的结果是 .
【考点】分母有理化;二次根式的混合运算.版权所有
【专题】二次根式;运算能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.
【解答】解:原式===.
故答案为:.
8计算÷3×的结果是
.
【考点】二次根式的性质与化简;二次根式的乘除法.版权所有
【专题】计算题;二次根式;运算能力.
【答案】1.
【分析】按从左往右依次计算,也可以把除法化为乘法计算.
【解答】解:原式=3÷3×
=×
=
=1.
故答案为:1.
9已知:﹣=a﹣=b,则ab= .
【考点】二次根式的加减法.版权所有
【专题】二次根式;运算能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】直接化简二次根式进而得出a,b的值求出答案.
【解答】解:原式=3﹣=a﹣=b,
故a=3,b=2,
则ab=6.
故答案为:6.
二、选择题
10下列二次根式中,与是同类二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】同类二次根式.版权所有
【答案】B
【分析】化简各选项后,根据同类二次根式的定义判断.
【解答】解:A、与不是同类二次根式,不符合题意;
B、与是同类二次根式,符合题意;
C、与不是同类二次根式,不符合题意;
D、与不是同类二次根式,不符合题意;
故选:B.
11下列二次根式中,与不是同类二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】二次根式的性质与化简;同类二次根式.版权所有
【专题】二次根式;运算能力.
【答案】B
【分析】根据同类二次根式的概念进行分析排除,即几个最简二次根式的被开方数相同,则它们是同类二次根式.
【解答】解:A、与是同类二次根式,选项不符合题意;
B、与不是同类二次根式,选项符合题意;
C、与是同类二次根式,选项不符合题意;
D、与是同类二次根式,选项不符合题意;
故选:B.
12下列各组二次根式中,不是同类二次根式的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
【考点】同类二次根式.版权所有
【答案】C
【分析】将各选项的二次根式化为最简,然后根据同类二次根式的被开方数相同判断即可.
【解答】A、=,和=是同类二次根式,故本选项错误;
B、=和=是同类二次根式,故本选项错误;
C、=|x|和=|y|不是同类二次根式,故本选项正确;
D、=a2和=a是同类二次根式,故本选项错误.
故选:C.
13下列运算正确的是( )
A.+=
B.×=
C.=﹣2
D.=3
【考点】二次根式的混合运算.版权所有
【专题】计算题;二次根式;运算能力.
【答案】D
【分析】根据各个选项中的式子,可以计算出正确的结果,从而可以解答本题.
【解答】解:与不是同类二次根式,故不能合并为一项,故选项A错误;
=,故选项B错误;
=2,故选项C错误;
=3,故选项D正确;
故选:D.
三、解答题
14计算:
(1)2﹣×;
(2)﹣+×;
(3)|1﹣|﹣2+7+×;
(4)(+2)2﹣(﹣2)(+2).
【考点】平方差公式;分母有理化;二次根式的混合运算.版权所有
【专题】二次根式;运算能力.
【答案】(1)﹣2.
(2)1+2.
(3)﹣2+1.
(4)8+4.
【分析】(1)根据二次根式的减法运算以及乘法运算法则即可求出答案.
(2)根据二次根式的乘除运算以及加减运算法则即可求出答案.
(3)根据绝对值的性质、二次根式的乘法运算以及加减运算法则即可求出答案.
(4)根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2、平方差公式(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2即可求出答案.
【解答】解:(1)原式=2﹣4
=﹣2.
(2)原式=+1﹣+2
=1+2.
(3)原式=﹣1﹣4++2
=﹣2+1.
(4)原式=5+4+4﹣(5﹣4)
=5+4+4﹣1
=8+4.
15已知ab=,则a+b= .
【考点】二次根式的性质与化简;二次根式的加减法.版权所有
【专题】二次根式;运算能力.
【答案】±3.
【分析】直接利用二次根式的性质化简,再把已知代入得出答案.
【解答】解:∵ab=,
∴a,b同号,
当a,b都大于0,
a+b=a?+b?
=2,
∵ab=,
∴原式=2=2×=3.
当a,b都小于0,
a+b=﹣a?﹣b?
=﹣2,
∵ab=,
∴原式=﹣2=﹣2×=﹣3.
综上所述:a+b=±3.
故答案为:±3.
16七巧板被誉为“东方魔板”.小明利用七巧板(如图1)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形,则该凸六边形(如图2)的周长是 .
【考点】七巧板.版权所有
【专题】矩形
菱形
正方形;运算能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长,即可求出凸六边形的周长.
【解答】解:如图所示:图形1:边长分别是:4,2,2;
图形2:边长分别是:4,2,2;
图形3:边长分别是:2,,;
图形4:边长是:;
图形5:边长分别是:2,,;
图形6:边长分别是:,2;
图形7:边长分别是:2,2,2;
∴凸六边形的周长=2+2×2+2+×4=4+8;
故答案为:4+8.
17若m=2+,则代数式m2﹣4m﹣6的值为 .
【考点】二次根式的化简求值.版权所有
【专题】二次根式;运算能力.
【答案】0.
【分析】先变形已知条件得到m﹣2=,两边平方可得m2﹣4m=6,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:∵m=2+,
∴m﹣2=,
∴(m﹣2)2=10,
即m2﹣4m+4=10,
∴m2﹣4m=6,
∴m2﹣4m﹣6=6﹣6=0.
故答案为0.
18已知x=,y=,则x2+y2﹣xy的值是 .
【考点】完全平方公式;二次根式的化简求值.版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出x+y和xy的值,再根据完全平方公式进行变形,最后代入求出即可.
【解答】解:∵x=,y=,
∴x+y=+=,xy=×=1,
∴x2+y2﹣xy=(x+y)2﹣3xy=()2﹣3×1=2,
故答案为:2.
19已知x=﹣,y=+,求x2+3xy+y2的值.
【考点】分母有理化;二次根式的化简求值.版权所有
【专题】计算题;运算能力.
【答案】28.
【分析】先把代数式化为(x+y)2+xy,再把x,y的值代入代数式,很容易求得.
【解答】解:∵x=﹣,y=+,
∴x2+3xy+y2
=(x+y)2+xy
=(﹣++)2+(﹣)(+)
=24+6﹣2
=28.
20阅读材料:把根式进行化简,若能找到两个数m,n,使m2+n2=x且mn=,则把x±2变成m2+n2±2mn=(m±n)2开方,从而使得化简.
例如:化简.
解:∵3+2=1+2+2=12+()2+2×1×=(1+)2,
∴==1+.
请你仿照上面的方法,化简下列各式:
(1);
(2).
【考点】完全平方公式;二次根式的性质与化简.版权所有
【专题】二次根式;运算能力.
【答案】(1)2+;
(2)﹣.
【分析】(1)(2)根据完全平方公式把原式变形,根据二次根式的性质化简即可.
【解答】解:(1)∵7+4=4+4+3=22+2×2×+()2=(2+)2,
∴==2+;
(2)∵5﹣2=3﹣2+2=()2﹣2××+()2=(﹣)2,
∴==﹣.