第六章立体几何综合测试2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册（Word含答案解析）

第六章综合测试
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列结论正确的是（
）
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
2.在正方体中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形不可能的是（
）
A.等边三角形
B.矩形
C.等腰梯形
D.正方形
3.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为，则它的一个底面面积是（
）
A.
B.
C.
D.
4.如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为，则其表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
5.已知平面平面，且，要得到直线平面，还需要补充的条件是（
）
A.
B.
C.
D.且
6.一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
7.如图，在棱长为4的正方体中，P是上一点，且，则多面体的体积为（
）
A.
B.
C.4
D.5
8.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将沿BF所在的直线进行翻折，将沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是（
）
A.无论翻折到什么位置，A、C两点都不可能重合
B.存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为
C.存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为
D.存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为
二、多项选择题（大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9.已知，是两个不重合的平面，、是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（
）
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，，则
10.已知、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（
）
A.若，且，则
B.若，，，则
C.若，，，，则
D.若，，，则
11.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD，则下列说法正确的是（
）
A.在棱AD上存在点M，使AD平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为
C.二面角P—BC—A的大小为
D.BD平面PAC
12.在正方体中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（
）
A.CM与PN是异面直线
B.
C.平面PAN平面BDD1B1
D.过P、A、C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）
13.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________.
14.已知正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该四棱锥的高为________.
15.设，，是三个不同平面，，是两条不同直线，有下列三个条件：（1），；（2），；（3），，如果命题“，且________，则”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（把所有正确的序号填上）.
16.如图，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，，则下列结论中：
①；②平面ABC平面PBC；③直线平面PAE；④，其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知正方体.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与BD所成的角.
18.如图，正方体的棱长为，连接，得到一个三棱锥.求：
（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥的体积.
19.在如图的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，，点E，G，F分别为棱MB，PB，PC的中点，且.求证：
（1）平面EFG平面PMA；
（2）平面PDC平面EFG.
20.如图平行四边形ABCD中，，，，将沿BD折起到的位置，使平面EBD平面ABD.
（1）求证：；
（2）求三棱锥E—ABD的侧面积.
21.如图，在正方体中，E是棱的中点.
（1）求直线BE与平面所成的角的正弦值；
（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使平面？证明你的结论.
22.如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，点D在侧棱上.
（1）若D为的中点，求证：平面BCD；
（2）若，求二面角的大小.
第六章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】D
【解析】A错误，如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，
B错误，如图2，若不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥，
C错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，D正确.
2.【答案】D
【解析】当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形，如图（1）；
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形，如图（2）；
当点Q不与点D、重合时，令Q、R分别为、的中点，则截面图形为等腰梯形，如图（3）D是不可能的.
3.【答案】C
【解析】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径，则，得，所以底面面积为.
4.【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为，则底面积为，易求得高为，则体积为，解得，所以其表面积为.
5.【答案】D
【解析】选项A，B，C的条件都不能得到直线平面，而补充选项D后，可以得到直线平面，理由如下：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
6.【答案】A
【解析】将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为，即球的半径为2，故这个球的表面积为.
7.【答案】B
【解析】】V多面体正方形.
8.【答案】D
【解析】在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；
在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为，故B正确；
在C中，当平面ABF平面BEDF，平面DCE平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；
在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误.
二、
9.【答案】ACD
【解析】若，则，且使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A对；若，，如图，设，平面为平面α，，设平面为平面，，则，故B错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；若，，则，又，则，故D对.
10.【答案】BC
【解析】若，且，则可以，m，n异面，或m，n相交，故A错误；若，，则，又，故α∥β，B正确；若，，则或，又，，故，C正确；若，，则，，则或，D错误.
11.【答案】ABC
【解析】对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则侧面PAD为正三角形，
，又底面ABCD是菱形，，是等边三角形，
，又，PM，平面PMB，平面PBM，故A正确，对于B，平面PBM，，即异面直线AD与PB所成的角为，故B正确，对于C，平面平面，，平面PBM，，，是二面角P—BC—A的平面角，设，则，在中，，即，故二面角P—BC—A的大小为，故C正确，对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误.
12.【答案】BCD
【解析】
C、N、A共线，即CN、PM交于点A，共面，因此CM、PN共面，A错误；
记，则，
，又，
，，即，B正确；
由于正方体中，，平面ABCD，则，，可得平面，平面PAN，从而可得平面平面，C正确；
取中点K，连接KP，KC，，易知，又正方体中，，，PK、AC共面，PKCA就是过P、A、C三点的正方体的截面，它是等腰梯形，D正确.
三、
13.【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为，根据题意，得，解得，根据勾股定理，得圆锥的高为，所以圆锥的表面积，体积.
14.【答案】3
【解析】
如图，过点S作平面ABCD，连接OC，则，
.
15.【答案】（2）（3）
【解析】，，不可以，举出反例如下：使，，，则此时能有，，但不一定有；
，，可以，由得a与γ没有公共点，由，，知，，在面内，且没有公共点，故平行；
，可以，由，知，，无公共点，再由，，可得两直线平行.
综上可知满足的条件有（2）和（3）.
16.【答案】①④
【解析】对于①，因为平面ABC，所以，又，，所以平面PAB，从而可得，故①正确；
对于②，由于平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确；
对于③，由于在正六边形中，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故③不正确；
对于④，由条件得为直角三角形，且，又，所以，故④正确，
综上①④正确.
四、
17.【答案】（1）证明：在正方体中，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面，
（2）由（1）知，，
异面直线与所成的角即为，
易知为等边三角形，
，
即异面直线与BD所成的角为，
18.【答案】（1）是正方体，
，
三棱锥的表面积为，
而正方体的表面积为，故三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为，
（2）三棱锥是完全一样的，
故，
.
19.【答案】（1）点E、G、F分别为棱MB、PB、PC的中点，
，
又平面PMA，平面PMA，平面PMA，
四边形ABCD是正方形，，，
平面PMA，平面PMA，平面PMA，
又，平面平面PMA，
（2）由已知平面ABCD，，平面ABCD，
又平面ABCD，，
四边形ABCD为正方形，，
又，平面PDC，
在中，G，F分别为PB，PC的中点，
，平面PDC，
又平面EFG，平面平面EFG.
20.【答案】（1）证明：，，，
，，
平面平面ABD，且平面平面，
平面EBD，
平面EBD，，
（2）由（1）知，
，，从而折叠后，
在中，，，
，
又平面EBD，平面EBD，，
，，
，平面平面ABD，平面ABD，
又平面ABD，，
，
综上，三棱锥E—ABD的侧面积.
21.【答案】（1）如图（1），取的中点M，连接EM，BM，
E是的中点，四边形为正方形，
，
在正方体中，平面，平面，从而为直线BE与平面所成的角，
设正方体的棱长为2，则，，
在中，，
即直线BE与平面所成的角的正弦值为.
（2）在棱上存在点F，使平面，
证明如下：如图（2），分别取和CD的中点F和G，连接EG，BG，，FG，
，且，
四边形为平行四边形，，
又E，G分别为D1D，CD的中点，，
，
，B，G，E四点共面，平面，
在正方体中，F和G分别为和CD的中点，
綊綊，四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，平面，
22.【答案】（1）证明：由已知，得，，则平面，又平面，则，①
因为D为的中点，所以，又，则为等腰直角三角形，所以，同理，
所以，即，②
结合①②得，平面BCD，
（2）作，垂足为E，连接BE，如图，
因为平面，所以，所以平面BCE，
则，所以为二面角的平面角，
因为，所以，
在中，，边上的高为1，则其面积为1，
所以由得，在中，，则，
所以二面角的大小为.