第四章三角恒等变换综合测试2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册（Word含答案解析）

第四章综合测试
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.（
）
A.1
B.0
C.
D.
2.若，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
3.若，则的值为（
）
A.
B.
C.4
D.12
4.已知，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
5.已知，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
6.已知，且是第三象限角，则的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
7.函数的最小正周期和最大值分别是（
）
A.，3
B.，1
C.，3
D.，1
8.化简的结果是（
）
A.89
B.
C.45
D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9.下列各式中，值为的是（
）
A.
B.
C.
D.
10.下列各式与不相等的是（
）
A.
B.
C.
D.
11.有下列四个函数，其中在上为递增函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
12.关于函数有下列四个结论，其中正确的有（
）
A.最大值为
B.把函数的图象向右平移个单位长度后可得到函数的图象
C.递增区间为
D.图象的对称中心为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）
13.如果，且α是第四象限的角，那么________.
14.已知，则的值为________.
15.已知s，，则________.
16.的三个内角为A，B，C，当A为________时，取得最大值，且这个最大值为________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
18.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点在角的终边上，点在角的终边上，且.求：
（1）的值；
（2）的值.
19.从圆心角为，半径为的扇形铁片上截出一块矩形OPMN，如图，让矩形的一边在扇形的一条半径OA上，点M在弧AB上，求此矩形面积的最大值.
20.已知函数.
（1）求的定义域与最小正周期；
（2）设，若，求的大小.
21.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.
①；
②；
③；
④；
⑤.
（1）从上述五个式子中选择一个，求出常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.
22.已知函数.
（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（2）若，，求的值.
第四章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】B
【解析】，故选B.
2.【答案】A
【解析】由已知得，于是，故选A.
3.【答案】C
【解析】由已知得，即，，故选C.
4.【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，故选A.
5.【答案】D
【解析】，故选D.
6.【答案】A
【解析】由已知，得，
，是第三象限角，，
，故选A.
7.【答案】C
【解析】，，
，故选C.
8.【答案】B
【解析】
，故选B.
二、
9.【答案】BD
【解析】A中，
，A不正确；B中，，B正确；C中，，C不正确；D中，，D正确，故选BD.
10.【答案】ABD
【解析】A中，，A不符合；B中，B不符合；C中，，C符合；D中，，D不符合，故选ABD.
11.【答案】BD
【解析】A中，，由图象可知，在上为递减函数，A不符合；B中，，由图象可知，在上为递增函数，B符合；C中，，由图象知函数在上先增后减，C不符合；D中，在上递增，D符合，故选BD.
12.【答案】CD
【解析】因为，所以最大值为，A错误；将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，B错误；由，得，即递增区间为，C正确；由得，所以对称中心为，D正确，故选CD.
三、
13.【答案】
【解析】由题意得，故.
14.【答案】
【解析】由，得，所以，故.
15.【答案】
【解析】由可知，
因为，所以，
所以，
，
.
16.【答案】
【解析】
，
当，即时，
得.
四、
17.【答案】（1），；
（2）方法一：，
，
；
方法二：，
，
.
18.【答案】（1），，
，
解得.
（2）由（1）得，，
，
，
.
19.【答案】设截出的矩形的面积为，连接OM，
设，易知，
当，即时，矩形的面积S取得最大值.
20.【答案】（1）由，得，
所以的定义域为
的最小正周期为.
（2）由，得，
即，
整理得，
因为，所以，
因此，即s，
由，得，
所以，即.
21.【答案】（1）选择②式计算，
（2）猜想的三角恒等式为.
证明：
.
22.【答案】（1）由，
得所以函数的最小正周期为.
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为.
（2）由（1）可知，
又因为，所以
由，得，
从而，
所以，
，
.