浙教版七年级上册期末复习三
实数
复习目标
要求
知识与方法
了解
平方根、算术平方根、立方根的概念
无理数的概念
实数的概念、实数与数轴上的点一一对应
理解
实数的分类
用有理数估计无理数，实数的大小比较
运用
用计算器进行简单的混合运算
用实数的运算解决一些简单的实际问题
必备知识与防范点
一、必备知识：
1．
一个正数a有
个平方根，正平方根用
表示，负平方根用
表示.
0的平方根等于
，
没有平方根．
2．
一个正数有一个
的立方根；一个负数有一个
的立方根；0的立方根是
.
3．
叫做无理数．常见的无理数有三种形式：①带π的，②开不尽的方根，③不是循环规律的无限小数．
4．
在数轴上表示两个实数，
的数总比
的数大．
数轴上的点与
一一对应．
二、防范点：
1．
区分平方根和算术平方根的概念，注意一个正数的平方根必有两个．
2．
不要把无限小数都认为是无理数．
如，等无限小数都是有理数．
例题精析
考点一
平方根、算术平方根及立方根
例1
（1）的算术平方根是
，的平方根是
，的立方根是
．
（2）下列说法中正确的是
（
）
A．
9的立方根是3
B．
－9的平方根是－3
C．
±4是64的立方根
D．
4是16的算术平方根
【反思】注意一个正数的平方根有两个，立方根只有一个．
考点二
算术平方根的双重非负性
例2
（1）已知实数x，y满足x-5＋＝0，求（x＋y）2021的值.
（2）对于有理数x，的值是（
）
A．
0
B．
2020
C.
D．
－2020
【反思】算术平方根具有双重非负性，第一，被开方数是一个非负数，第二，算术平方根的本身也是一个非负数．
考点三
无理数、实数的概念及实数的分类
例3
（1）在中，无理数的个数是（
）
A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个
（2）在0，3.14，，，4.262262226…（每两个“6”之间依次多一个“2”）中，
属于有理数的有
；
属于无理数的有
；
属于正实数的有
；
属于负实数的有
．
【反思】无理数常见形式有三种：①开不尽的方根，②带π的，③不是循环规律的无限小数．所以不要把所有无限小数都认为是无理数．
考点四
估算无理数，实数的大小比较
例4
（1）估计的值在
（
）
A．
1与2之间
B．
2与3之间
C．
4与5之间
D．
3与4之间
（2）的整数部分是
，的小数部分是
．
（3）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“<”连接起来：－1.5，，0，π
【反思】无理数的小数部分即为这个数减去它的整数部分，它仍然是个无理数；在数轴上表示无理数，往往取无理数的近似值表示在数轴上即可．
考点五
实数与数轴相关问题
例5
（1）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是
；点B表示的数是
．
（2）如图所示，数轴上表示2，的点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是
．
【反思】实数与数轴相关问题，往往是利用数轴上两点间的距离公式，并结合方程思想求解．
考点六
实数的运算
例6
计算下列各题：
（3）用计算器计算（结果精确到0.001）．
考点七
运用实数的运算解决一些简单的实际问题
例7
将一个半径为10cm的圆柱体容器里的药液，倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？（结果精确到0.1）．
【反思】关于实数运算的实际问题，往往与求体积、面积相关，注意体积、面积公式不要搞错．
校内练习
1．
下列说法中，正确的是
（
）
A．
一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B．
一个数的立方根与这个数同号
C．
如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D．
一个数的立方根是非负数
2．
设面积为18的正方形的边长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根.
其中正确的是
（
）
A.
①④
B.
②③
C.
①②④
D.
①③④
3．
请写出两个无理数，使它们的和是有理数：
.
4．
若a＜＜b，且a，b为连续正整数，则a2－b2＝
.
5．
在如图所示的数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是1和－，则点C对应的实数是
.
6．
的相反数是
，绝对值是
．
7．
-8的立方根与25的算术平方根的和是
．
8．
某正数的平方根是a和a-16，则这个数的立方根为
．
9.
计算：
10．
当运动中的汽车撞击到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量．
某种型号的汽车的撞击影响可以用公式I＝2v2来表示，其中v（千米/分）表示汽车撞击时的行驶速度．
假设这种型号的汽车在一次撞车实验中测得撞击影响为17，试求出撞击时该车的行驶速度（精确到1千米/分）．
11．
有一组实数：，0.1212212221…（每两个“1”之间依次多一个“2”）；
（1）将它们分类，填在相应的横线上：
有理数：
；
无理数：
.
（2）选出2个有理数和2个无理数，用“+，-，×，÷”中三个不同的运算符号列成一个算式（可以添括号），使得运算结果为正整数.
12.
操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）.
（1）折叠纸面，使表示的点1与-1重合，则-2表示的点与
表示的点重合.
（2）折叠纸面，使-1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数
表示的点重合.
②表示的点与数
表示的点重合.
③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是
，点B表示的数是
.
（3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a互为相反数，求a的值．
参考答案
期末复习三
实数
【必备知识与防范点】
1.
正、负两
0
负数
2.
正
负
0
3.
无限不循环小数
4.
右边
左边
实数
【例题精析】
例1
（1）
±2
2
（2）D
例2
（1）－1
（2）C
例3
（1）A
（2）有理数有：0，3.14，；无理数有：2π，－，4.262262226…（每两个“6”之间依次多一个“2”）；正实数有：3.14，，2π，，4.262262226…（每两个“6”之间依次多一个“2”）；负实数有：－，－.
例4
（1）D
（2）3
－6
（3）画图略
例5
例6
（1）3
（2）2
（3）2.686
例7
17.7cm
【校内练习】
1—2.
BC
3.
答案不唯一，如：－π，π
4.
－7
5.
2＋
6.
7.
3
8.
4
9.
10.
根据I＝2v2，I＝17，∴v2＝，∴v＝≈3千米/分．
答：撞击时该车的行驶速度约为3千米/分．
11.
（1）2，0，，0.1212212221…（每两个“1”之间依次多一个“2”）
（2）π×-0+2=4.
（答案不唯一）
12.
（1）2
（2）①-3 ②2- ③-3.5
5.5
（3）①A往左移4个单位：（a-4）+a＝0，解得：a＝2．
②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝-2．
综上所述：a的值为2或-2.浙教版七年级上册期末复习五
一元一次方程（一）
复习目标
要求
知识与方法
了解
方程的概念，一元一次方程的概念
一元一次方程解的概念
用尝试检验的方法解简单的一元一次方程
理解
等式的基本性质及利用等式的性质解一元一次方程
移项、去括号、去分母的法则及依据
解一元一次方程的一般步骤
运用
选择合适的方法解一元一次方程
必备知识与防范点
一、必备知识：
1．
方程的两边都是
，只含有
未知数，并且未知数的指数是
，这样的方程叫做一元一次方程．
2．
等式的性质1：等式的两边都加上（或都减去）
数或式，所得结果仍是等式．
等式性质2：等式的两边都乘或除以同一个
（除数不能为0），所得结果仍是等式．
3．
解方程常见的变形有
，
，
，
，
．
二、防范点：
1．
利用等式性质2时，注意除数或式不能为0.
2．
移项要注意变位置，变符号两个变．
3．
去分母时不要漏乘没分母的单项式，去掉分母后，分子部分为一个整体，要添加括号．
4．
用分配律去括号时注意不要漏项，并注意每一项的符号变化．
例题精析
考点一
一元一次方程的概念
例1
（1）下列方程中，是一元一次方程的是
（
）
A．
x2－4x＝3
B．
x＋2y＝1
C．
x－1＝0
D．
x－1＝
（2）关于x的方程（m－1）xn－2－3＝0是一元一次方程，则m，n应满足的条件为：m
，n
．
【反思】根据一元一次方程的概念进行判断，注意除了考虑次数为1之外，还应考虑未知数的系数不为零．
考点二
一元一次方程的解
例2
（1）请写出一个未知数x的系数为2，且解为x＝－3的一元一次方程：
．
（2）若x＝－2是关于x的方程2x＋3m＋5＝0的解，则m的值为
．
（3）已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝
．
【反思】解决整数解的问题，关键是把另一个字母看做已知数，解关于x的方程，最后再考虑解的整除性从而求出结果．
考点三
等式的基本性质
例3
（1）如果a＝b，那么下列式子不一定成立的是
（
）
A．
a＋c＝b＋c
B．
c－a＝c－b
C．
ac＝bc
D.
（2）已知2x＋y＝0，且x≠0，则的值为
（
）
（3）在括号内填写解方程中一些步骤的依据：
.
解：去分母，得：3（2－x）＝4x＋12（
），
去括号，得：6－3x＝4x＋12（
），
移项，得：－3x－4x＝12－6（
），
合并同类项，得：－7x＝6，
系数化为1，得：x＝－（
）．
【反思】方程的变形主要用到的是等式的性质，但在使用等式性质2的时候要注意除以的数或式子不能为零．解方程的每一个步骤都要清楚它们的依据．
考点四
解一元一次方程
例4
（1）解方程＝1时，把分母化为整数正确的是（
）
（2）某同学在解关于y的方程去分母时，方程右边的－1没有乘6，结果求得方程的解为y＝2，试求a的值及此方程的解.
（3）解方程：
①5（x＋8）－5＝6（2x－7）.
【反思】解方程各步骤中的易错点要引起重视，去分母时注意不漏乘，关注分数线括号的作用；去括号时注意符号的变化；当方程中分数的分子、分母含有小数时，一般要把小数化成整数，转化过程中注意用到分数的基本性质，不要和等式的性质混淆．
校内练习
1．
下列各项正确的是
（
）
A．
7x＝4x－3移项得7x－4x＝3
B．
由去分母得2（2x－1）＝1＋3（x－3）
C．
由2（2x－1）－3（x－3）＝1去括号得4x－2－3x－9＝1
D．
由2（x＋1）＝x＋7去括号、移项、合并同类项得x＝5
2．
小明在解关于x的方程3a-2x=11时，误将-2x看成了+2x，得到的解为x=-2，请聪明的你帮小明算一算，方程正确的解为
（
）
A.
x=2
B.
x=0
C.
x=-3
D.
x=1
3．
若x＝2是关于x的一元一次方程mx-n＝3的解，则2-4m+2n的值是
．
4．
关于x的方程m-1xn-2－13＝0是一元一次方程，则m，n应满足的条件为：m
，
n
.
5．
已知关于x的一元一次方程+3＝2019x+m的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程+3＝2019（1-y）+m的解y＝
．
6．
当x取何值时，代数式和x－2是互为相反数？
7．
解方程：
8．
已知表内每一横行中从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m，各竖列中从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n.
（1）若u=18，v=27，求w-2y的值.
（2）若x=-8，求y的值.
参考答案
期末复习五
一元一次方程（一）
【必备知识与防范点】
1.
整式
一个
一次
2.
同一个
数或式
3.
去分母
去括号
移项
合并同类项
两边同除以未知数的系数
【例题精析】
例1
（1）C
（2）≠1
＝3
例2
（1）答案不唯一，如2x＝－6
（2）－
（3）8，10，－8，26
例3
（1）D
（2）A
（3）等式性质2
去括号法则或分配律
等式性质1
等式性质2
例4
（1）B
（2）a＝，y＝－3.
（3）①x＝11.
②y＝－1.
③x＝5.
【校内练习】
1—2.
DA
3.
-4
4.
≠1
＝3或1
5.
－1
6.
由题意得＋x－2＝0，解方程得x＝.
7.
（1）x＝1
（2）x＝－8
8.
（1）u=18=12+2m，∴m=3，v=12+3n=27，n=5，w=v+m=30，y=v-2m-n=27-6-5=16，w-2y的值为-2.
（2）x=12+m-n=-8，∴m-n=-20，y=12+2n-2m=12-2（m-n）=52.浙教版七年级上册期末复习四
代数式
复习目标
要求
知识与方法
了解
代数式的概念
单项式、多项式、整式的概念
用代数式表示简单的数量关系
同类项概念
理解
辨别单项式的系数和次数、多项式中的项、项的系数、多项式的次数
解释简单代数式的实际背景或几何意义
求代数式的值
合并同类项法则、去括号法则
运用
整式的加减运算
运用整式加减解决一些简单的实际问题
必备知识与防范点
一、必备知识：
1．
数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，
可以省略不写，或用
来代替．
数和字母相乘，在省略乘号时，要把数字写在字母的
，带单位的和式要添加
，带分数与字母相乘时要化成
．
2．
由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做
．
单项式中数字因数叫做这个单项式的
，所有字母的指数的
叫做这个单项式的
.
3．
由几个
相加组成的代数式叫做多项式．
在多项式中，每个单项式叫做多项式的
，不含字母的项叫做
，
就是这个多项式的次数．
4．
合并同类项法则：把同类项的
相加，所得的结果作为系数，
不变．
5．
整式的加减运算可归结为
和
．
二、防范点：
1．
用代数式表示简单数量关系时，若是带单位的和式不要遗漏括号．
2．
区分单项式次数和多项式次数的概念，单项式次数是所有字母指数和，而多项式次数只是次数最高的项的次数，指数不用求和．
3．
求代数式值的过程中，当字母表示的数为负数或分数时，注意添加括号．
4．
进行整式加减运算的过程中，往往每个多项式都要添加括号进行加减．
5．
当括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号时，各项都要改变符号，不要遗漏．
例题精析
考点一
用代数式表示简单的数量关系及代数式的实际背景或几何意义
例1
（1）用代数式表示：
①x的2倍与y的－3倍的差.
②a与b的平方的和.
③x的相反数与3的倒数的差.
（2）说出下列代数式的意义：
①3a＋b.
②（a－b）2.
③x－.
【反思】用代数式表示数量关系应特别注意数学语言中的关键词语，分清代数式中数量关系的运算层次和顺序，必要时要添加括号．
类型二
求代数式的值
例2
（1）当a＝3，b＝－2时，代数式（a－b）（a＋b）的值是
.
（2）当a＋b＝2，a－b＝5时，代数式（a＋b）3·（a－b）2的值是
.
（3）当x＋2y＝－6时，代数式的值是
．
【反思】求代数式值的过程中有时要用到整体思想，（3）中就是把x＋2y看成一个整体代入求值．
考点三
单项式和多项式
例3
（1）下列说法正确的是
（
）
A．
单项式－x2y的系数是，次数是2
B．
单项式x的系数是0，次数是0
C.
是二次单项式
D．
单项式－的系数是－，次数为3
（2）多项式x3－2y4－1是
次
项式，次数最高项是
．
【反思】单项式的数字因数是单项式的系数．而单项式的次数和多项式的次数是不同的，单项式的次数是所有字母的指数和，但多项式的次数是次数最高次项的次数，两者不要混淆．
考点四
整式的加减
例4
（1）化简：2（a2＋a－3）－3（a2－1）.
（2）先化简，再求值：5a2b－{2a2b－[3ab2－（4ab2－2a2b）]}，其中a＝－3，b＝0.5.
（3）试说明代数式（2a－3b＋5）－（2－b＋a）－（a－2b－6）的值与a，b的取值无关．
【反思】整式加减实质是去括号和合并同类项，去括号时应注意符号的变化．
当让你说明某个代数式的值与某个字母无关时，往往是含有该字母的各项在合并后系数为0.
考点五
运用整式加减解决简单的实际问题
例5
如图，四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形．
（1）用含x，y的式子表示三角形BGF的面积.
（2）用含x，y的式子表示阴影部分面积.
（3）求当x＝2cm，y＝3cm时，阴影部分的面积是多少？
【反思】求不规则图形面积的常用方法是割补法，往往把图形分割或补全成我们熟悉的规则图形来求面积．
校内练习
1．
下列说法中，错误的是
（
）
A．
多项式是整式，整式不一定都是多项式
B．
多项式是由几个单项式相加组成的
C．
单独的一个字母或数是单项式
D．
多项式的次数是由字母的最高次数决定的
2．
已知代数式3x2－4x＋6的值为9，则x2－x＋9的值为
.
3．
已知A＝x－5x2，B＝x2－11x＋6，那么化简2A－B的结果是
.
4．
一个两位数的个位数字为a，十位数字比个位数字大2，则这个数为
.
（用含有a的代数式表示）
5．
（1）先化简，再求值：2（a2－ab）－3（a2－ab），其中a＝，b＝－6.
（2）若代数式（2x2＋ax－y＋b）－（2bx2＋3x＋5y＋1）的值与字母x的取值无关，求a，b的值．
6．
如图，是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m）．
（1）用式子表示这所住宅的建筑面积.
（2）若a＝4，b＝6，求出这所住宅的建筑面积．
参考答案
期末复习四
代数式
【必备知识与防范点】
1.
乘号
“·”
前面
括号
假分数
2.
单项式
系数
和
次数
3.
单项式
项
常数项
次数最高的项的次数
4.
系数
字母和字母的指数
5.
去括号
合并同类项
【例题精析】
例1
（1）①2x－（－3y）.
②a＋b2.
③－x－.
（2）①a的3倍与b的和.
②a与b的差的平方.
③x与y的倒数的差.
例2
（1）5
（2）200
（3）4
例3
（1）D
（2）四
三
－2y4
例4
（1）－a2＋2a－3
（2）原式＝5a2b－ab2＝23.25
（3）化简结果为9，所以和a，b的取值无关．
例5
【校内练习】
1.
D
2.
10
3.
13x－11x2－6
4.
11a＋20
5.
（1）原式＝2a2－2ab－2a2＋3ab＝ab，当a＝，b＝－6时，原式＝ab＝×（－6）＝－4.
（2）原式＝（2－2b）x2＋（a－3）x－6y＋b－1，∵代数式的值与字母x的取值无关，∴2－2b＝0，a－3＝0，即a＝3，b＝1.
6.
（1）这所宅子的建筑面积是：S＝2a·（3+b）+5×4+5a＝11a+2ab+20.
（2）当a＝4，b＝6时，S＝11×4+2×4×6+20＝112（m2），∴这所宅子的建筑面积为112m2．浙教版七年级上册期末复习六
一元一次方程（二）
复习目标
要求
知识与方法
了解
问题解决的四个步骤；列方程解应用题的一般步骤
理解
根据具体问题中的关系找寻相等关系；根据相等关系列方程
运用
利用一元一次方程解决简单的实际问题
必备知识与防范点
一、必备知识：
1．
问题解决的基本步骤：
，
，
，
．
2．
行程问题：速度×时间＝路程，速度和×时间＝总路程，速度差×时间＝追及的路程．
3．
工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量，甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．
4．
利率问题：本金×利率×存期＝利息，利息×税率＝利息税，本金＋利息－利息税＝实得本利和．
二、防范点：
1．
各类问题中的数量关系要理清．如行程问题中速度、时间、路程之间的关系，工程问题中工作效率、工作时间、工作总量之间的关系等．利用常见的相等关系列方程．
2．
调配问题中要分清是内部调配还是外部调配，配套问题中注意两个量之间的比例关系不要搞错．
3．
题意比较复杂时要用线段图示、列表等方法分析题意．
例题精析
考点一
一元一次方程的应用
例1
（1）小华带x元钱去买甜点，若全买红豆汤圆，刚好可买30杯；若全买豆花，刚好可买40杯．已知豆花每杯比红豆汤圆便宜1元，依据题意可列出的方程是
．
如图，要求右边的“□”内填入同一个数字．
则这个数字是
．
（3）要锻造一个边长为50mm的立方体零件毛坯，需要取直径为100mm的圆钢长为
mm（结果保留π）．
（4）小华的爸爸三年前为小华存了一份5000元的教育储蓄，今年到期时的本息和是5405元，请你帮小华算一算，这种储蓄的年利率是
．
（5）植树节期间，我市某初中学校组织植树活动，已知在甲处植树的有13人，在乙处植树的有17人．
现调15人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的，应调往甲处
人，乙处
人.
（6）学校装修录播教室需用A型板材120块、B型板材90块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm.
现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材.
一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）.
若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用.
①上表中，m=
，n=
.
②用含有x的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数.
③问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的x的值；若不能，请说明理由.
【反思】列一元一次方程解应用题关键在于寻找未知量与已知量之间的一个相等关系．
然后根据这个相等关系，设相应的未知量为未知数，列出一元一次方程．往往设未知数的方法有两种：一种是直接设法，还有一种是间接设法．
考点二
利用一元一次方程解决方案决策问题
例2
某市在艺术节中组织中小学校文艺汇演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲校学生多于乙校学生，且甲校学生不足90名），现准备统一购买服装参加演出，下表是某服装厂给出的演出服装价格表：
如果两所学校单独购买服装，一共应付5000元.
（1）甲、乙两校各有多少名学生准备参加汇演？
（2）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
（3）如果甲校有10名学生被调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两校设计购买服装方案，并说明哪一种最省钱．
例3
一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，已知甲工程队铺设每天需支付工程费2000元，乙工程队铺设每天需支付工程费1500元．
（1）甲、乙两队合作施工多少天能完成该管线的铺设？
（2）由两队合做该管线铺设工程共需支付工程费多少元？
（3）根据实际情况，若该工程要求10天完成，从节约资金的角度应怎样安排施工？
【反思】此类问题根据题意试着寻找最优策略，例2（3）分别求出购买服装、一起购买及购买91套服装所需费用，比较后即可得出结论．
例3（3）若该工程要求10天完成，甲工程队效率高，所以甲干满10天，剩下的让乙工程队干，算出天数即可．
校内练习
1．
A种饮料比B种饮料的单价少1元，小刚买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设B种饮料单价为x元/瓶，那么下列所列方程正确的是
（
）
A．
2（x-1）+3x=13
B．
2（x+1）+3x=13
C．
2x+3（x+1）=13
D．
2x+3（x-1）=13
2．
某商场购进一批服装，每件进价200元，由于换季滞销，商场决定将这批服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是
（
）
A．
350元
B．
400元
C．
450元
D．
500元
3．
小红去水果店买苹果，店内有四种苹果，各品种的单价如下表所示：
回家后，小红根据买的情况列了一个方程50-12.4x-9（4-x）=3.8（设购买B品种的苹果x千克），想考考妈妈.
下列说法与实际购买信息不符合的是
（
）
A．
一共买了4千克苹果
B．
（4-x）表示买C品种苹果的千克数
C．
没有买A，D品种的苹果
D．
本次购买苹果共支出50元
4．
12年前父亲的年龄是儿子年龄的10倍，从现在起12年以后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，现在父亲的年龄是
岁．
5．
某网络书店销售一套《趣味数学丛书》，每套5本，每本20元，购买者可以成套买，总书价打八折，免快递费；也可以只买其中的若干本，总书价打九折，再一共付快递费10元.
（1）因为小明已买了这套丛书中的2本书，所以小明想买剩下的那3本，问他需要用多少钱去买？
（2）由于许多同学要买这套书，班长决定大家一起买，一共花680元，买了40本.
问其中成套买的有几套？
6．
一天，某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶甲车先到达服务区C地，此时两车相距千米，甲车在服务区C地休息了20分钟，然后按原速度开往B地；乙车行驶2小时15分钟时也经过C地，未停留继续开往A地.
（1）乙车的速度是
千米/小时，B、C两地的距离是
千米.
（2）求甲车的速度.
（3）这一天，乙车出发多长时间，两车相距200千米？
参考答案
期末复习六
一元一次方程（二）
【必备知识与防范点】
1.
理解问题
制订计划
执行计划
回顾
【例题精析】
例1
（1）＋1
（2）2
（3）
（4）2.7%
（5）2
13
（6）①0
3
②裁法二为张，裁法三为张.
③由题意得：x+=82，解得x=48，但当x=48时，=-2，不成立，故总张数不能取82张.
例2
（1）设甲校有x名学生准备参加演出，则乙校有（92-x）名学生参加演出，根据题意得：50x+60（92-x）＝5000，解得x＝52．
∴92-x＝92-52＝40，答：甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出.
（2）由题意得：5000-92×40＝1320（元），答：甲、乙两校联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1320元.
（3）因为甲校有10名学生不能参加演出，则甲校有42名学生参加演出，
①若两校联合购买服装，则需要（42+40）×50＝4100（元）．
②若两校各自购买服装，则需要（42+40）×60＝4920（元）．
③若两校联合购买91套服装，则需要40×91＝3640（元）．
综上所述，最省钱的购买服装方案是两校联合购买91套服装．
例3
（1）设甲、乙两队合作施工x天能完成该管线的铺设，由题意得＝1，解得：x＝8．
答：甲、乙两队合作施工8天能完成该管线的铺设．
（2）（2000+1500）×8＝28000（元）
答：两队合做该管线铺设工程共需支付工程费28000元．
（3）设甲干满10天，剩下的让乙工程队干需要a天，由题意得＝1，解得：a＝4，故甲乙合干4天，剩下的甲再干6天完成任务．
【校内练习】
1—3.
ABD
4.
42
5.
（1）3×20×0.9+10=64（元）
答：他需要用64元去买那3本书.
（2）设成套买的有x套，由题意，得：
100x×0.8+20（40-5x）×0.9+10=680，解得x=5.
答：成套买的有5套.
6.
（1）80
180
（2）A距C：380-180=200千米，甲速度：=100千米/时.
（3）相遇前：设乙行x小时，80x+100x=380-200，
180x=180，x=1.
相遇后：设乙行x小时，80x+100（x-）=380+200，80x+100x-=580，24x+30x-10=174，54x=184，x=.
答：乙车出发1或小时后，两车相距200km.浙教版七年级上册期末复习一
有理数
复习目标
要求
知识与方法
了解
用正数、负数表示相反意义的量，有理数的分类
数轴的概念
相反数和绝对值的概念，求某个有理数的相反数、绝对值
理解
画数轴，描点，读数
互为相反数的两数绝对值相等，互为相反数的两数在数轴上的位置关系
已知某数的绝对值求某数
有理数的大小比较
运用
利用数形结合的方法，用数轴解决一些实际问题
涉及字母的绝对值问题
必备知识与防范点
一、必备知识：
1．
规定了
、
和
的直线叫做数轴．
2．
在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的
，并且到原点的距离
．
3．
一个正数的绝对值是
；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
的两个数的绝对值相等．
4．
在数轴上表示的两个数，
的数总比
的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数
．
二、防范点：
1．
到数轴上的某点距离等于a的点所表示的数有两种情况，已知某数的绝对值求某数时也要注意有两个答案．
2．
两个负数比较大小时，注意绝对值大的数反而小．
例题精析
考点一
用正数、负数表示相反意义的量
例1
（1）在下列各组中，哪个选项表示互为相反意义的量？
（
）
A．
足球比赛胜5场与负2场
B．
向东走3千米与向南走4千米
C．
长大1岁和减少2公斤
D．
下降与上升
（2）如果南湖的水位升高0.4m，水位变化记做＋0.4m，那么水位下降0.3m时，水位变化可以记做
m.
【反思】实际生活中具有相反意义的词语还是比较多的，如：北与南，上升与下降，运进与运出，增加与减少等等．在表示时往往先规定其中一个量为正，那么另一个量就可以用负来表示了．
考点二
有理数的分类
例2
把下列各数分别填在题后相应的集合中：
正数集合：{
}；
负整数集合：{
}；
分数集合：{
}；
非负整数集合：{
}.
【反思】注意非负整数概念是正整数和零．
考点三
相反数与绝对值
例3
（1）－的相反数是
，－的倒数是
，2－的绝对值是
.
若实数a、b满足a+2＋＝0，则＝
.
（3）绝对值小于4的整数有
个，它们的和是
，积是
．
【反思】绝对值的意义是一个数在数轴上对应的点到原点的距离，所以任何有理数的绝对值都是非负数．而相反数是只有符号不同的两个数，互为相反数的两个数（除0外）符号一定是一正一负．
考点四
有理数的大小比较
例4
（1）比较大小：-
-.
（2）绝对值小于7不小于4的整数有
.
（3）在数轴上表示下列各数，并用“＜”号连接起来．+4，-3.5，，0，2.5.
【反思】两个有理数的大小比较往往运用法则，注意两个负数比较大小时，绝对值大的反而小；而多个数的大小比较往往通过画数轴比较，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．
考点五
绝对值相关问题
例5
（1）检验4个工件，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的工件是
（
）
A．
－2
B．
－3
C．
3
D．
5
（2）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是
（
）
A．
a＜1＜b
B．
1＜－a＜b
C．
1＜a＜b
D．
－b＜a＜－1
（3）x是2的相反数，y＝3，则x－y的值是
．
【反思】绝对值等于一个正数的数有两个，注意解题时不要遗漏．
涉及字母的绝对值问题关键是关注字母所表示数的正负性，有时还可以用绝对值在数轴上的几何意义来形象地解决这类问题．
考点六
数轴相关问题
例6
如图所示，数轴上A，B两点对应的数分别为1，-3.
（1）若点P在数轴上，且PA+PB=6，求点P对应的数.
（2）若点M在数轴上，且MA∶MB=1∶3，求点M对应的数.
（3）若点A的速度为5个单位长度/秒，点B的速度为2个单位长度/秒，点O的速度为1个单位长度/秒，点A，B，O同时向右运动，几秒后，点O恰为AB的中点？
校内练习
1．
下列说法正确的是
（
）
A．
有理数包括正有理数和负有理数
B．
一个数的绝对值一定是正数
C．
符号相反的两个数互为相反数
D．
-a不一定表示负数
2．
数轴上到－3的距离等于2的数是
.
3．
甲、乙两支同样的温度计如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数20正对着乙温度计的度数－10，那么此时甲温度计的度数－5正对着乙温度计的度数是
.
4．
将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第7个图形的小圆个数是
.
5．
把下列各数分类：
-3，0.45，，0，9，-1，-1，10，-3.14.
（1）正整数：{
…}.
（2）负整数：{
…}.
（3）整数：{
…}.
（4）分数：{
…}.
6．
如图，已知数轴的单位长度为1.
（1）如果点A，B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是
.
（2）如果点D，B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是
（填“正数”或“负数”），图中表示的5个点中，表示的数的绝对值最小的一个点是
，最小的绝对值是
.
（3）若点A为原点，CF＝3，求点F表示的数．
7．
阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当a≥0时，a＝a；当a＜0时，a＝－a.
根据以上阅读完成：
（1）3.14-π=
.
（2）计算：+++...
8．
阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，点C是线段AB上一点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的好点，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．
知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4.
（1）数
所表示的点是【M，N】的好点.
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40，现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点A时停止，运动的时间为t秒．
当t为何值时，点P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
参考答案
期末复习一
有理数
【必备知识与防范点】
1.
原点
单位长度
正方向
2.
两侧
相等
3.
它本身
互为相反数
4.
右边
左边
反而小
【例题精析】
例1
（1）A
（2）－0.3
例2
正数：0.73，2，，＋28；负整数：－1，－5；分数：－，0.73，，－29.52；非负整数：0，2，＋28.
例3
（1）
－4
－2
（2）－
（3）7
0
0
例4
（1）＜
（2）±4，±5，±6
例5
（1）A
（2）A
（3）－5或1
例6
（1）①当点P在A，B之间时，不合题意，舍去；②当点P在点A右边时，点P对应的数为2；③当点P在点B左边时，点P对应的数为-4.
（2）①当点M在线段AB上时，点M对应的数为0；②当点M在BA的延长线上时，点M对应的数为3；③当点M在AB的延长线上时，不合题意，舍去.
（3）设运动x（s）时，点B到点B′，点A到点A′，点O到点O′，此时O′A′=O′B′，点A′，B′在点O′两侧，则BB′=2x，OO′=x，AA′=5x，∴点B′对应的数为2x-3，点O′对应的数为x，点A′对应的数为5x+1.
∴O′A′=5x+1-x=4x+1，O′B′=x-（2x-3）=3-x，∴4x+1=3-x，解得x=0.4.
∴0.4s后点O恰好为线段AB的中点.
【校内练习】
1.
D
2.
－5或－1
3.
15
4.
60
5.
（1）正整数：{
9，10
…}.
（2）负整数：{
-3，-1
…}.
（3）整数：{
-3，-1，0，9，10
…}.
（4）分数：
6.
（1）－1
（2）正数
C
0.5
（3）5或－1
7.
（1）π-3.14
（2）
8.
（1）2
（2）t为10秒或20秒浙教版七年级上册期末复习八
图形的初步知识（二）
复习目标
要求
知识与方法
了解
角及角平分线的概念
两角互余、互补的概念
相交线概念，对顶角的概念
垂线、垂线段的概念
理解
角的表示方法及角的大小比较
度、分、秒单位及其换算方法
同角或等角的余角（或补角）相等
对顶角相等
点到直线的距离的概念，直线外一点到直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短
在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，能画已知直线的垂线
运用
计算角的和差
时钟中的角度计算问题
综合利用角平分线、相交线、垂直、互余（互补）等知识求解角的度数
必备知识与防范点
一、必备知识：
1．
1°＝
′，1′＝
″.
2．
同角或等角的余角
．
或
的补角相等．
3．
对顶角
．
4．
在同一平面内，过一点有一条而且仅有
直线垂直于已知直线．
5．
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，
最短．
从直线外一点到这条直线的
，叫做点到直线的距离．
二、防范点：
1．
角的三种表示方法不能乱用，特别是用一个顶点字母表示要注意它的局限性．
2．
“在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线．”
这句话中“同一平面内”的条件不能缺失．
3．
点到直线的距离要和点到点的距离区分开，这里的关键词是“垂线段”和“长度”．
例题精析
考点一
角的概念及角的度量
例1
（1）将图中的角用不同的方法表示出来，填入下表．
（2）15°3′＝
°；120.17°＝
°
′
″.
【反思】角的表示特别注意一个顶点字母表示时有局限性，不要弄错；牢记度、分、秒之间的转换是60进制，不要搞错．
考点二
对顶角、余角和补角、方位角
例2
（1）如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，则∠1的对顶角是
（
）
A．
∠COF
B．
∠BOF
C．
∠AOF
D．
∠BOD
（2）已知∠A＝50°，则∠A的余角是
，∠A的补角是
，∠A的补角与余角的差是
．
（3）已知一个角的余角等于这个角的2倍，则这个角的补角的度数为
．
（4）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与OA垂直，则OB的方位角（
）
A．
北偏西30°
B．
北偏西60°
C．
东偏北30°
D．
东偏北60°
【反思】（3）这类问题往往用方程思想解决．
考点三
角的有关计算
例3
（1）180°－46°42′＝
；28°36′＋72°24′＝
．
如图，∠AOD＝86°，∠AOB＝20°，OB平分∠AOC，则∠COD的度数是（
）
A．
46°
B．
43°
C．
40°
D．
33°
（3）已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分线．
①如图，当∠COE＝40°时，求∠AOB的度数；
②当OE⊥OA时，请在下图中画出射线OE，OB，并直接写出∠AOB的度数．
（4）如图，从点O引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE，∠EOF＝140°，求∠COD的度数．
【反思】与角有关的计算常用到角平分线、对顶角相等、互余和互补、垂直等知识点，解题过程中要充分运用每一个条件，解题过程中也常用到方程思想．
当题目中的图形不确定时，往往要运用分类讨论的数学思想．
考点四
钟表中的角度计算
例4
（1）从4点16分到5点40分，时钟的时针转过________°；下午3:24分时，时钟的时针与分针的夹角是______°
（2）如图，已知∠EOD＝70°，射线OC，OB是∠EOA，∠DOA的角平分线．若以OB为钟表上的时针，OC为分针，再经过多少分钟使得∠BOC第一次成90°
【反思】时钟问题关键是搞清楚分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°.
有时也常把6°和0.5°理解为分针和时针的速度，用行程问题来解决时钟问题．
考点五
几何计数
例5
（1）同一平面内有4条直线，那么这4条直线最多可以有多少个交点？（
）
A．
1
B．
4
C．
5
D．
6
（2）图中共有角的个数是（
）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
（3）数一数图中每个图形的线段总数：
图1中线段总数是
条；图2中线段总数是
条；图3中线段总数是
条；图4中线段总数是
条．
根据以上求线段的总数的规律：当线段上共有n个点（包括两个端点）时，线段的总数表示为
，利用以上规律，当n＝22时，线段的总数是
条．
由以上规律，解答：如果10位同学聚会，互相握手致意，一共需要握多少次手？
校内练习
1．
下列图中，∠1能用∠C表示的是
（
）
2．
甲从点O出发，沿北偏东30°行走至点A，乙也从点O出发，沿南偏东30°方向到达点B，则∠AOB为
（
）
A．
60°
B．
90°
C．
120°
D．
150°
3．
一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90度，则这个角的度数是
.
4．
如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，则∠BOC+∠AOD=
°.
5．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，BC为折痕．若∠DBA＝70°，则∠ABC＝
.
6．
如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC＝∠AOD－80°，则∠AOE的度数是
.
7．
以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP∶∠BOP＝3∶2，若∠AOB＝17°，∠AOP的度数为
．
8．
根据下列条件画图.如图所示，点A，B，C分别代表三个村庄.
（1）画射线AC，画线段AB.
（2）若线段AB是连结A村和B村的一条公路，现C村庄也要修一条公路与A，B两村庄之间的公路连通，为了减少修路开支，C村庄应该如何修路？请在同一图上用三角板画出示意图，并说明画图理由.
9．
如图，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC∶∠AOD＝3∶7，
（1）求∠DOE的度数.
（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．
10．
如图，已知∠AOB内部有三条射线OE，OC，OF，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.
（1）若∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，求∠EOF的度数.
（2）若∠AOB＝α，求∠EOF的度数.
（3）若将题中“平分”的条件改为“∠EOB＝∠COB，∠COF＝∠COA”，且∠AOB＝α，直接写出∠EOF的度数．
参考答案
期末复习八
图形的初步知识（二）
【必备知识与防范点】
1.
60
60
2.
相等
同角
等角
3.
相等
4.
一条
5.
垂线段
垂线段的长度
【例题精析】
例1
（1）表示方式一：∠B或∠ABC
∠5
表示方式二：∠BAC
∠ACB
∠ACD
（2）15.05
120
10
12
例2
（1）B
（2）40°
130°
90°
（3）150°
（4）B
例3
（1）133°18′
101°
（2）A
（3）①110°
②画图略，150°.
（4）20°
例4
（1）42
42
（2）
例5
（1）D
（2）D
（3）3
6
10
15
231
45次
【校内练习】
1—2.
AC
3.
60°
4.
180
5.
55°
6.
155°
7.
10.2°或51°
8.
（1）如图所示
（2）如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，理由：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
（回答“垂线段最短”也可）
9.
（1）∵两直线AB，CD相交于点O，∠AOC∶∠AOD＝3∶7，∴∠AOC＝180°×＝54°，∴∠BOD＝54°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝54°÷2＝27°．
（2）∵OF⊥OE，∠DOE＝27°，∴∠DOF＝63°，∠COF＝180°-63°＝117°．
10.
（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC
＝60°.∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC＝∠BOC
＝30°，∠FOC＝∠AOC＝15°，∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝30°＋15°＝45°.
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC＝∠BOC，∠FOC＝∠AOC.
∵∠EOF＝∠EOC＋∠FOC，∴∠EOF＝∠BOC＋∠AOC＝（∠BOC＋∠AOC）＝∠AOB＝α.
（3）∠EOF＝α.浙教版七年级上册期末复习二
有理数的运算
复习目标
要求
知识与方法
了解
有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则
倒数的概念，会求一个数的倒数
乘方、幂、指数、底数的概念
计算器的简单使用
理解
有理数的混合运算的运算顺序，能进行有理数的混合运算
用科学记数法表示较大的数
说出一个由四舍五入法得到的有理数的精确位数及根据精确度取近似值
运用
合理运用运算律简化有理数混合运算的过程
利用有理数的混合运算解决简单的实际问题
必备知识与防范点
一、必备知识：
1．
若两个有理数的乘积为
，就称这两个有理数
．
2．
有理数的各种运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律．
3．
有理数混合运算的法则是：先算
，再算
，最后算
．
如有括号，先进行
运算．
4．
把一个数表示成
与
的幂相乘的形式叫做科学记数法．
二、防范点：
1．
倒数不要和相反数混淆，倒数符号不变，相反数要变号．
2．
乘方运算不要和乘法运算混淆，如23和32不相等．
3．
乘方运算的底数不要弄错，如-24和（-2）4不相等．
4．
有理数混合运算中注意运算顺序，特别是乘、除同级运算时，注意从左到右的运算顺序．
5．
求用科学记数法表示的数及带单位的有理数的精确位数时要注意单位及10的幂的位数．
例题精析
类型一
倒数的概念
例1
（1）2020的倒数为
（
）
A．
－2020
B．
2020
C．
－
D.
（2）已知a与b互为倒数，m与n互为相反数，则ab－9m－9n的值是
．
【反思】互为倒数的两个数乘积为1，注意互为倒数的两数符号是相同的，不要与相反数混淆起来．
类型二
有理数运算法则及运算顺序
例2
下列计算错在哪里？应如何改正？
（1）74－22÷70＝70÷70＝1.
.
（3）23－6÷3×＝6－6÷1＝0.
【反思】乘方运算是初中阶段新学的一种运算，要弄清楚它的法则，不要和乘法混淆起来；运算顺序也是学生的一个易错点，特别是乘、除同级运算过程中要遵循从左到右的运算顺序．
类型三
有理数的混合运算
例3
计算：
（－2）2＋3×（－2）－1÷（）2.
－32－[－（）2－]×（－2）÷（－1）2021.
（3）.
【反思】有理数的混合运算要注意运算的顺序不要搞错，－32的求值也是学生的一个易错点．
类型四
有理数的简便计算
例4
用简便方法计算：
（－61）－（－5）＋（1）－（＋8.5）.
（2）1999×（－11）.
（3）（－5）×7＋7×（－7）－（＋12）×7.
【反思】合理地利用加法和乘法的运算律可以加快速度，分配律和分配律的逆向使用也是简便计算的一种重要的方法．
类型五
近似数及科学记数法
例5
（1）数361000000用科学记数法表示，以下表示正确的是
（
）
A．
0.361×109
B．
3.61×108
C．
3.61×107
D．
36.1×107
（2）下列近似数精确到哪一位？
①4.7万
②17.68
（3）用四舍五入法按要求取下列各数的近似数：
①0.61548（精确到千分位）；
②73540（精确到千位）．
【反思】求带单位的近似数的精确度时，要注意单位也是有效的．
类型六
有理数混合运算的应用
例6
出租车司机王师傅从上午8：00～9：00在某市区东西向公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，王师傅营运八批乘客里程如下（单位：千米）：＋5，－6，＋3，－7，＋5，＋4，－3，－4.
（1）将最后一批乘客送到目的地时，王师傅在第一批乘客出发地的什么位置？
（2）已知王师傅的车在市区耗油成本约为0.6元/千米，若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），若超过3千米，超过部分按每千米2元收费，则王师傅在上午8：00～9：00扣除耗油成本后赚了多少元？
【反思】用有理数的运算解决实际问题，主要是要抓住题中各数量之间的关系，弄清是求各数之和还是各数的绝对值之和．
校内练习
1．
据中国电子商务研究中心监测数据显示，2020年第一季度中国轻纺城市场群的商品成交额达27800000000元，将27800000000用科学记数法表示为
（
）
A．
2.78×1010
B．
2.78×1011
C．
27.8×1010
D．
0.278×1011
2．
某市按以下规定收取每月的煤气费，用煤气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．
已知甲用户某月用煤气80立方米，那么这个月甲用户应缴煤气费
（
）
A．
64元
B．
66元
C．
72元
D．
96元
3．
由四舍五入得到的近似数0.50，精确到
位，它表示大于或等于
且小于
的数．
4．
观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，用你所发现的规律写出32020的末位数字是
.
5．
任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解（p≤q）称为正整数的最佳分解，并定义一种新运算：F（n）=.
例如：12=1×12=2×6=3×4，这时就有F（12）=，则F（24）=
.
6．
计算：（1）×（－60）.
（2）（－3）2÷＋（－1）2019－-2.
7．
今年一月俞老师到银行开户，存入1000元钱，下表为俞老师从二月份到七月份存款的情况：（正数表示存入，负数表示取出）
请你根据记录情况，从二月份到七月份中，回答下列问题：
（1）请问二月份和三月份银行账户里各有多少钱？
（2）截止到七月份存折上共有多少钱？
8．
已知x，y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy＋1.
（1）求2※3的值.
（2）求（3※5）※（－2）的值.
（3）探索a※（b＋c）与a※b＋a※c的关系，并用等式把它们表达出来．
参考答案
期末复习二
有理数的运算
【必备知识与防范点】
1.
1
互为倒数
3.
乘方
乘除
加减
括号里的
4.
a（1≤a<10）
10
【例题精析】
例1
（1）D
（2）
例2
（1）运算顺序错．改正为：74－22÷70＝74－4÷70＝74－＝73.
（2）运算法则错．
改正为：.
（3）运算法则和运算顺序都错．改正为：23－6÷3×＝8－6×.
例3
（1）－18
（2）－8
（3）1
例4
（1）－63
（2）－21999
（3）－176
例5
（1）B
（2）①千位
②百分位
（3）①0.615
②7.4×104
例6
（1）正西方向3千米处
（2）67.8元
【校内练习】
1—2.
AC
3.
百分
0.495
0.505
4.
1
5.
6.
（1）×（－60）＝－60×＋60×－60×＝－45＋5－20＝－60.
（2）（－3）2÷＋（－1）2019－-2＝9×－1－2＝－1.
7.
（1）二月：1000-200=800（元）
三月：1000-200-300=500（元）
答：二月份和三月份银行账户里各有800元，500元.
（2）1000-200-300+300+450-50-200=1000（元）
答：截止到七月份存折上共有1000元.
8.
（1）7
（2）－31
（3）∵a※（b＋c）＝a（b＋c）＋1＝ab＋ac＋1，a※b＋a※c＝ab＋1＋ac＋1.
∴a※（b＋c）＋1＝a※b＋a※c.浙教版七年级上期末复习七
图形的初步知识（一）
复习目标
要求
知识与方法
了解
几何图形的概念，区分立体图形和平面图形
线段、射线和直线的概念
线段中点概念
理解
线段、射线和直线的表示方法，数出图形中的线段、射线和直线
线段的长短比较和简单的计算
用直尺和圆规画一条线段等于已知线段
直线的基本事实，线段的基本事实及两点间距离的概念
运用
利用线段中点及线段和差关系求线段的长度
运用“两点确定一条直线”、“两点之间线段最短”解决一些简单的实际问题
必备知识与防范点
一、必备知识：
1．
点、线、面、体称为
．
2．
经过两点
一条直线．
3．
线段有
端点，它可以用表示它的
端点的
字母表示，也可以用一个
字母表示．
射线有
端点，它可以用表示它的端点和射线上另外一个点的两个
字母表示，表示端点的字母要写在
．
直线
端点，它可以用它上面任意两个点的
字母表示，也可以用一个
字母表示．
4．
在所有连结两点的线中，
最短．
连结两点的
叫做两点间的距离．
二、防范点：
1．
表示线段、直线时，注意区分大小写字母，小写字母一个就够，大写字母表示的话要两个字母，不要大小写字母一起用．
射线的表示注意端点字母必在前．
2．
两点间距离概念注意两个关键词，一个是“线段”，一个是“长度”，两者缺一不可．
例题精析
考点一
几何图形
例1
（1）如图，长方形绕它的一条边MN所在的直线旋转一周形成的几何体是（
）
（2）你能说出下面的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？
平面图形：
；立体图形：
．
（填序号）
【反思】区分平面图形和立体图形往往看图形中有没有虚线．
考点二
直线、射线和线段
例2
（1）如图所示，下面说法不正确的是
（
）
A．
直线AB与直线BA是同一条直线
B．
射线OA与射线OB是同一条射线
C．
射线OA与射线AB是同一条射线
D．
线段AB与线段BA是同一条线段
（2）如图，图中有
条直线，它们是
，图中共有
条射线，它们中能用图中字母表示的有
，图中共有
条线段，它们是
．
如图，已知A，B，C，D四点，按要求画图：
①画线段AB，射线AD，直线AC.②连结点B，D与直线AC交于点E.
③连结点B，C，并延长线段BC与射线AD交于点F.
考点三
直线和线段基本事实的应用
例3
（1）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是
（2）如图，直线MN表示一条铁路，铁路两侧各有一个工厂，分别用A、B表示，现要在铁路边建立一个货物中转站，使中转站到两个工厂的距离之和最短，则这个中转站应建在什么位置？在图中标出来，并说明理由．
【反思】“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”这两个直线、线段的性质可以用来解释生活中很多现象，要正确区分两者的不同．
考点四
线段和差的计算
例4
（1）如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CD＝3cm，AB＝10cm，那么BC的长度是
cm.
（2）已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC＝
．
（3）如图，点B、C把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是AD的中点，CD＝9，则线段MC的长度是
．
（4）如图，已知B，C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，M是AD的中点，CD=12.
①求MC的长.②求AB∶BM的值.
校内练习
1．
下列关于作图的语句中，正确的是
（
）
A．
画直线AB=10cm
B．
画射线OB=10cm
C．
已知A、B、C三点，过三点画一条直线
D．
过直线外一点画一条直线和直线AB垂直
2．
如图，C，B是线段AD上的两点，若AB＝CD，BC＝2AC，则AC与CD的关系为（
）
A．
CD＝2AC
B．
CD＝3AC
C．
CD＝4AC
D．
不能确定
3．
如图，点C，D将线段AB平均分成3份，点E为CD中点，已知BE＝9cm，那么AD的长为
cm.
4．
如图，A，B，C三点在同一直线上，AC=18，CB∶BA=1∶2，一根直尺如图摆放，左端与点A对齐时，右端恰好与BC中点对齐，把直尺沿此直线向右移动
个单位长度时，直尺的中点（图中直尺下边缘的中点）与点C对齐.
5．
已知线段AB＝20，点C在BA的延长线上，点D在直线AB上，AC＝12，BD＝16，点M是线段CD的中点，则AM的长为
．
6．
已知点M是AB的中点，点C在直线AB上.
（1）若点C在线段AB的延长线上，AC=7，BC=5，则线段MC的长度为
.
（2）若AC=a，BC=b，且a.
（用含a，b的代数式表示）
7．
如图，已知线段a，b.
（1）画线段AB＝a＋b.
（2）利用刻度尺作出线段AB的中点．
8．
如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）若AC＝6cm，CB＝4cm，求线段MN的长.
（2）若点C为线段AB上任意一点，满足AC＋BC＝a，其余条件不变，你能算出线段MN的长度吗？并说明理由．
9．
有两根木条，一根木条AB长为90cm，另一根木条CD长为140cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，AB，CD抽象成线段，M，N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是多少？（请画出示意图，并解答）
参考答案
期末复习七
图形的初步知识（一）
【必备知识与防范点】
1.
几何图形
2.
有一条而且只有
3.
两个
两个
大写
小写
1个
大写
前面
没有
大写
小写
4.
线段
线段的长度
【例题精析】
例1
（1）C
（2）②④⑤⑥
①③⑦
例2
（1）C
（2）1
直线BC
10
射线AD、BA、BD、DB、DC、CD
6
线段AB、AC、AD、BD、BC、DC
（3）如图所示：
例3
（1）两点确定一条直线
（2）画图略 连结AB与MN的交点P就是建中转站的位置，理由是两点之间线段最短．
例4
（1）4
（2）11cm或5cm
（3）4.5
（4）①MC=1.5
②4∶5
【校内练习】
1—2.
DB
3.
12
4.
10.5
5.
4或12
6.
（1）6
（2）
7.
画图略
8.
（1）∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴MC＝AC，CN＝CB，∵AC＝6cm，CB＝4cm，∴MC＝AC＝3cm，CN＝CB＝2cm，MN＝3＋2＝5cm.
（2）能求出线段MN长度为a，理由如下：
∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴MC＝AC，CN＝CB，∴MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝（AC＋CB），∵AC＋BC＝a，∴MN＝（AC＋CB）＝a.
9.
本题有两种情形：①当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
MN＝CN－AM＝CD－AB＝70－45＝25（cm）；
②当B，C（或A，D）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
MN＝CN＋BM＝CD＋AB＝70＋45＝115（cm），故两根木条的小圆孔之间的距离MN是25cm或115cm.
