三角函数单元测评 2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

第一章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.1弧度的圆心角所对的弧长为6,则这个圆心角所夹的扇形的面积是(　　)　　
A.3
B.6
C.18
D.36
2.若-<α<0,则点P(tan
α,cos
α)位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知sinα+=,则cosα-的值为(　　)
A.
B.
C.-
D.-
4.若|cos
θ|=cos
θ,|tan
θ|=-tan
θ,则的终边在(　　)
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、三象限或在x轴的非负半轴上
D.第二、四象限或在x轴的非负半轴上
5.函数y=的定义域为(　　)
A.(-4,-π]
B.[-π,-3]
C.[-3,0]
D.[0,+∞)
6.函数f(x)=在[-π,π]的图象大致为(　　)
7.把函数f(x)=sin2x+图象向左平移个单位后所得图象与y轴距离最近的对称轴方程为(　　)
A.x=
B.x=-
C.x=-
D.x=
8已知函数f(x)=sin(2x+φ)满足f(x)≤f(a)对x∈R恒成立,则函数(　　)
A.f(x-a)一定为奇函数
B.f(x-a)一定为偶函数
C.f(x+a)一定为奇函数
D.f(x+a)一定为偶函数
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.给出下列各三角函数值:①sin(-100°);②cos(-220°);③tan(-10);④cos
π.其中符号为负的是(　　)
A.①
B.②
C.③
D.④
10.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)A≠0,ω>0,|φ|<的图象关于直线x=对称,它的周期是π,则(　　)
A.f(x)的图象过点0,
B.f(x)在区间上是单调递减
C.f(x)的一个对称中心是,0
D.f(x)的最大值可能是-A
11.将函数f(x)=cos2x+-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　)
A.最大值为,图象关于直线x=对称
B.图象关于y轴对称
C.最小正周期为π
D.图象关于点,0对称
12.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于直线x=对称
B.函数f(x)的图象关于点-,0对称
C.函数f(x)在区间-上单调递增
D.函数y=1与y=f(x)-≤x≤的图象的所有交点的横坐标之和为
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.sin+cos·tan
4π-cos=　　　　　.?
14.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是　　　弧度,扇形面积是　　　.?
15.函数y=sin,x∈的值域是　　　　.?
16.已知函数f(x)=sin
2x,给出下列五个说法:
①f;
②若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;
③f(x)在区间上单调递增;
④将函数f(x)的图象向右平移个单位可得到函数y=cos
2x的图象;
⑤函数f(x)的图象关于点成中心对称.
其中说法正确的是　　　(填序号).?
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在“①y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=,②f(0)=-,③y=f(x)的图象关于点,0成中心对称”这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作出详细解答.
设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),　　　　　,求函数y=f(x)的单调递增区间.?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的定义域;
(2)比较f与f的大小.
19.
(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)试确定f(x)的解析式;
(2)若f,求cos的值.
20.(12分)已知函数f(x)=2sin+a+1(其中a为常数).
(1)求f(x)的单调区间.
(2)若x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值.
(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合.
21.(12分)已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<0图象上的任意两点,角φ的终边经过点P(1,-),且当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈0,时,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
第一章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.1弧度的圆心角所对的弧长为6,则这个圆心角所夹的扇形的面积是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3
B.6
C.18
D.36
解析设圆心角为α,圆心角所对的弧长为l,半径为r.
因为l=|α|r,所以6=1×r.
所以r=6.所以S=lr=×6×6=18.
答案C
2.若-<α<0,则点P(tan
α,cos
α)位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析因为-<α<0,所以tanα<0,cosα>0,
所以点P(tanα,cosα)位于第二象限.
答案B
3.已知sinα+=,则cosα-的值为(　　)
A.
B.
C.-
D.-
解析cosα-=cosα+=sinα+=.故选B.
答案B
4.若|cos
θ|=cos
θ,|tan
θ|=-tan
θ,则的终边在(　　)
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、三象限或在x轴的非负半轴上
D.第二、四象限或在x轴的非负半轴上
解析由题意知,cosθ≥0,tanθ≤0,所以θ的终边在x轴的非负半轴上或在第四象限,故的终边在第二、四象限或在x轴的非负半轴上.
答案D
5.函数y=的定义域为(　　)
A.(-4,-π]
B.[-π,-3]
C.[-3,0]
D.[0,+∞)
解析要使函数有意义,需满足
即解得-4答案A
6函数f(x)=在[-π,π]的图象大致为(　　)
解析由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A.
又f>1,f(π)=>0,排除B,C.故选D.
答案D
7.把函数f(x)=sin2x+图象向左平移个单位后所得图象与y轴距离最近的对称轴方程为(　　)
A.x=
B.x=-
C.x=-
D.x=
解析把函数f(x)=sin2x+图象向左平移个单位后所得图象对应的解析式为y=sin2x++=cos2x+,由2x+=kπ(k∈Z),得对称轴方程为x=-(k∈Z).当k=0时,可得对称轴为x=-,此时对称轴离y轴距最近.故选B.
答案B
8.已知函数f(x)=sin(2x+φ)满足f(x)≤f(a)对x∈R恒成立,则函数(　　)
A.f(x-a)一定为奇函数
B.f(x-a)一定为偶函数
C.f(x+a)一定为奇函数
D.f(x+a)一定为偶函数
解析由题意得f(a)=sin(2a+φ)=1,则2a+φ=2kπ+,k∈Z,所以f(x+a)=sin(2x+2a+φ)=sin2x+2kπ+=cos2x,此时函数为偶函数.
答案D
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.给出下列各三角函数值:①sin(-100°);②cos(-220°);③tan(-10);④cos
π.其中符号为负的是(　　)
A.①
B.②
C.③
D.④
解析因为-100°角是第三象限角,所以sin(-100°)<0;因为-220°角是第二象限角,所以cos(-220°)<0;因为-10∈-π,-3π,所以-10角是第二象限角,所以tan(-10)<0;cosπ=-1<0.故选ABCD.
答案ABCD
10.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)A≠0,ω>0,|φ|<的图象关于直线x=对称,它的周期是π,则(　　)
A.f(x)的图象过点0,
B.f(x)在区间上是单调递减
C.f(x)的一个对称中心是,0
D.f(x)的最大值可能是-A
解析因为周期T=π,所以=π,所以ω=2.
又因为f(x)的图象关于直线x=对称,
所以2×+φ=+kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=.
所以f(x)=Asin2x+.
所以f(x)图象过点0,.
又当x=时,2x+=π,即f=0,
所以,0是f(x)的一个对称中心.
又因为A的值不能确定,所以A,B不一定正确.
当A<0时,f(x)的最大值是-A.故D正确.
答案CD
11.将函数f(x)=cos2x+-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　)
A.最大值为,图象关于直线x=对称
B.图象关于y轴对称
C.最小正周期为π
D.图象关于点,0对称
解析将函数f(x)=cos2x+-1的图象向左平移个单位长度,得到y=cos2x++-1=cos(2x+π)-1=-cos2x-1的图象;再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=-cos2x的图象.对于函数g(x),它的最大值为,由于当x=时,g(x)=-,不是最值,故g(x)的图象不关于直线x=对称,故A错误;由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故B正确;它的最小正周期为=π,故C正确;当x=时,g(x)=0,故函数g(x)的图象关于点,0对称,故D正确.
答案BCD
12.
(2020山东德州夏津第一中学月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于直线x=对称
B.函数f(x)的图象关于点-,0对称
C.函数f(x)在区间-上单调递增
D.函数y=1与y=f(x)-≤x≤的图象的所有交点的横坐标之和为
解析由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<|φ|<π)的图象可得,A=2,,因此T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ),又因为图象过点,-2,所以f=2sin+φ=-2,即sin+φ=-1,因此+φ=+2kπ,k∈Z,又0<|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=2sin2x+.当x=时,f=-1,故A错;当x=-时,f-=0,故B正确;当x∈-,2x+∈-,所以f(x)=2sin2x+在x∈-上单调递增,故C正确;当-≤x≤时,2x+∈[0,4π],所以y=1与函数y=f(x)有4个交点的横坐标为x1,x2,x3,x4,x1+x2+x3+x4=×2+×2=,故D正确.
答案BCD
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.sin+cos·tan
4π-cos=　　　　　.?
解析原式=-sin+cos·0-cos4π+=-sin-cos=sin-cos=0.
答案0
14.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是　　　弧度,扇形面积是　　　.?
解析设圆心角为θ,则有θ=弧度;扇形面积S=×12×8=48.
答案　48
15.函数y=sin,x∈的值域是　　　　.?
解析因为x∈,所以≤x+,
所以≤sin≤1,
即原函数的值域为.
答案
16.已知函数f(x)=sin
2x,给出下列五个说法:
①f;
②若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;
③f(x)在区间上单调递增;
④将函数f(x)的图象向右平移个单位可得到函数y=cos
2x的图象;
⑤函数f(x)的图象关于点成中心对称.
其中说法正确的是　　　(填序号).?
解析①正确,由已知得函数f(x)周期为π,f=fsin;
②错误,由f(x1)=-f(x2)=f(-x2),知x1=-x2+kπ或x1=+x2+kπ(k∈Z);
③错误,令-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
函数f(x)在每一个闭区间-+kπ,+kπ(k∈Z)上都单调递增,
但不包含于(k∈Z),故函数f(x)在区间上不是单调函数;
④正确,将函数f(x)的图象向右平移个单位可得到函数y=sin2sincos2x的图象;
⑤错误,函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x0=kπ,解得x0=,即对称中心的坐标为(k∈Z),
故点不是其对称中心.
答案①④
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在“①y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=,②f(0)=-,③y=f(x)的图象关于点,0成中心对称”这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作出详细解答.
设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),　　　　　,求函数y=f(x)的单调递增区间.?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解选择①:因为x=是函数y=f(x)的图象的对称轴,所以sin2×+φ=±1.
所以+φ=kπ+,k∈Z.
因为-π<φ<0,所以φ=-.
因此y=sin2x-.
由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.
所以kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
所以函数y=sin2x-的单调递增区间为kπ+,kπ+,k∈Z.
选择②:因为f(0)=-,所以sinφ=-,
又因为-π<φ<0,所以φ=-.
因此y=sin2x-.
由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.
所以kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
所以函数y=sin2x-的单调递增区间为kπ+,kπ+,k∈Z.
选择③:因为y=f(x)的图象关于点,0成中心对称,
所以2×+φ=kπ,k∈Z,φ=kπ-π,
又因为-π<φ<0,所以φ=-.
因此y=sin2x-.
由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.
所以kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
所以函数y=sin2x-的单调递增区间为kπ+,kπ+,k∈Z.
18.(12分)已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的定义域;
(2)比较f与f的大小.
解(1)由已知得2x-≠kπ+(k∈Z),x≠kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的定义域为xkπ+,k∈Z.
(2)因为f=3tan=-3tan<0,f=3tan=3tan=3tan=3tan>0.所以f19.
(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)试确定f(x)的解析式;
(2)若f,求cos的值.
解(1)由题图可知A=2,,则T=2,ω==π.
将点P代入y=2sin(πx+φ),得sin=1,
又|φ|<,所以φ=.
故f(x)的解析式为f(x)=2sin(x∈R).
(2)由(1)和f,得2sin,
即sin.
所以cos=cos
=-sin=-.
20.(12分)已知函数f(x)=2sin+a+1(其中a为常数).
(1)求f(x)的单调区间.
(2)若x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值.
(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合.
解(1)由-+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),
解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
所以函数f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z).
由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
所以函数f(x)的单调递减区间为+kπ,+kπ(k∈Z).
(2)因为0≤x≤,所以≤2x+,
所以-≤sin≤1,
所以f(x)的最大值为2+a+1=4,所以a=1.
(3)当f(x)取最大值时,2x++2kπ,k∈Z,
所以2x=+2kπ,k∈Z,
所以x=+kπ,k∈Z.
所以当f(x)取最大值时,x的取值集合是xx=+kπ,k∈Z.
21.(12分)已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<0图象上的任意两点,角φ的终边经过点P(1,-),且当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈0,时,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
解(1)因为角φ的终边经过点P(1,-),
所以tanφ=-,
因为-<φ<0,所以φ=-.
由当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为,得T=,即,所以ω=3.
所以f(x)=2sin3x-.
(2)由-+2kπ≤3x-+2kπ,k∈Z,
得-≤x≤,k∈Z,
故函数f(x)的单调递增区间为-(k∈Z).
(3)当x∈0,时,-≤f(x)≤1,于是2+f(x)>0,
则mf(x)+2m≥f(x)等价于m≥=1-.
由-≤f(x)≤1,得的最大值为.
故实数m的取值范围是,+∞.