七年级数学期末复习 第5章 轴对称
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(共48张PPT)
期末复习
专题一、轴对称的识别
知识要点：
1.轴反射、轴对称、轴对称图形的概念
（1）什么叫轴对称图形？
如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的图形能够
_________，那么这
个图形叫做轴对称
图形，这条直线叫对称轴。
互相重合
(2) 什么叫轴对称？
把一个图形沿着某条直线作轴反射能够和另一个图形________，那么就说这两个图形关于这条直线对称。也称这两个图形轴对称。这条直线叫对称轴。
重合
（3）什么叫轴反射？
把一个图形沿着某条直线翻折并将图形____________就叫把该图形关直线l做了轴反射。
复印下来
2、轴对称图形与轴对称有什么区别与联系？
区别：
轴对称是___个图形之间的对称关系，而轴对称图形是一个图形自身的________．?
联系：①沿对称轴折叠后都能_______．
②如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个_________图形；若把轴对称图形沿对称轴分成的两部分看作两个图形，那么它们就关于对称轴_______．?
二
位置特性
重合
轴对称
轴对称
典型题例剖析
【例1】（2011江苏无锡）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是
（ ）
D
【例2】（2011 江西）如图，将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点C恰好落在折痕PQ上的点C′处，点D落在D′处，其中M是BC的中点．连接AC′，BC′，则图中共有等腰三角形的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【分析】：根据翻折，平行及轴对称的知识找到所有等腰三角形的个数即可．
【例2】（2011 江西，8，3）如图，将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点C恰好落在折痕PQ上的点C′处，点D落在D′处，其中M是BC的中点．连接AC′，BC′，则图中共有等腰三角形的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【解】：∵C′在折痕PQ上，∴AC′=BC′，
∴△AC′B是等腰三角形；
∵M是BC的中点，∴BM=MC，
∴△BMC是等腰三角形；
由翻折可得∠CMF=∠C′MF，
∵PQ∥BC，∴∠PFM=∠CMF，
∴∠C′MF=∠PFM，∴C′M=C′F，
∴△C′MF是等腰三角形，
共有3个等腰三角形，故选C．
【点评】：把一个图形作轴
反射后，像与原像的对应线
段、对应角、是相等的。
C
【变式练习】
1、（2011山西）将一个矩形纸片依次按图（1）、图⑵的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（ ）
A
2、下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是（ ）
A、上海自来水来自海上
B、有志者事竞成
C、清水池里池水清
D、蜜蜂酿蜂蜜
B
3、（2011重庆市）如图,在△ABC中,
∠ C=90 ° ， 点D在AC上，将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，DC=5cm，则点D到斜边AB的距离是 ________cm.．
【解】：∵△BDE是△BDC
翻折而成，∠C=90°，
∴DE⊥AB，DE=CD，
∵DC=5cm，∴DE=5cm．
5
专题二 线段垂直平分线、角平分线
知识要点
1. 线段垂直平分线性质是什么？怎样判断一点在线段的垂直平分线上？
（1）线段垂直平分线是线
段的__________．
线段垂直平分线上的点到
这条线段两个端点的距离_______．
如图，若CD是AB的垂直平分线，P在CD上，则PA=PB
对称轴
相等
2、角平分线有哪些性质？
(1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是该角的______；
（2）角平分线上的点到这个角两边的距离________．
如图，OC平分∠AOB,P在OC上，PD ⊥OA,PE ⊥OB,D,E是垂足，则PD=PE
对称轴
相等
2． 怎样判断一个点在角的平分线上？
（1）定义判别法；
如图，若∠AOC=∠BOC,
则OC是∠AOB的平分线。
（2）性质判别法：在一个角的内部，
且到角的两边距离________的点，在
这个角的角平分线上．
如图，若，PD ⊥OA,PP
PE ⊥OB,PD=PE,则P OP平分∠AOB
相等
典型题例剖析
【例1】准备修建一个仓库P，使它到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂A、B的距离也相等。请作出仓库P的位置。并说明理由。
【作法】1、作∠MON的平分线OC，
2、作线段AB的垂直平分线DE,交OC于P，
则P就是仓库的位置。
【分析】点P到OA、OB的距离相等，则P在∠MON的平分线上，点P到A、B的距离相等，则P在AB的垂直平分线上，因此P是∠MON的平分线与线段AB的垂直平分线的交点。
C
D
E
P
【例2】如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于
（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【解】∵DE垂直平分AB，∴AE=BE
∵BE+BC+EC=18，
∴AE+BC+EC=18cm，
即：AC+BC=18cm.
∵BC=8cm, ∴AC=18-8=10cm.
C
【例3】如图，OD平分∠EOF，分别在OE,OF上取点A,B，使OA=OB,点P在OD上，且PM⊥BD于点M,PN⊥AD于点N,求证：PM=PN.
【解】∵OD平分_______， OA=_____
∴△OBD与△OAD关于OD_______
∴∠ODB=∠________
∵PM⊥_____于点M,
PN⊥_______于点N
∴PM=_______
（_________________________________________)
【分析】由于PM⊥BD于点M,PN⊥AD于点N,因此要证明PM=PN,只需要证明PM=PN
∠EOF
OB
对称
∠ODA
DB
DA
PN
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
【变式练习】
1、 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是 ______
【解】∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE
∴BE+BC+EC=AE+BC+EC
=AC+BC
=14+8
=22cm.
2、如图，已知AB∥CD, ∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，OE垂直AC于E,且OE=2cm,则AB、CD的距离是______cm.
【解】过O点作FG⊥AB垂足为F,交CD于G.
∵AB∥CD, ∴FG⊥CD
∵OA平分∠BAC,OC平分∠ACD
∴OF=OE=OG=2cm,
∴FG=4cm.
即：AB、CD的距离是4cm.
F
G
3、.如图,已知∠ABC外部有两点M、N，试确定点P，使P到AB、BC的距离相等，且使PM=PN.
【作法】
1、作∠MON的垂直平分线OC，
2、作线段AB的垂直平分线DE,交OC于P，
则P就是就是要作的点。
C
E
D
P
专题三 三角形
【知识要点】
1.三角形的三边有什么关系？
（1）任何两边之和______第三边；
（2）任何两边之差_______第三边；
如图，△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b
若a>b>c,则a-c>b,a-b>c,b-c>a
大于
小于
2、知道三角形的两条边，第三条边的范围怎么确定？
其他两边_____<三角形的一边<其他两边______.
之差
之和
3．三角形的内角和是多少？外角和是多少？直角三角形的两个锐角有什么关系？
（1）三角形的内角和是______；
（2）三角形的外角和是______°；
（3）直角三角形的两个锐角______
如图， ∠ 1+∠2+ ∠ 3=180
∠4+ ∠ 5+∠6=360
△ABC中， ∠C=90 ,则∠ A+∠B=90
180 °
360 °
互余
4．三角形的内外角有何关系？
（1）三角形的一个内角与它相邻外角______
如图，∠1+∠ACB=180°
（2）三角形的一个外角等于它_________的两个内角的和；
如图， ∠1= ∠A+ ∠B
（3）三角形的一个外角大于
与它_______的任何一个内角。
如图， ∠1> ∠A, ∠1> ∠B
互补
不相邻
不相邻
5、三角形按角怎样分类？按边怎么分类？
不相等
直角
钝角
按角分
5、三角形按角怎样分类？按边怎么分类？
不相等
相等
相等
按边分
典型题例剖析
【例1】（2011内蒙古呼和浩特）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（ ）
A、9cm B、12cm
C、15cm或12cm D、15cm
【解】当6为腰，3为底时，6-3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，
周长为5+5+3=13；
当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形．故选D．
【分析】：由于两条边的长没有指明谁是腰、谁是底边，所以要分类讨论。
【点评】
求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
D
【例2】（2011年山东省东营市，5，3分）一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A、75 B、60° C、65° D、55°
【解】：如图，∵∠1=45°，∠2=60°，
∴∠α=180°-45°-60°=75°．
故选A．
【分析】：因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．
【点评】：充分利用三角板中角的度数的隐含条件和三角形内角和定理。
1
2
【变式练习】
1、（2011广西来宾）已知一个三角形的两边长分别是2和3，则下列数据中，可作为第三边长的是（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
【解】设这个三角形的第三边为x
根据三角形的三边关系定理，
得：3﹣2＜x＜3+2，
解得1＜x＜5．
故选B．
B
2、（2011年四川省绵阳市）将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（ ）
A、75° B、95°
C、105° D、120°
【解】∠ACO=45°-30°=15°
∴∠AOB=∠A+∠ACO=90°+15°=105°
故选C．
C
3.如图，在△ABC中, ∠C=68 ，∠B=42°,AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数
【证明】：
∵∠BAC=180 -(∠B+∠C)
=180 -（42°+68 ）=70
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=0.5∠BAC=0.5×70°=35°
∵AD⊥BC,
∴∠BAD=90°-∠B=90°-42 =48
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=48°-35°=13
专题四、等腰三角形的性质和判定
知识要点：
1．等腰三角形有哪些性质？
（1）等腰三角形的两个______相等（简称：等边对等角）
如图，若AB=AC,则∠ B=∠C
（2）等腰三角形关于底边的垂直平分线________，从而它是_______图形．
底角
对称
轴对称
知识要点：
1．等腰三角形有哪些性质？
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相______（简称 “三线合一”）．
如图，若AB=AC,BD=DC,
则 AD⊥BC, ∠BAD=∠CAD
若AB=AC,∠BAD=∠CAD,
则BD=DC, AD ⊥BC
若AB=AC,AD⊥BC,
则BD=DC, ∠BAD=∠CAD
重合
2． 等腰三角形有哪些常用的判定方法
等腰三角形的判定方法:
(1)根据定义,有两条边_____的三角形是等腰三角形;
如图，若AB=AC,则∠B= ∠C
(2)有两个角______的三角形是
等腰三角形（简称：等角对等边）
如图，若∠B= ∠C,则AB=AC
相等
相等
3.等边三角形有什么性质？
（1 ）等边三角形三边都_____,三个角都____,且每个内角都等于______°.
（2）.每条边上都具有“三线合一”的性质.
（3）.是_______图形,有____条对称轴.
相等
相等
60
轴对称
三
4、怎样判定一个三角形是等边三角形？
(1)根据定义：______相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都________的三角形是等边三角形.
(3)有一个角等于_______度的等腰三角形是等边三角形。
三条边
相等
60
典型题例剖析
【例1】（2010河南）如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为 ．
【解】：∵AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，
∴∠B=（180°﹣36°）÷2
=72°∠DCB=36°．
∴∠BDC=72°．
72°
【分析】：由AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，根据三角形内角和180°可求得∠B等于∠ACB，并能求出其角度，在△DBC求得所求角度．
【点评】：本题考查了等腰三角形
的性质，本题根据三角形内角和等
于180度，在△CDB中从而求得
∠BDC的角度．
【例2】（2011江苏扬州）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。
【分析】：（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，利用等角的余角相等可以证得：∠ABC=∠ACB.
(2)由OB=OC,得O在BC的垂直平分线上，而BC的垂直平分线与∠A的平分线所在直线重合。
【例2】（2011江苏扬州）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
【解】：（1）∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB，
∵∠BEC=∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠BCE=90
∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
等。
【例2】（2011江苏扬州）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。
【解】（2）连接AO并延长交BC于F
∵AB=AC，OB=OC，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
【点评】：判断一个三角形是等腰是三角形，可以判断它有两条边相等，也可以判断它有两个角相
F
【例3】如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与 △ACPˊ重合，如果AP=3，求PPˊ的长．
【解】：因为△ABC是等边三角形，
所以∠BAC=60°．
由旋转得到AP=A Pˊ，∠BAP=∠CA Pˊ．
所以∠PA Pˊ=∠BAC=60°．
所以∠PA Pˊ=∠A PˊP
=∠AP Pˊ=60°．
所以△A PPˊ是等边三角形．
所以PPˊ=AP=3．
【分析】：欲求PPˊ的长，结合旋转的特点，说明△A PPˊ是等边三角形．
【点评】：将条件为转在恰当的等边形中是解决本题的关键．
【变式训练】
1、（2010福建泉州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A= ____．
【解】：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°
∴∠A=180°﹣40°﹣40°
=100°．
100°
【变式训练】
2、如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=_____.
【解】：∵AB=CA，
∴△ABC是等腰三角形，
∵D是BC边上的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵∠BAD=20°．
∴∠C=90°﹣20°=70°．
70°
3．如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，
能与△ACPˊ重合，如果∠BAP=30°，那么AC与PPˊ有何位置关系？
【解】：∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°．
由旋转得到:
AP=A Pˊ，∠BAP=∠CA Pˊ．
∴∠PA Pˊ=∠BAC=60°．
∴∠PA Pˊ=∠A PˊP=∠AP Pˊ=60°．
∴△A PPˊ是等边三角形．
又∵∠CA Pˊ=∠BAP=30°，∴AC⊥PPˊ．
作业：数学报《轴对称》综合测试题
期末复习
专题一、轴对称的识别
知识要点：
1.轴反射、轴对称、轴对称图形的概念
（1）什么叫轴对称图形？
如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的图形能够
_________，那么这
个图形叫做轴对称
图形，这条直线叫对称轴。
互相重合
(2) 什么叫轴对称？
把一个图形沿着某条直线作轴反射能够和另一个图形________，那么就说这两个图形关于这条直线对称。也称这两个图形轴对称。这条直线叫对称轴。
重合
（3）什么叫轴反射？
把一个图形沿着某条直线翻折并将图形____________就叫把该图形关直线l做了轴反射。
复印下来
2、轴对称图形与轴对称有什么区别与联系？
区别：
轴对称是___个图形之间的对称关系，而轴对称图形是一个图形自身的________．?
联系：①沿对称轴折叠后都能_______．
②如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个_________图形；若把轴对称图形沿对称轴分成的两部分看作两个图形，那么它们就关于对称轴_______．?
二
位置特性
重合
轴对称
轴对称
典型题例剖析
【例1】（2011江苏无锡）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是
（ ）
D
【例2】（2011 江西）如图，将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点C恰好落在折痕PQ上的点C′处，点D落在D′处，其中M是BC的中点．连接AC′，BC′，则图中共有等腰三角形的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【分析】：根据翻折，平行及轴对称的知识找到所有等腰三角形的个数即可．
【例2】（2011 江西，8，3）如图，将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点C恰好落在折痕PQ上的点C′处，点D落在D′处，其中M是BC的中点．连接AC′，BC′，则图中共有等腰三角形的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【解】：∵C′在折痕PQ上，∴AC′=BC′，
∴△AC′B是等腰三角形；
∵M是BC的中点，∴BM=MC，
∴△BMC是等腰三角形；
由翻折可得∠CMF=∠C′MF，
∵PQ∥BC，∴∠PFM=∠CMF，
∴∠C′MF=∠PFM，∴C′M=C′F，
∴△C′MF是等腰三角形，
共有3个等腰三角形，故选C．
【点评】：把一个图形作轴
反射后，像与原像的对应线
段、对应角、是相等的。
C
【变式练习】
1、（2011山西）将一个矩形纸片依次按图（1）、图⑵的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（ ）
A
2、下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是（ ）
A、上海自来水来自海上
B、有志者事竞成
C、清水池里池水清
D、蜜蜂酿蜂蜜
B
3、（2011重庆市）如图,在△ABC中,
∠ C=90 ° ， 点D在AC上，将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，DC=5cm，则点D到斜边AB的距离是 ________cm.．
【解】：∵△BDE是△BDC
翻折而成，∠C=90°，
∴DE⊥AB，DE=CD，
∵DC=5cm，∴DE=5cm．
5
专题二 线段垂直平分线、角平分线
知识要点
1. 线段垂直平分线性质是什么？怎样判断一点在线段的垂直平分线上？
（1）线段垂直平分线是线
段的__________．
线段垂直平分线上的点到
这条线段两个端点的距离_______．
如图，若CD是AB的垂直平分线，P在CD上，则PA=PB
对称轴
相等
2、角平分线有哪些性质？
(1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是该角的______；
（2）角平分线上的点到这个角两边的距离________．
如图，OC平分∠AOB,P在OC上，PD ⊥OA,PE ⊥OB,D,E是垂足，则PD=PE
对称轴
相等
2． 怎样判断一个点在角的平分线上？
（1）定义判别法；
如图，若∠AOC=∠BOC,
则OC是∠AOB的平分线。
（2）性质判别法：在一个角的内部，
且到角的两边距离________的点，在
这个角的角平分线上．
如图，若，PD ⊥OA,PP
PE ⊥OB,PD=PE,则P OP平分∠AOB
相等
典型题例剖析
【例1】准备修建一个仓库P，使它到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂A、B的距离也相等。请作出仓库P的位置。并说明理由。
【作法】1、作∠MON的平分线OC，
2、作线段AB的垂直平分线DE,交OC于P，
则P就是仓库的位置。
【分析】点P到OA、OB的距离相等，则P在∠MON的平分线上，点P到A、B的距离相等，则P在AB的垂直平分线上，因此P是∠MON的平分线与线段AB的垂直平分线的交点。
C
D
E
P
【例2】如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于
（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【解】∵DE垂直平分AB，∴AE=BE
∵BE+BC+EC=18，
∴AE+BC+EC=18cm，
即：AC+BC=18cm.
∵BC=8cm, ∴AC=18-8=10cm.
C
【例3】如图，OD平分∠EOF，分别在OE,OF上取点A,B，使OA=OB,点P在OD上，且PM⊥BD于点M,PN⊥AD于点N,求证：PM=PN.
【解】∵OD平分_______， OA=_____
∴△OBD与△OAD关于OD_______
∴∠ODB=∠________
∵PM⊥_____于点M,
PN⊥_______于点N
∴PM=_______
（_________________________________________)
【分析】由于PM⊥BD于点M,PN⊥AD于点N,因此要证明PM=PN,只需要证明PM=PN
∠EOF
OB
对称
∠ODA
DB
DA
PN
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
【变式练习】
1、 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是 ______
【解】∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE
∴BE+BC+EC=AE+BC+EC
=AC+BC
=14+8
=22cm.
2、如图，已知AB∥CD, ∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，OE垂直AC于E,且OE=2cm,则AB、CD的距离是______cm.
【解】过O点作FG⊥AB垂足为F,交CD于G.
∵AB∥CD, ∴FG⊥CD
∵OA平分∠BAC,OC平分∠ACD
∴OF=OE=OG=2cm,
∴FG=4cm.
即：AB、CD的距离是4cm.
F
G
3、.如图,已知∠ABC外部有两点M、N，试确定点P，使P到AB、BC的距离相等，且使PM=PN.
【作法】
1、作∠MON的垂直平分线OC，
2、作线段AB的垂直平分线DE,交OC于P，
则P就是就是要作的点。
C
E
D
P
专题三 三角形
【知识要点】
1.三角形的三边有什么关系？
（1）任何两边之和______第三边；
（2）任何两边之差_______第三边；
如图，△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b
若a>b>c,则a-c>b,a-b>c,b-c>a
大于
小于
2、知道三角形的两条边，第三条边的范围怎么确定？
其他两边_____<三角形的一边<其他两边______.
之差
之和
3．三角形的内角和是多少？外角和是多少？直角三角形的两个锐角有什么关系？
（1）三角形的内角和是______；
（2）三角形的外角和是______°；
（3）直角三角形的两个锐角______
如图， ∠ 1+∠2+ ∠ 3=180
∠4+ ∠ 5+∠6=360
△ABC中， ∠C=90 ,则∠ A+∠B=90
180 °
360 °
互余
4．三角形的内外角有何关系？
（1）三角形的一个内角与它相邻外角______
如图，∠1+∠ACB=180°
（2）三角形的一个外角等于它_________的两个内角的和；
如图， ∠1= ∠A+ ∠B
（3）三角形的一个外角大于
与它_______的任何一个内角。
如图， ∠1> ∠A, ∠1> ∠B
互补
不相邻
不相邻
5、三角形按角怎样分类？按边怎么分类？
不相等
直角
钝角
按角分
5、三角形按角怎样分类？按边怎么分类？
不相等
相等
相等
按边分
典型题例剖析
【例1】（2011内蒙古呼和浩特）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（ ）
A、9cm B、12cm
C、15cm或12cm D、15cm
【解】当6为腰，3为底时，6-3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，
周长为5+5+3=13；
当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形．故选D．
【分析】：由于两条边的长没有指明谁是腰、谁是底边，所以要分类讨论。
【点评】
求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
D
【例2】（2011年山东省东营市，5，3分）一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A、75 B、60° C、65° D、55°
【解】：如图，∵∠1=45°，∠2=60°，
∴∠α=180°-45°-60°=75°．
故选A．
【分析】：因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．
【点评】：充分利用三角板中角的度数的隐含条件和三角形内角和定理。
1
2
【变式练习】
1、（2011广西来宾）已知一个三角形的两边长分别是2和3，则下列数据中，可作为第三边长的是（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
【解】设这个三角形的第三边为x
根据三角形的三边关系定理，
得：3﹣2＜x＜3+2，
解得1＜x＜5．
故选B．
B
2、（2011年四川省绵阳市）将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（ ）
A、75° B、95°
C、105° D、120°
【解】∠ACO=45°-30°=15°
∴∠AOB=∠A+∠ACO=90°+15°=105°
故选C．
C
3.如图，在△ABC中, ∠C=68 ，∠B=42°,AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数
【证明】：
∵∠BAC=180 -(∠B+∠C)
=180 -（42°+68 ）=70
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=0.5∠BAC=0.5×70°=35°
∵AD⊥BC,
∴∠BAD=90°-∠B=90°-42 =48
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=48°-35°=13
专题四、等腰三角形的性质和判定
知识要点：
1．等腰三角形有哪些性质？
（1）等腰三角形的两个______相等（简称：等边对等角）
如图，若AB=AC,则∠ B=∠C
（2）等腰三角形关于底边的垂直平分线________，从而它是_______图形．
底角
对称
轴对称
知识要点：
1．等腰三角形有哪些性质？
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相______（简称 “三线合一”）．
如图，若AB=AC,BD=DC,
则 AD⊥BC, ∠BAD=∠CAD
若AB=AC,∠BAD=∠CAD,
则BD=DC, AD ⊥BC
若AB=AC,AD⊥BC,
则BD=DC, ∠BAD=∠CAD
重合
2． 等腰三角形有哪些常用的判定方法
等腰三角形的判定方法:
(1)根据定义,有两条边_____的三角形是等腰三角形;
如图，若AB=AC,则∠B= ∠C
(2)有两个角______的三角形是
等腰三角形（简称：等角对等边）
如图，若∠B= ∠C,则AB=AC
相等
相等
3.等边三角形有什么性质？
（1 ）等边三角形三边都_____,三个角都____,且每个内角都等于______°.
（2）.每条边上都具有“三线合一”的性质.
（3）.是_______图形,有____条对称轴.
相等
相等
60
轴对称
三
4、怎样判定一个三角形是等边三角形？
(1)根据定义：______相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都________的三角形是等边三角形.
(3)有一个角等于_______度的等腰三角形是等边三角形。
三条边
相等
60
典型题例剖析
【例1】（2010河南）如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为 ．
【解】：∵AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，
∴∠B=（180°﹣36°）÷2
=72°∠DCB=36°．
∴∠BDC=72°．
72°
【分析】：由AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，根据三角形内角和180°可求得∠B等于∠ACB，并能求出其角度，在△DBC求得所求角度．
【点评】：本题考查了等腰三角形
的性质，本题根据三角形内角和等
于180度，在△CDB中从而求得
∠BDC的角度．
【例2】（2011江苏扬州）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。
【分析】：（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，利用等角的余角相等可以证得：∠ABC=∠ACB.
(2)由OB=OC,得O在BC的垂直平分线上，而BC的垂直平分线与∠A的平分线所在直线重合。
【例2】（2011江苏扬州）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
【解】：（1）∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB，
∵∠BEC=∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠BCE=90
∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
等。
【例2】（2011江苏扬州）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。
【解】（2）连接AO并延长交BC于F
∵AB=AC，OB=OC，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
【点评】：判断一个三角形是等腰是三角形，可以判断它有两条边相等，也可以判断它有两个角相
F
【例3】如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与 △ACPˊ重合，如果AP=3，求PPˊ的长．
【解】：因为△ABC是等边三角形，
所以∠BAC=60°．
由旋转得到AP=A Pˊ，∠BAP=∠CA Pˊ．
所以∠PA Pˊ=∠BAC=60°．
所以∠PA Pˊ=∠A PˊP
=∠AP Pˊ=60°．
所以△A PPˊ是等边三角形．
所以PPˊ=AP=3．
【分析】：欲求PPˊ的长，结合旋转的特点，说明△A PPˊ是等边三角形．
【点评】：将条件为转在恰当的等边形中是解决本题的关键．
【变式训练】
1、（2010福建泉州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A= ____．
【解】：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°
∴∠A=180°﹣40°﹣40°
=100°．
100°
【变式训练】
2、如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=_____.
【解】：∵AB=CA，
∴△ABC是等腰三角形，
∵D是BC边上的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵∠BAD=20°．
∴∠C=90°﹣20°=70°．
70°
3．如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，
能与△ACPˊ重合，如果∠BAP=30°，那么AC与PPˊ有何位置关系？
【解】：∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°．
由旋转得到:
AP=A Pˊ，∠BAP=∠CA Pˊ．
∴∠PA Pˊ=∠BAC=60°．
∴∠PA Pˊ=∠A PˊP=∠AP Pˊ=60°．
∴△A PPˊ是等边三角形．
又∵∠CA Pˊ=∠BAP=30°，∴AC⊥PPˊ．
作业：数学报《轴对称》综合测试题