2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定同步练习题（Word版，含答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步练习题（附答案）
1．如图正方形OABC中，O是坐标原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标是（　　）
A．（﹣，1）
B．（﹣1，）
C．（，1）
D．（﹣，﹣1）
2．如图，正方形ABCD中，AB＝4，M为AD的中点，延长MD至E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）
A．2﹣1
B．2﹣2
C．2+2
D．2﹣2
3．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为2，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
4．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上的一点，连接CE、AE，延长CE交AD于点F，若∠DCE＝25°，则∠AEF的度数是（　　）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
5．嘉嘉同学遇到这样一道题：“如图，正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．”关于这道题有下列说法：①四边形PECF是矩形；②AP＝EF；③PD＝AD；④AP⊥EF，其中正确的说法是（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
6．如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO．若AB＝2，AO＝3，则AC的长等于（　　）
A．
B．8
C．4+3
D．2+3
7．如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（　　）
A．2α
B．90°﹣α
C．45°+α
D．90°﹣α
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．4
B．2
C．
D．2
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN＝（　　）
A．3
B．
C．3
D．6
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（　　）
A．2﹣2
B．2
C．3﹣1
D．2
11．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
12．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④．其中正确的有（　　）
①②
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
13．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（　　）
A．
B．22018
C．22018+
D．1010
14．如图，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，得出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ?AC．其中正确结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
15．如图，正方形ABCD中，点E在BC上，且CE＝BC，点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M．以下结论：
①AB＝CM；②AE＝AB+CE；③S△AEF＝S四边形ABCF；④∠AFE＝90°．
其中正确结论的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA＝OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF＝AF+DE；
④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是（　　）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④
17．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是　
　．
18．如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边OC上一点，E是正方形边上一点．已知B（﹣3，3），D（0，1），当AD＝CE时，点E坐标为　
　．
19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是　
　（填序号）．
20．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对称点F落在边CD上，连接EF．求证：四边形ADFE是正方形．
21．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．
22．如图，在△ABC中，点O是边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．
（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由．
（3）当点O在AC运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由；
（4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动
（1）P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？
（2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：
①△AEF≌△DEB；
②四边形ADCF是平行四边形；
（2）若AB＝AC，∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
25．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．
26．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C，D分别作BD，AC的平行线，两线相交于点P．
（1）求证：四边形CODP是菱形；
（2）当矩形ABCD的边AD，DC满足什么关系时，菱形CODP是正方形？请说明理由．
27．如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE，
（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由
（2）在（1）的条件下，当∠A＝　
　时四边形BECD是正方形．
28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．
（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
29．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）连接BD，交EF于点Q，求证：DQ?BC＝CE?DF．
30．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFDC是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
参考答案
1．解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
在正方形OABC中，∠AOC＝90°，AO＝CO，
∵∠AOC＝∠CDO＝90°，
∴∠COD+∠AOE＝∠COD+∠OCD＝90°，
∴∠OCD＝∠AOE，
在△OCD和△AOE中，
，
∴△OCD≌△AOE（AAS），
∴CD＝OE＝1，OD＝AE＝，
∴C（﹣，1）．
故选：A．
2．解：∵M为边AD的中点，
∴MD＝AD＝×4＝2，
在Rt△CDM中，MC＝＝＝2，
∵ME＝MC，
∴ME＝2，
∴DE＝ME﹣MD＝2﹣2，
在正方形DEFG中，DG＝DE＝2﹣2，
故选：D．
3．解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵∠EPM＝∠EQN＝90°，
∴∠PEQ＝90°，
∴∠PEM+∠MEQ＝90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，
∴∠PEM＝∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN＝S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC＝2，
∵EC＝AE，
∴EC＝，
∴EP＝PC＝1，
∴正方形PCQE的面积＝EP2＝1．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∠ADC＝90°，
∵∠DCE＝25°，
∴∠DFC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣25°＝65°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE＝25°，
∴∠AEF＝∠DFC﹣∠DAE＝65°﹣25°＝40°，
故选：D．
5．解：如图，延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，连接CP．
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形；
∴EF＝CP，
在正方形ABCD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
又BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP＝EF；故①，②正确．
∵点P是线段BD上任意一点，
∴PD不一定等于AD，即③不正确．
∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，
∴PG＝PE，
∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°，
∴△AGP≌△FPE
（SAS），
∴∠BAP＝∠PFE，
∵GF//BC，
∴∠AGP＝90°，
∵∠BAP+∠APG＝90°，∠APG＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，即AP⊥EF．故④正确．
故选：B．
6．解：如图，过点F作FG⊥BA交BA的延长线于点G，过点E作EH⊥FG于点H，过点E作ED⊥AC于点D，连接OD，
则有AB＝CD＝2，且△OAD是等腰直角三角形，
∵AO＝3，
∴AD＝OA＝6，
∴AC＝AD+CD＝8．
故选：B．
7．解：∵四边形PBEF为正方形，
∴∠PBE＝90°，
∵∠CBE＝α，
∴∠PBC＝90°﹣α，
∵四边形APCD、PBEF是正方形，
∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB，
在△APF和△CPB中，
，
∴△APF≌△CPB（SAS），
∴∠AFP＝∠PBC＝90°﹣α．
故选：B．
8．解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
9．解：连接DB，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴∠A＝90°，AD＝AB＝6，
∴DB＝＝＝6，
∵点M，N分别是DQ，BQ的中点，
∴MN是△DQB的中位线，
∴MN＝DB＝3，
故选：A．
10．解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，
在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点p是以AP为半径的圆上远动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝4，
∴OP＝OB＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；
故选：A．
11．解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，
故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，
故②错误；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴AM＝a，
∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，
∴AM＝MF，
故③正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
MN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，
根据勾股定理，BM＝＝a，
∵ME+MF＝a+a＝a，MB＝a＝a，
∴ME+MF＝MB．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：B．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴△BCE≌△CDF，
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG＝CD＝AD，故④正确；
连接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵HG＝HD＝CD，
∴DK＝GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG＝AD，故②正确；
∴∠DAG＝2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH＝∠CDF，
∵GH＝DH，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，
∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．
故选：D．
13．解：∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝1×1＝，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA2＝A2A3＝2，
∴S2＝2×1＝1，
同理可求：S3＝2×2＝2，S4＝4…，
∴Sn＝2n﹣2，
∴S2020＝22018，
故选：B．
14．解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG，故①正确；
∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB?FG＝S四边形CBFG，故②正确；
∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正确；
∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD＝FE：FQ，
∴AD?FE＝AD2＝FQ?AC，故④正确；
故选：D．
15．解：由题意知，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF和△MCF中，
，
∴△ADF≌△MCF（ASA），
∴CM＝AD＝AB，
①正确；
设正方形ABCD边长为4，
∵CE＝BC＝1，
∴BE＝3，
∴AE＝5，
∴AE＝AB+CE，
②正确；
EM＝CM+CE＝5＝AE，
又∵F为AM的中点，
∴EF⊥AM，
④正确，
由CF＝2，CE＝1得EF＝，
由DF＝2，AD＝4得AF＝2，
∴S△AEF＝5，
又∵S△ADF＝4，
∴S四边形ABCF＝S□ABCD﹣S△ADF＝12，
∴S△AEF＝S四边形ABCF≠S四边形ABCF；
③不正确，
∴正确的有3个，
故选：C．
16．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，
∴③正确；
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴④正确．
综上，可得正确的是：②③④．
故选：B．
17．解：①：∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝∠C＝90°
∴MN2＝MC2+NC2
当MN＝MC时，
MN2＝2MC2，
∴MC2＝NC2，
∴MC＝NC，
∴BM＝DN，
∴△ABM≌△ADN（SAS）
∴∠BAM＝∠DAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，故①正确；
②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，
则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
则在△EAN和△MAN中，
，
∴△EAN≌△MAN（SAS）
∴∠AMN＝∠AED，
∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，
∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，
∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，
故②正确；
③：∵△EAN≌△MAN，
∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，
∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．故③正确；
④如图，将△ADN绕点A逆时针旋转90°得△ABF，
∴∠MAF＝90°﹣∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠MAF，
在△MAN和△MAF中，
，
∴△MAN≌△MAF（SAS），
∴∠AMN＝∠AMB，
故④错误．
综上①②③正确．
故答案为：①②③．
18．解：如图，符合条件的点有两个，当点E在边AB和边OA上时，设为点E′和点E″，
∵B（﹣3，3），D（0，1），
∴AB＝OA＝3，OD＝1，
∵四边形ABCO是正方形，
∴AB＝BC＝OC＝OA＝3，∠B＝∠AOD＝90°，
∵AD＝CE′＝CE″，
在Rt△BCE′和Rt△OAD中，
，
∴Rt△BCE′≌Rt△OAD（HL），
∴BE′＝OD＝1，
∴AE′＝AB﹣BE′＝2，
∴E′（﹣3，2）；
同理Rt△OCE′≌Rt△OAD（HL），
∴OE″＝OD＝1，
∴E″（﹣1，0）．
所以点E坐标为（﹣3，2）或（﹣1，0）．
故答案为：（﹣3，2）或（﹣1，0）．
19．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；
∵在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确．
综上可得：正确的是：②③④，
故答案为：②③④．
20．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°．
由折叠，得∠A＝∠DFE＝90°
∴∠A＝∠ADF＝∠DFE＝90°．
∴四边形AEFD是矩形．
∵AE＝AD，
∴四边形AEFD是正方形．
21．证明：如图，作EM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴∠BEM+∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM＝45°＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
22．解：（1）OE＝OF，
理由：∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）不可能．
如图所示，连接BF，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
（3）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形；
（4）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（3）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则
∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
23．解：（1）过点P作PH⊥CD于点H，
∴HQ＝16﹣5t，
∴PQ2＝PH2+HQ2，
即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：，
答：P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；
（2）假设四边形PBCQ是正方形，
∴BP＝CQ，即16﹣3t＝2t，
解得：t＝，
∵，
∴不成立．
24．（1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝BD，
∴AF＝DC．
②由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）四边形ADCF是正方形．理由如下：
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，
∴AD⊥BC，AD＝BC＝DC，
∴平行四边形ADCF是正方形．
25．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE．
∴BE⊥AC．
∴四边形ABCD是菱形．
（2）从上易得：△AOE是直角三角形，
∴∠AEB+∠EAO＝90°
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAO＝60°，
∴∠AEB＝30°
∵∠AEB＝2∠EAB，
∴∠EAB＝15°，
∴∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°．
又∵四边形ABCD是菱形．
∴∠BAD＝2∠BAO＝90°
∴四边形ABCD是正方形．
26．（1）证明：∵DP∥AC，CP∥BD
∴四边形CODP是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OD＝OC，
∴四边形CODP是菱形；
（2）解：当矩形ABCD的边AD＝DC，菱形CODP是正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
又∵AD＝DC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴菱形CODP是正方形．
27．解：当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形；理由如下：
∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝AB＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（2）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
故答案为：45°．
28．解：（1）四边形ACEF是平行四边形；
∵DE垂直平分BC，
∴D为BC的中点，ED⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴E为AB中点，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE＝AE，FD∥AC．
∴BD＝CD，
∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE＝AE＝AF．
∴∠F＝∠5＝∠1＝∠2．
∴∠FAE＝∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF＝EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形；
理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，
由（1）知CE＝AB，
∴AC＝CE
又∵四边形ACEF为平行四边形
∴四边形ACEF为菱形；
（3）四边形ACEF不可能是正方形，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＜∠ACB，
即∠ACE＜90°，不能为直角，
所以四边形ACEF不可能是正方形．
29．证明：如图，作EM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴∠BEM+∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM＝45°＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形；
30．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵EF∥DC，
∴四边形FEDC为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CD＝CE，
∴四边形FEDC是菱形，
又∵∠C＝90°，
∴平行四边形FEDC是正方形；
（2）∵四边形FEDC是正方形，
∴∠CDE＝45°，
∵，
∴CE＝CD＝ED?sin45°＝2×＝2，
∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，
∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，
∴BD＝