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专题09
导数的应用（客观题）
一、单选题
1．（陕西省宝鸡市陈仓区2021届高三下学期教学质量检测（二））已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由得，.令，则在上单调递增，
因为的定义域为，所以不等式满足，，
不等式两边同时乘以得，，即，
又因为在上单调递增，所以，解得，故选B.
2．（陕西省渭南市富平县2020届高三下学期二模）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，又因为对于恒成立，所以在上单调递增，
因为对于恒成立，
所以对于恒成立，所以，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围为，故选B.
3．（山东省菏泽市2021届高三二模）已知、、，且、、，下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】即，即，即，
设，则，，，，
当时，，是减函数，当时，，是增函数，
因为、、，所以、、
因为，所以，，故选C.
4．（山东省枣庄三中2021届高三10月份第二次质检）函数（
）
A．在上是増函数
B．在上是减函数
C．在上单调递增，在上单调递减
D．在上单调递减，在上单调递増
【答案】A
【解析】∵,∴，∴在上单调递增.
故A正确,BCD不正确.故选A
5．（新疆维吾尔自治区克拉玛依市2020届高三三模）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设，所以，
因为时
，都有x+2f（x）＞0恒成立，所以，所以在上是增函数，
又因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以也是定义在R上的偶函数，
所以在上是减函数，
又因为，所以，
又因为，即.所以，故选A.
6．（四川省成都市2022届高三零诊考试）已知函数，若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不妨设，可得：，可得函数在，上单调递增，则导函数在，上恒成立，，可得：．
令，则，所以在上恒成立，在上恒成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，时，．．故选.
7．（四川省内江市2022届高三零模）已知函数，则“”是“函数为增函数”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以，所以当时，函数在定义域上单调递增，因为，所以“”是“函数为增函数”的充分不必要条件，故选A.
8．（内蒙古赤峰二中2021届高三三模）已知函数，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（
）
A．
B．在上存在零点，则a的最小值为
C．在上单调递增
D．在有且仅有一个极大值点
【答案】B
【解析】函数，所以，
由于函数为奇函数，所以，，
由于，故，故，故A错误；
令，所以，若在上存在零点，则a的最小值为，故B正确；
函数，当时，，所以函数不单调，故C错误；
对于D：由，得，当时，，当时，，所以函数，在时，，函数在上只有极小值，没有极大值，故D错误.故选B.
9．（黑龙江省哈尔滨一中2021届高三三模）已知函数（、、为常数），当时，只有一个实根，当时，有3个相异实根，现给出下列4个命题；
①函数有2个极值点；
②函数有3个极值点；
③和有一个相同的实根；
④和有一个相同的实根；
其中正确命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由题意，函数，可得，
因为当时，只有一个实根，当时，有3个相异实根，
所以函数既有极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，所以①正确，②错误；
由和有一个相同的实根，即为极大值点，所以③正确；
由和有一个相同的实根，即为极小值点，所以④正确.
综上可得，正确命题的个数为3个.故选C.
10．（黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2021届高三下学期5月第四次模拟考试）设函数，若，则函数的各极大值之和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令，
当时，为增函数，当时，为减函数
当（）时取极大值，此时，
所以数列首项为，公比为共项的等比数列，故和为，故选C.
11．（江苏省南通密卷2021届高三模拟试卷）已知若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令，则，，所以
令，则
当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，则
所以，则的最小值为，故选A.
12．（广西桂林市、崇左市2021届高三5月第二次联考）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，有两个变号零点，令，即，则，
显然，则，
设，则，
设，则，∴在上单调递减，
又，∴当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
∴，且时，，时，，∴，解得．故选B．
13．（甘肃省天水市第一中学2021届高三十模）关于函数有下列四个结论：
①在定义域上是偶函数；②在上是减函数；
③在上的最小值是；④在上有两个零点．
其中结论正确的编号是（
）
A．①②
B．②④
C．②③
D．③④
【答案】B
【解析】对于①.,,显然，所以函数不是偶函数，故①不正确.
对于②.，当时，,所以，所以在上是减函数，故②正确.
对于③.当时，,所以，所以在上是减函数,所以在上无最小值，故③不正确.
对于④.在上零点的个数，即方程在上根的个数，即函数与函数的图像在上的交点个数.分别作出函数，在上的图像.如图.
当时，，，由图可知函数与函数的图像在上有2个交点.
所以在上有两个零点，故④正确.
故选B.
14．（福建省宁德市2021届高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴函数关于对称，又，
∵，∴，∴恒成立，则是增函数，
∵，∴，∴，得，故选A.
15．（广东省六校2021届第四次联考）已知函数，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数大致图象如下：
则由图可得，而，故．，
令，，．则，在，上为单调增函数．
，．故选D.
二、多选题
16．（广东省珠海市2021届高三二模）已知函数，则（
）
A．恒成立
B．是上的减函数
C．在得到极大值
D．只有一个零点
【答案】CD
【解析】，该函数的定义域为，.
当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，
，故B选项错误，C选项正确；
当时，，此时，A选项错误；
由，可得，解得，D选项正确.
故选CD.
17．（广东省潮州市2021届高三二模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．时，取得最大值
D．时，取得最小值
【答案】AB
【解析】由图象可知：当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；
对于D，由单调性知，D错误.
故选AB.
18．（重庆市实验中学校2021届高三上学期第一次月考）已知函数的定义域为，导函数为，，且，则（
）
A．
B．在处取得极大值
C．
D．在单调递增
【答案】ACD
【解析】∵函数的定义域为，导函数为，，即满足，
∵，∴，∴可设（为常数），∴，
∵，解得，∴，∴，满足，∴C正确；
∵，且仅有，∴B错误，A、D正确，
故选ACD.
19．（江苏省常州市新桥高级中学2021届高三下学期三模）若，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】构造函数
，因为，所以在上单调递减，
因为，所以，即，所以选项A正确，选项B错误.
构造函数，，易知在上单调递增，而，时，，所以，使，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以无法判断C选项的正确性.
构造函数，易知在上单调递增，
因为，所以，即，所以选项D正确.
故选AD.
20．（辽宁省抚顺市六校协作体2020-2021学年高三一模）已知函数.（
）
A．当时，的极小值点为
B．若在上单调递增，则
C．若在定义域内不单调，则
D．若且曲线在点处的切线与曲线相切，则
【答案】BC
【解析】的定义域为，.根据极值点定义可知，极小值点不是坐标，A错误；
由得，因为，所以，B
正确；
因为，当时，恒成立，当时，不恒成立，函数不单调，C正确；
，，所以，，所以切线方程为，即，设切点横坐标为，则，故，切点，代入得，D错误.
故选BC
21．（河北省衡水市第一中学2022届高三上学期第一次调研）已知函数且函数，则下列选项正确的是（
）
A．点（0，0）是函数的零点
B．，，使
C．函数的值域为
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A说法错误；
对于选项B，当时，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，．当时，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，．综上可得，选项B正确．
对于选项C，，选项C正确．
结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0；所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根?关于的方程有两个不相等的实数根?关于的方程有一个非零的实数根?函数的图象与直线有一个交点，且，则
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
0
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
极大值，极小值；
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
1
2
0
+
e
↘
极小值
↗
极小值．
综上可得，或，解得的取值范围是，故D正确．
故选BCD．
三、填空题
22．（陕西省宝鸡市陈仓区2021届高三下学期教学质量检测（二））设是函数的一个极值点，则______.
【答案】
【解析】因为函数，所以，
因为是函数的一个极值点，所以，，
所以.故答案为：.
23．（吉林省白城市通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考）已知定义在上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为__________
【答案】
【解析】令，则，
因为，所以，所以在上为减函数，
由，，得即，
因为在上为减函数，所以，解得或，故答案为：
24．（江苏省盐城市滨海中学2021届高三下学期一模）已知函数，对任意的，使得，则___________.
【答案】-3
【解析】由题意，令，易知是奇函数，，
1、当时，，即单调递增，，，
∴，任意的，使得，
当时，，不合题意；当时，，不合题意；
2、当时，有，
∴当，则上，即单调递减，故，同1可知不合题意；当，则、上，即单调递增，上，即单调递减，
∴①得，或②得，
∴，代入①得，故.故答案为：
25．（四川省内江市2022届高三上学期零模）若对任意的，且，，则的最小值是_____.
【答案】
【解析】由，得：，令，则在上单调递减，，当时，；当时，；
的单调递减区间为，，的最小值为.故答案为：.
26．（山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练）若有两个不同零点，且，则的取值范围是___________．(其中)
【答案】
【解析】因为，所以，在上有两个不同的根，令，则，
由得：,且时，，且时，，如图，
所以，，因为，所以，所以，
因为，所以．
27．（重庆市江津中学、铜梁中学、长寿中学等七校联盟2021届高三三模）已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为是奇函数，所以函数的图形关于（1，3）对称，且，
因为当时，，当且仅当，即时取等号，所以，故函数在上单调递增，
根据函数的对称性可知，函数在上单调递增，则不等式可化为或，解得或．故答案为：．
28．（湖北省武汉一中2021届高三下学期二模）已知函数，存在实数，使的图象与的图象无公共点，则实数b的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为的图象与的图象无公共点等价于或恒成立，即或恒成立，
即或恒成立，
设，则，
当时，，时，，
所以当时，函数取得极小值同时也是最小值，
设，易知在上为减函数，
则的最大值为，故的最小值，
①若，则；
②若恒成立，则不成立，
综上，．故答案为：．
29．（陕西省西安中学2021届高三第一次仿真考试）函数的递增区间为______；若，则函数零点的取值范围是______．
【答案】，
【解析】函数的定义域为,,
显然在定义域内，且仅在时,
∴在定义域的各个区间内都是单调增函数，即的单调增区间是，;
当时，,∴,
当时，在上,在时.
令,显然不是的零点，分离参数得,
∵当时,∴由，满足的x的值大于-2，得，
∵在上单调递增，∴，即的零点的取值范围是,
故答案为：
，；.
30．（江苏省南通市海门市第一中学2020-2021学年高三上学期期末）函数是单调函数.①的取值范围是_____；②若的值域是，且方程没有实根，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】①当时，，，所以，函数在上为增函数，
由于函数在上为单调函数，则该函数在上为增函数，
所以，解得，即实数的取值范围是；
②当时，函数单调递增，此时，，
所以，函数在上的值域应包含，则.
当时，，由题意可得，可得.
由①可知，，.
设，则.设直线与曲线的图象相切于点，
所以，解得.
由图象可知，当，直线与函数的图象没有公共点.
故答案为：；.
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专题09
导数的应用（客观题）
一、单选题
1．（陕西省宝鸡市陈仓区2021届高三下学期教学质量检测（二））已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（陕西省渭南市富平县2020届高三下学期二模）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（山东省菏泽市2021届高三二模）已知、、，且、、，下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（山东省枣庄三中2021届高三10月份第二次质检）函数（
）
A．在上是増函数
B．在上是减函数
C．在上单调递增，在上单调递减
D．在上单调递减，在上单调递増
5．（新疆维吾尔自治区克拉玛依市2020届高三三模）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（四川省成都市2022届高三零诊考试）已知函数，若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（四川省内江市2022届高三零模）已知函数，则“”是“函数为增函数”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（内蒙古赤峰二中2021届高三三模）已知函数，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（
）
A．
B．在上存在零点，则a的最小值为
C．在上单调递增
D．在有且仅有一个极大值点
9．（黑龙江省哈尔滨一中2021届高三三模）已知函数（、、为常数），当时，只有一个实根，当时，有3个相异实根，现给出下列4个命题；
①函数有2个极值点；
②函数有3个极值点；
③和有一个相同的实根；
④和有一个相同的实根；
其中正确命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．（黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2021届高三下学期5月第四次模拟考试）设函数，若，则函数的各极大值之和为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（江苏省南通密卷2021届高三模拟试卷）已知若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（广西桂林市、崇左市2021届高三5月第二次联考）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
13．（甘肃省天水市第一中学2021届高三十模）关于函数有下列四个结论：
①在定义域上是偶函数；②在上是减函数；
③在上的最小值是；④在上有两个零点．
其中结论正确的编号是（
）
A．①②
B．②④
C．②③
D．③④
14．（福建省宁德市2021届高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
15．（广东省六校2021届第四次联考）已知函数，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
16．（广东省珠海市2021届高三二模）已知函数，则（
）
A．恒成立
B．是上的减函数
C．在得到极大值
D．只有一个零点
17．（广东省潮州市2021届高三二模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．时，取得最大值
D．时，取得最小值
18．（重庆市实验中学校2021届高三上学期第一次月考）已知函数的定义域为，导函数为，，且，则（
）
A．
B．在处取得极大值
C．
D．在单调递增
19．（江苏省常州市新桥高级中学2021届高三下学期三模）若，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
20．（辽宁省抚顺市六校协作体2020-2021学年高三一模）已知函数.（
）
A．当时，的极小值点为
B．若在上单调递增，则
C．若在定义域内不单调，则
D．若且曲线在点处的切线与曲线相切，则
21．（河北省衡水市第一中学2022届高三上学期第一次调研）已知函数且函数，则下列选项正确的是（
）
A．点（0，0）是函数的零点
B．，，使
C．函数的值域为
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
三、填空题
22．（陕西省宝鸡市陈仓区2021届高三下学期教学质量检测（二））设是函数的一个极值点，则______.
23．（吉林省白城市通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考）已知定义在上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为__________
24．（江苏省盐城市滨海中学2021届高三下学期一模）已知函数，对任意的，使得，则___________.
25．（四川省内江市2022届高三上学期零模）若对任意的，且，，则的最小值是_____.
26．（山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练）若有两个不同零点，且，则的取值范围是___________．(其中)
27．（重庆市江津中学、铜梁中学、长寿中学等七校联盟2021届高三三模）已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为______．
28．（湖北省武汉一中2021届高三下学期二模）已知函数，存在实数，使的图象与的图象无公共点，则实数b的取值范围为__________．
29．（陕西省西安中学2021届高三第一次仿真考试）函数的递增区间为______；若，则函数零点的取值范围是______．
30．（江苏省南通市海门市第一中学2020-2021学年高三上学期期末）函数是单调函数.①的取值范围是_____；②若的值域是，且方程没有实根，则的取值范围是_____.
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