第7章概率单元测试题-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册（Word含答案解析）

第七章概率单元测试题
共150分
需用时120分钟
一，选择题
1．已知甲射击命中目标的概率为，乙射击命中日标的概率为，甲、乙是否命中目标相互之间无影响，现在甲、乙两人同时射击目标一次，则目标被击中的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
2．甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7．若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为（
）
A．0.2484
B．0.25
C．0.90
D．0.3924
3．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
4．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A．
B．
C．
D．
5．如图，表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（
）．
A．0.994
B．0.686
C．0.504
D．0.496
6．甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为.甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
7．甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过场即获胜的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
8．根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（
）
A．0.16
B．0.48
C．0.52
D．0.84
9．甲乙两人投球命中率分别为，，且是否投中互不影响，两人各投球一次，恰好有一人命中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
10．若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（
）
A．
B．
C．
D．
11．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术，某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为（
）
A．0.56
B．0.86
C．0.94
D．0.96
12．甲?乙?丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
二，填空题
13．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”．那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大________．
14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
15．在一段线路中有4个自动控制的常用开关A、B、C、D，如图连接在一起，假定在2019年9月份开关A，D能够闭合的概率都是0.7，开关B，C能够闭合的概率都是0.8，则在9月份这段线路能正常工作的概率为________.
16．每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次，各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若，则n的最小值为________.
三，解答题
17．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；
（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？
18．袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
（1）求取球3次即终止的概率；
（2）求甲取到白球的概率．
19．某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况，进行了一次20道题的问卷调查，每位同学都是独立答题，在回收的试卷中发现甲同学答对了12个，乙同学答对了16个.假设答对每道题都是等可能的，试求：
（1）任选一道题目，甲乙都没有答对的概率；
（2）任选一道题目，恰有一人答对的概率.
20．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．
（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
21．2020年6月28日上午，未成年人保护法修订草案二审稿提请十三届全国人大常委第二十次会议审议，修改草案二审稿针对监护缺失、校园欺凌研究损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校住宿经营者网络服务提供者等主体，加大对未成年人保护力度我校为宣传未成年保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分为，.
（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，则在竞赛中甲乙同学要想获得“优秀小组”次数为9次，则理论上至少要进行多少轮竞赛才行？并求此时，的值.
22．某高校的入学面试中有4道不同的题目，每位面试者都要回答这4道题目．已知李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为假设对这4道题目能否答对是独立的，该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试．用Ai表示事件“李明答对第i道题”（i＝1，2，3，4）．
（1）写出所有的样本点；
（2）求李明通过面试的概率．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先转化对立事件，根据独立事件概率乘法公式以及对立事件概率公式求解，即得结果.
【详解】
因为目标被击中,指甲、乙两人至少有一人命中目标，其对立事件为甲、乙两人都未命中目标，所以目标被击中的概率是，
故选：C
【点睛】
本题考查独立事件概率乘法公式以及对立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．D
【解析】
【分析】
根据题意，两人投中次数相等：两人两次都未投中，两人各投中一次，和两人两次都投中，进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案．
【详解】
由题意，甲、乙两人投篮，投中的概率分别为，，则甲、乙两人各投次：
两人两次都未投中的概率：；
两人各投中一次的概率：；
两人两次都投中的概率：.
所以，两人投中次数相等的概率为：.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
任意按最后一位数字，不超过2次就按对有两种情形一种是按1次就按对和第一次没有按对，第二次按对，求两种情形的概率和即可；
【详解】
密码的最后一个数是偶数，可以为
按一次就按对的概率：
,
第一次没有按对，第二次按对的概率：
则不超过两次就按对的概率：,
故选：C．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的运用，是基础题.
4．B
【解析】
记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，
即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，
则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=
故选B.
5．B
【解析】
【分析】
由题中意思可知，当、元件至少有一个在工作，且元件在工作时，该系统正常公式，再利用独立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率．
【详解】
由题意可知，该系统正常工作时，、元件至少有一个在工作，且元件在元件，
当、元件至少有一个在工作时，其概率为，
由独立事件的概率乘法公式可知，该系统正常工作的概率为，
故选B．
【点睛】
本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，在处理至少等问题时，可利用对立事件的概率来计算，考查计算能力，属于中等题．
6．B
【解析】
【分析】
利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.
【详解】
甲乙各射击一次，则“甲中靶”与“乙中靶”相互独立，
所以，甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用独立事件的概率的乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
【详解】
解：甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．
根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
则甲队以获胜的概率是：
．
甲队以获胜的概率是：
则甲队不超过场即获胜的概率
故选：C
【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
8．D
【解析】
【分析】
求其对立事件两城市均未降雨的概率，进而可得结果.
【详解】
记A城市和B城市降雨分别为事件和事件，故，，
可得，,
两城市均未降雨的概率为，
故至少有一个城市降雨的概率为，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的应用，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
恰有一人命中有两种情形：甲中乙不中和甲不中乙中
【详解】
甲命中的概率为，不命中的概率为；
乙命中的概率为，不命中的概率为；
设恰好有一人命中的概率为，则
.
故选：C
【点睛】
此题为基本概念题，考查独立事件发生的概率算法.
10．C
【解析】
【分析】
根据事件A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），再由P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）求解.
【详解】
因为事件A与B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，
所以P（AB）＝P（A）P（B）＝，
所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）=+-=
故选：C
【点睛】
本题主要考查独立事件的概率以及并集事件的概率，属于基础题.
11．C
【解析】
【分析】
计算不能攻克的概率，得到答案.
【详解】
根据题意：.
故选：C.
【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
12．D
【解析】
【分析】
先求得三人都没通过测试的概率，由此求得三人中至少有一人通过测试的概率.
【详解】
所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为，故至少一人通过测试的概率为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.
13．
【解析】
【分析】
求出小明与第一代、第二代、第三代传播者接触的概率，利用独立事件、互斥事件的概率公式求解即可．
【详解】
设事件，，为第一代、第二代、第三代传播者接触，
事件为小明被感染，由已知得：
（A），（B），（C），，，，
（D）（A）（B）（C）
．
小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率为0.83．
故答案为：0.83．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查独立事件、互斥事件的概率公式以及条件概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．0.18
【解析】
【分析】
本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】
前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
综上所述，甲队以获胜的概率是
【点睛】
由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
15．
【解析】
【分析】
先计算线路不能正常工作的概率，用减去这个概率，求得正常工作的概率.
【详解】
段不能正常工作的概率为.线路不能正常工作的概率为，故能正常工作的概率为.
【点睛】
本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件的方法计算概率，属于基础题.
16．
【解析】
【分析】
先计算出实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率，根据二项分布期望公式列不等式，解不等式求得的最小值.
【详解】
实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率为，由题知，则，即，所以正整数n的最小值为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查二项分布的识别和二项分布期望的有关计算，属于中档题.
17．（1）；（2）甲与乙进行首场比赛时.
【解析】
【分析】
（1）将情况按照第一场比赛甲胜乙、乙胜甲分类，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；
（2）由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式分别计算出三种情况下甲获得冠军的概率，比较大小即可得解.
【详解】
（1）设事件为“甲和乙先赛且共进行4场比赛”，则有两类：
第一种是甲和乙比赛，甲胜乙，再甲与丙比赛，丙胜甲，再丙与乙比赛，乙胜丙，再进行第四场比赛；
第二种是甲和乙比赛，乙胜甲，再乙与丙比赛，丙胜乙，再丙与甲比赛，甲胜丙，再进行第四场比赛；
故所求概率，
所以甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率为；
（2）设事件表示甲与乙先赛且甲获得冠军；事件表示甲与丙先赛且甲获得冠军；事件表示乙与丙先赛且甲获得冠军，
则；
；
；
因为，
所以甲与乙进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大.
【点睛】
本题考查了互斥事件概率加法公式及独立事件概率乘法公式的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.
18．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依题意甲第一次取到的是黑球，接着乙取到的是黑球，第三次取球甲取到的是白球，即可求出概率；
（2）依题意甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球，再根据互斥事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：（1）设事件A为“取球3次即终止”.即甲第一次取到的是黑球，接着乙取到的是黑球，甲取到的是白球，因此，
（2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件，，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球，
所以
．
【点睛】
考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．属于中档题.
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据古典概型求出任选一道题目，甲答对和乙答对的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率，求出（1）和（2）中的每一个事件的概率.
【详解】
记“任选一道题目，甲答对”为事件，“任选一道题目，乙答对”
为事件，
根据古典概型概率计算公式，得
，
所以，
（1）“两人都没答对记为，
所以.
（2）“恰有一人答对”
所以
.
【点睛】
本题主要考查了古典概型，概率的加法公式和乘法公式，属于基础题.
20．（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）记“甲队总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件，甲队得3分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率．
（2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件，事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件与事件相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
【详解】
解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为，
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，
其概率为．
甲队总得分为3分与1分的概率分别为，．
（2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件，
事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，
则，
事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，
则，
由题意得事件与事件相互独立，
甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：
．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（1）；（2）理论上至少要进行19轮比赛；此时.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知获“优秀小组”的情况包含三种情况，分别计算概率，再求和；
（2）首先计算甲乙同学获得“优秀小组”的概率，再根据，利用基本不等式求的范围，再将概率表示为二次函数求的最大值，根据，计算的最小值.
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有①同学甲答对1次，同学乙答对2次；
②同学甲答对2次，同学乙答对1次；③同学甲答对2次，同学乙答对2次.
故所求概率
（2）他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为
因为，所以
因为，，，所以，，又
所以，
令，则
所以当时，，
他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足
由，则，所以理论上至少要进行19轮比赛.
此时，，.
【点睛】
本题考查独立事件概率，二项分布，最值的综合应用，重点考查读懂题意，抽象与概括能力，属于中档题型，本题第二问的关键是求出每次获得“优秀小组”的概率的最大值，并能抽象概括他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足.
22．(1)
；(2)
【解析】
【分析】
(1)由题意知李明通过面试的样本点有：；(2)由这4道题目能否答对是独立的，且李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为，即可求得李明通过面试的概率
【详解】
(1)
李明能通过面试的样本空间中样本点：
(2)由(1)知，李明通过面试的概率
又这4道题目能否答对是独立的，且李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为
∴，，，，
即
【点睛】
本题考查了概率的概念及独立事件的概念计算，由题意任意答对3个及以上的题可通过面试即可写出通过面试的所有样本点，根据基本事件的独立性，利用独立事件的乘法概率公式求样本点概率，进而求得通过面试的概率