第三章 万有引力定律 单元达标测试1（Word解析版）

2021-2022学年教科版（2019）必修第二册
第三章
万有引力定律
单元达标测试1（解析版）
第I卷（选择题）
一、选择题（共48分）
1．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为（　　）
A．1∶9
B．9∶1
C．1∶10
D．10∶1
2．关于地球的宇宙速度，下列表述正确的是（　　）
A．第一宇宙速度是人造地球卫星运行时的最小速度
B．第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量与半径无关
D．人造地球卫星运行时的速度可以等于第二宇宙速度
3．下列关于行星运动的叙述中正确的是（　　）
①由行星运动规律可知，值与成正比
②由行星运动规律可知，与成正比
③行星运动规律中的值是由a与T共同决定的
④行星运动规律中的值与a和T均无关
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
4．从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受陆平台的作用力大小之比为（　　）
A．9：1
B．9：2
C．9：4
D．9：8
5．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒的行星运动定律可知（　　）
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星绕太阳公转的速率始终相等
C．火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
6．如图，“北斗”系统中两颗工作卫星沿同一轨道绕地心O做逆时针匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置。已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，则（
）
A．两卫星的加速度大小不相等
B．卫星2向后喷气就一定能追上卫星1
C．卫星1的运动周期为
D．卫星1的线速度大小为
7．宇宙飞船围绕太阳在近似圆周的轨道运动，若其轨道半径是地球轨道半径的4倍，则它们飞船绕太阳运行的周期是（　　）
A．2年
B．4年
C．8年
D．16年
8．2021年3月15日13时29分，嫦娥五号轨道器在地面飞控人员精确控制下成功被日地拉格朗日L1点捕获，这也是我国首颗进入日地L1点探测轨道的航天器。已知太阳和地球所在的连线上有如图所示的3个拉格朗日点，飞行器位于这些点上时，会在太阳与地球引力的共同作用下，可以保持与地球同步绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A．飞行器在L1点绕太阳飞行的加速度小于地球绕太阳飞行的加速度
B．飞行器在L1点处于平衡状态
C．飞行器A在L1点绕太阳飞行的动能小于飞行器B在L2点绕太阳飞行的动能
D．飞行器A在L1点绕太阳飞行的角速度等于飞行器B在L2点绕太阳飞行的角速度
9．2020年11月24日，长征五号遥五运载火箭托举嫦娥五号向着月球飞驰而去。12月17日，在闯过月面着陆、自动采样、月面起飞、月轨交会对接、再入返回等多个难关后，历经重重考验的嫦娥五号返回器携带月球样品，成功返回地面。如图为“嫦娥五号”发射到达环月轨道的行程示意图，下列说法正确的是（　　）
A．在地月转移轨道上无动力奔月时，动能不断减小
B．接近环月轨道时，需要减速才能进入环月轨道
C．“嫦娥五号”在地月转移轨道上运动的最大速度小于11.2km/s
D．“嫦娥五号”在地球表面加速升空过程中地球引力越来越小，处于失重状态
10．已知地球的第一宇宙速度为7.9km/s，第二宇宙速度为11.2km/s，第三字宙速度为16.7km/s。下列叙述正确为是（　　）
A．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度
B．第一宇宙速度是成为地球卫星的最小发射速度
C．所有地球卫星环绕地球的运行速度都介于7.9km/s和11.2km/s之间
D．要发射土星探测器速度要大于第三宇宙速度
11．如图所示为地球周围不同轨道上卫星的公转周期的平方与公转轨道半径的三次方的关系图像，其中、对应的是近地卫星数据，已知引力常量为（图中、为已知量），则下列关于地球和卫星的相关的物理量可以求出的是（　　）
A．地球自转的角速度
B．地球的质量
C．地球的密度
D．地球的第一宇宙速度
12．2020年11月28日20时58分，嫦娥五号探测器经过约112小时奔月飞行，在距月面400公里处成功实施发动机点火，顺利进入椭圆环月轨道Ⅰ。
11月29日20时23分，嫦娥五号探测器在近月点A再次“刹车”，从轨道Ⅰ变为圆形环月轨道Ⅱ。嫦娥五号通过轨道Ⅰ近月点A速度大小为，加速度大小为，通过轨道Ⅰ远月点B速度大小为，加速度大小为，在轨道Ⅱ上运行速度大小为，加速度大小为，则（　　）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
二、解答题（共52分）
13．一颗人造卫星在离地面高度等于地球半径的圆形轨道上运行，已知地球的第一宇宙速度为v1=7.9km/s，g取9.8m/s2，这颗卫星运行的线速度为多大?
14．如图所示，“天宫一号”空间站正以速度v绕地球做匀速圆周运动，运动的轨道半径为r，地球半径为R，万有引力常量为G。求：
（1）地球的质量M；
（2）地球的第一宇宙速度。
15．已知某天体的第一宇宙速度为8km/s，该星球半径为R，求在距离该星球表面高度为3R的轨道上做匀速圆周运动的宇宙飞船的运行速度。
16．建造一条能通向太空的天梯，是人们长期的梦想。当今在美国宇航局（NASA）支持下，洛斯阿拉莫斯国家实验室的科学家已在进行这方面的研究。一种简单的设计是把天梯看作一条长度达千万层楼高的质量均匀分布的缆绳，它由一种高强度、很轻的纳米碳管制成，由传统的太空飞船运到太空上，然后慢慢垂到地球表面。最后达到这样的状态和位置：天梯本身呈直线状；其上端指向太空，下端刚与地面接触但与地面之间无相互作用；整个天梯相对于地球静止不动。如果只考虑地球对天梯的万有引力，试求此天梯的长度。已知地球半径，地球表面处的重力加速度
g
=
9.80
m·s-2
参考答案
1．C
【详解】
设月球质量为m，则地球质量为81m，地月间距离为r，飞行器质量为m0，当飞行器距月球为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则
G＝G
所以
＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10
故选C。
2．B
【详解】
A．第一宇宙速度是人造地球卫星运行时的最大环绕速度，选项A错误；
B．第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，选项B正确；
C．根据
可知
可知，第一宇宙速度跟地球的质量与半径有关，选项C错误；
D．人造地球卫星运行时的速度只能小于或等于第一宇宙速度，不可以等于第二宇宙速度，选项D错误。
故选B。
3．D
【详解】
由开普勒第三定律可知，中，与成正比，k值与a和T均无关，只与中心天体质量有关，D正确。
故选D。
4．B
【详解】
在星球表，根据物体所受的万有引力等于重力得
解得
故
悬停时，两车均受力平衡，即
所以
故B正确，ACD错误。
故选B。
5．C
【详解】
A.
太阳位于木星运动轨道的焦点上，故A错误；
B.
火星和木星绕太阳运动的速率不是始终相等的，故B错误；
C.
因火星和木星绕相同的中心天体转动，则根据开普勒第三定律
火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方，故C正确；
D.
根据开普勒第二定律可知，火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但是相等时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积，故D错误。
故选C。
6．C
【详解】
A．由牛顿第二定律可知
a
=
由上式可知两卫星的加速度大小相等，A错误；
B．卫星2向后喷气气将跑到更高的轨道，故不能追上卫星1，C错误；
C．根据万有引力与重力的关系有
mg
=
G
再结合
T
=
2π
计算得
T
=
C正确；
D．根据万有引力与重力的关系有
mg
=
G
再结合
v
=
计算得
v
=
D错误。
故选C。
7．C
【详解】
根据
解得
地球的公转周期为1年，宇宙飞船轨道半径是地球轨道半径的4倍，则它们飞船绕太阳运行的周期是8年。
故选C。
8．AD
【详解】
A．飞行器与地球同步绕太阳做匀速圆周运动，有
可知，飞行器的轨道半径小于地球，故其加速度小于地球的。故A正确；
B．飞行器在L1点绕太阳做匀速圆周运动，故合力不为零。故B错误；
C．两飞行器的质量关系不明，故它们的动能关系不能确定。故C错误；
D．飞行器只要在拉格朗日点，均与地球同步，故飞行器A在L1点绕太阳飞行的角速度等于飞行器B在L2点绕太阳飞行的角速度。故D正确。
故选AD。
9．BC
【详解】
A．在地月转移轨道上无动力奔月时，受月球的引力作用，则动能不断增大，选项A错误；
B．接近环月轨道时，需要减速制动，才能被月球俘获，进入环月轨道，选项B正确；
C．“嫦娥五号”在地月转移轨道上没有脱离地球的引力，则运动的最大速度小于11.2km/s，选项C正确；
D．“嫦娥五号”在地球表面加速升空过程中，加速度向上，则处于超重状态，选项D错误。
故选BC。
10．AB
【详解】
A．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，A正确；
B．第一宇宙速度是成为地球卫星的最小发射速度，B正确；
C．所有地球卫星发射速度都介于7.9km/s和11.2km/s之间，C错误；
D．要发射土星探测器速度要大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，D错误。
故选AB。
11．BCD
【详解】
A．根据角速度公式可知，因为没有地球自转周期，所以无法求出地球自转的角速度。A错误；
B．对近地卫星有
变形得
B正确；
C．根据密度公式得
C正确；
D．对近地卫星有
D正确。
故选BCD。
12．BC
【详解】
AB．根据开普勒第二定律可知，在轨道Ⅰ上近点的速度大于远点的速度，即
假如探测器经过B点绕月球做圆周运动的速度为v4，则根据
解得
可知
而由轨道Ⅰ上的B点进入圆轨道时要经过加速，可知
则
在A点由轨道Ⅰ到轨道Ⅱ要减速，则
可得
选项A错误，B正确；
CD．根据
可知在轨道Ⅰ上
在轨道Ⅱ上
则
选项C正确，D错误；
故选BC。
13．5.6km/s
【详解】
卫星近地运行时，有
卫星离地面的高度为R时有
由以上两式得
v2==km/s≈5.6km/s
14．（1）；（2）
【详解】
（1）由牛顿第二定律和万有引力定律得
解得
（2）由第一宇宙速度定义、牛顿第二定律和万有引力定律得
解得
15．
【详解】
近地轨道
在高空
解得
16．1.44
×108
m
【详解】
要使天梯相对于地球静止不动，由地面伸向太空，与地面之间无相互作用力，这样的天梯的下端只能位于赤道上某处，且天梯与该处地球表面垂直，并与地球同步转动。如图1所示。
从坐标原点与地球中心固连、坐标轴指向恒星的惯性参考系来看，天梯和地球一起匀速转动。天梯所受的外力只有地球的万有引力。把天梯看作是由线密度为ρ的许多非常小的小段组成，则每小段到地球中心的距离不同，因而所受地球引力的大小也不同，其中与地心的距离为ri-1
到ri
间的长度为△ri
的小段所受地球引力为
（1）
整个天梯所受的地球引力F就等于每小段所受地球引力之和，
即
（2）
符号表示对所有小段求和。因△ri
=
ri
-
ri-1
是个小量，注意到，因此
用R0表示地球半径，也就是天梯下端到地心的距离，Rl
表示天梯上端到地心的距离，则r0
=
R0，rn
=
Rl，代入（2）式得
（3）
整个天梯的质量
m
=
ρ
（
Rl
-R0
）
（4）
天梯的质心位于天梯的中点，它到地心的距离
（5）
根据质心运动定理，有
（6）
式中T为地球自转的周期。
由（3）、（4）、（5）、（6）式可得
Rl
-R0
=
0，表示天梯无长度，不符合题意，符合题意的天梯长度满足的方程为
（7）
因为，所以得
（8）
【从跟随地球一起转动的参考系看，也可得到（8）式。这时，天梯在地球引力和惯性离心力的作用下，处于平衡静止状态，地球引力仍为（3）式，天梯所受的惯性离心力可由下面的方法求得：仍把天梯看作由很多长度为△ri的小段组成，则第i小段受的惯性离心力为
（4′）
对所有小段求和，就得到整个天梯所受的惯性离心力
（5′）
（5′）式中所示的和可以用图2过原点的直线下的一个带阴影的梯形面积来表示，即
（6′）
因为地球引力与惯性离心力平衡，由（3）式和（6′）式可得
（7′）
因为，化简（7′）式最后也能得到（8）式。】
解（8）式得
（9）
根号前取正号，代入有关数据，注意到T
=
8.64
×104
s，得
Rl
=
1.50
×108
m
（10）
所以天梯的长度
L
=
Rl
-R0
=
1.44
×108
m
（11）