第4章三角恒等变换单元测试题2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

第四章测试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．函数y＝＋的值域是(　　)
A．{0,2}　　　　　　
B．{－2,0}
C．{－2,0,2}
D．{－2,2}
2．sin
80°cos
70°＋sin
10°sin
70°等于(　　)
A．－
B．－
C．
D．
3．已知α为第二象限角，sin
α＝，则sin的值等于(　　)
A．
B．
C．
D．
4．已知向量a＝，b＝(cos
α，2)，且a∥b，则cos
2α＝(　　)
A．
B．－
C．－
D．
5．若将函数f(x)＝2sin
xcos
x－2sin2x＋1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)
A．
B．
C．
D．
6．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P(2,3)，则tan＝(　　)
A．－
B．
C．
D．－
7．设奇函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(ω>0)在x∈[－1,1]内有9个零点，则ω的取值范围为(　　)
A．[4π，5π)
B．[4π，5π]
C．
D．
8．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin
A，sin
B)，n＝(cos
B，cos
A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．化简下列各式，与tan
α相等的是(　　)
A．
B．·
C．
D．
10．已知函数f(x)＝cos·，则下列区间中f(x)在其上单调递增的是(　　)
A．　　　　
B．
C．
D．
11．已知f(x)＝sin
2，若a＝f(lg5)，b＝f，则(　　)
A．a＋b＝0
B．a－b＝0　
C．a＋b＝1
D．a－b＝sin
(2lg5)
12．已知函数f＝cos
2xcos
φ－sin
2xsin
φ的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是(　　)
A．直线x＝π是函数f的图象的一条对称轴
B．函数f在上单调递减
C．函数f的图象向右平移个单位可得到y＝cos
2x的图象
D．函数f在上的最小值为－1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在题中横线上．
13．cos
89°cos
1°＋sin
91°sin
181°＝________.
14．设α为钝角，且3sin
2α＝cos
α，则sin
α＝________.
15．若sin(π－α)＝，α∈，则sin
2α－cos2的值等于________．
16．已知函数f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知0<α<，sin
α＝.
(1)求tan
α的值；(2)求cos
2α＋sin的值．
18．(本小题满分12分)计算：(1)；
(2)tan
25°＋tan
35°＋tan
25°tan
35°.
19．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin
θ，－2)与b＝(1，cos
θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin
θ和cos
θ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cos
φ的值．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos－sin.
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；
(2)若θ为第一象限角，且f
＝，求cos的值．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin
2x＋cos
4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin
xcos
x(x∈R)．
(1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－t＝1在内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．函数y＝＋的值域是(　　)
A．{0,2}　　　　　　
B．{－2,0}
C．{－2,0,2}
D．{－2,2}
C　[y＝＋.
当x为第一象限角时，y＝2；
当x为第三象限角时，y＝－2；
当x为第二、四象限角时，y＝0.]
2．sin
80°cos
70°＋sin
10°sin
70°等于(　　)
A．－
B．－
C．
D．
C　[sin
80°cos
70°＋sin
10°sin
70°＝cos
10°cos
70°＋sin
10°sin
70°＝cos(70°－10°)＝cos
60°＝，故选C．]
3．已知α为第二象限角，sin
α＝，则sin的值等于(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[∵sin
α＝，α是第二象限角，∴cos
α＝－，
则sin＝sin
αcos
－cos
αsin
＝×＋×＝.故选A．]
4．已知向量a＝，b＝(cos
α，2)，且a∥b，则cos
2α＝(　　)
A．
B．－
C．－
D．
A　[向量a＝，b＝(cos
α，2)，且a∥b，可得tan
αcos
α＝，
即sin
α＝.所以cos
2α＝1－2sin2α＝，故选A．]
5．若将函数f(x)＝2sin
xcos
x－2sin2x＋1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[将函数f(x)＝2sin
xcos
x－2sin2x＋1＝sin
2x＋cos
2x＝sin的图象向右平移φ个单位，可得y＝sin＝sin的图象．再根据所得图象关于y轴对称，可得－2φ＝kπ＋，k∈Z，故φ的最小正值是.]
6．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P(2,3)，则tan＝(　　)
A．－
B．
C．
D．－
D　[依题意，角α的终边经过点P(2,3)，则tan
α＝，tan
2α＝＝－，于是tan＝＝－.]
7．设奇函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(ω>0)在x∈[－1,1]内有9个零点，则ω的取值范围为(　　)
A．[4π，5π)
B．[4π，5π]
C．
D．
A　[∵f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin，
∴φ－＝kπ(k∈Z)，∴2T≤18．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin
A，sin
B)，n＝(cos
B，cos
A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[∵m·n＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin
C＋cos
C＝2sin＝1.
∴sin＝，∴＋C＝或＋C＝(舍去)，∴C＝.]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．化简下列各式，与tan
α相等的是(　　)
A．
B．·
C．
D．
BC　[A不符合，＝＝＝；
B符合，因为α∈，·＝＝tan
α；
C符合，＝＝tan
α；
D不符合，＝＝.故选BC．]
10．已知函数f(x)＝cos·，则下列区间中f(x)在其上单调递增的是(　　)
A．　　　　
B．
C．
D．
AC　[f(x)＝cos＝sin
x＋＝sin＋.
令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，可得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z
当k＝0时，函数f(x)在上单调递增，
又?，所以C满足题意；
当k＝1时，函数f(x)在上单调递增，所以A满足题意．]
11．已知f(x)＝sin
2，若a＝f(lg5)，b＝f，则(　　)
A．a＋b＝0
B．a－b＝0　
C．a＋b＝1
D．a－b＝sin
(2lg5)
CD　[由余弦的二倍角公式化简可得
f(x)＝sin
2＝＝＝sin
2x＋，
∵a＝f(lg5)，b＝f＝f(－lg
5)，
∴a＋b＝＋＝1，
a－b＝－＝sin
(2lg
5)，故选CD．]
12．已知函数f＝cos
2xcos
φ－sin
2xsin
φ的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是(　　)
A．直线x＝π是函数f的图象的一条对称轴
B．函数f在上单调递减
C．函数f的图象向右平移个单位可得到y＝cos
2x的图象
D．函数f在上的最小值为－1
ABD　[∵f＝cos
2xcos
φ－sin
2xsin
φ＝cos
的图象的一个对称中心为，
∴cos
＝0，则＋φ＝＋kπ，∴φ＝＋kπ，k∈Z.
∵0＜φ＜，∴φ＝.则f＝cos
.
∵f＝cos
＝cos
π＝－1，
∴直线x＝π是函数f的图象的一条对称轴，故A正确；
当x∈时，2x＋∈，∴函数f在上单调递减，故B正确；
函数f的图象向右平移个单位，得到y＝cos
＝cos
的图象，故C错误；
当x∈时，2x＋∈，∴函数f在上的最小值为cos
π＝－1，故D正确．故选ABD．]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在题中横线上．
13．cos
89°cos
1°＋sin
91°sin
181°＝________.
0　[cos
89°cos
1°＋sin
91°sin
181°＝cos
89°cos
1°－cos
1°sin
1°＝sin
1°cos
1°－cos
1°sin
1°＝0.]
14．设α为钝角，且3sin
2α＝cos
α，则sin
α＝________.
　[因为α为钝角，所以sin
α>0，cos
α<0，
由3sin
2α＝cos
α，可得6sin
αcos
α＝cos
α，所以sin
α＝.]
15．若sin(π－α)＝，α∈，则sin
2α－cos2的值等于________．
　[∵sin(π－α)＝，∴sin
α＝.又∵α∈，∴cos
α＝＝(舍负)，因此，sin
2α－cos2＝2sin
αcos
α－(1＋cos
α)＝2××－×(1＋)＝－＝.]
16．已知函数f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
　[f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx＝sin，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知0<α<，sin
α＝.
(1)求tan
α的值；(2)求cos
2α＋sin的值．
[解]　(1)因为0<α<，sin
α＝，所以cos
α＝，
所以tan
α＝.
(2)根据二倍角公式与诱导公式可得：cos
2α＋sin＝1－2sin2α＋cos
α＝1－＋＝.
18．(本小题满分12分)计算：(1)；
(2)tan
25°＋tan
35°＋tan
25°tan
35°.
[解]　(1)
＝
＝
＝＝sin
30°＝.
(2)由tan(25°＋35°)＝＝，
可得tan
25°＋tan
35°＝(1－tan
25°tan
35°)，
即tan
25°＋tan
35°＋tan
25°·tan
35°＝.
19．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin
θ，－2)与b＝(1，cos
θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin
θ和cos
θ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cos
φ的值．
[解]　(1)∵a与b互相垂直，则a·b＝sin
θ－2cos
θ＝0，
即sin
θ＝2cos
θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1得sin
θ＝±，cos
θ＝±，
又θ∈，∴sin
θ＝，cos
θ＝.
(2)∵0<φ<，0<θ<，∴－<θ－φ<，则cos(θ－φ)＝＝，
∴cos
φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos
θcos(θ－φ)＋sin
θsin(θ－φ)＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos－sin.
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；
(2)若θ为第一象限角，且f
＝，求cos的值．
[解]　(1)结论：函数f(x)为定义在R上的偶函数．
证明：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
f(x)＝cos－sin
＝cos＝cos
x，
所以f(－x)＝cos(－x)＝cos
x，
所以f(－x)＝f(x)．
因此，函数f(x)为定义在R上的偶函数．
(2)因为f
＝cos＝，
所以cos＝.
由于θ为第一象限角，故sin＝.
所以cos＝cos＝sin＝2sincos＝2××＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin
2x＋cos
4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
[解]　
(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin
2x＋cos
4x＝cos
2xsin
2x＋cos
4x
＝(sin
4x＋cos
4x)＝sin，
∴f(x)的最小正周期T＝，最大值为.
(2)由f(α)＝，得sin＝1.
∵α∈，则<4α＋<，
所以4α＋＝π，故α＝π.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin
xcos
x(x∈R)．
(1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－t＝1在内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
[解]　(1)f(x)＝2cos2x＋2sin
xcos
x
＝cos
2x＋sin
2x＋1＝2＋1＝2sin＋1.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因为x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为，.
(2)依题意，得2sin＋1－t＝1，
所以t＝2sin，即函数y＝t与y＝2sin的图象在内有两个交点．
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈时，sin∈，
y＝2sin∈[1,2]；当2x＋∈时，
sin∈，y＝2sin∈[－1,2]．由函数y＝t与y＝2sin的图象(图略)，
得1≤t<2，所以实数t的取值范围是[1,2)．