1．5 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时 可化为一元一次方程的分式方程的解法
1．理解分式方程的概念；
2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；(重点)
3．理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法．(难点)
一、情境导入
甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米外的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？设甲同学每小时行x千米，你能列出相应的方程吗？这个方程是我们以前学过的方程吗？如果不是，你能给它取个名字吗？
二、合作探究
探究点一：分式方程的概念
【类型一】
分式方程的定义
下列方程是分式方程的是( )
A.＝
B.x－1＝x＋2
C.x2－x＝1
D.
解析：根据分式方程的定义，分母含有未知数的方程是分式方程，B，C选项是整式方程，D选项是分式，只有A选项分母含有未知数，并且是方程，故选A.
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，如果分母中含有未知数就是分式方程，分母中不含未知数就不是分式方程．
【类型二】
分式方程的根
已知x＝1是分式方程＝的根，求k的值．
解析：根据分式方程根的定义，把x＝1代入＝得到关于k的一元一次方程，解之即可．
解：将x＝1代入＝得，＝，
解得k＝.
方法总结：分式方程的解也叫作分式方程的根，已知方程的根求字母系数的值时，可把方程的根代入原方程，得到关于字母系数的方程，再解之即可．
探究点二：分式方程的解法
解关于x的方程：
(1)＋＝1；
(2)＝1＋.
解析：(1)小题先把方程两边乘最简公分母(x－4)，(2)小题先把方程两边乘最简公分母(x＋3)(x－1)，把分式方程转化为整式方程求解，最后必须要检验．
解：(1)方程的两边同乘(x－4)，得5－x－1＝x－4，
解得x＝4.
检验：把x＝4代入x－4得x－4＝0.∴x＝4是原方程的增根，
∴原方程无解．
(2)方程的两边同乘(x＋3)(x－1)，得
x(x－1)＝(x＋3)(x－1)＋2(x＋3)，
整理得5x＋3＝0，解得x＝－.
检验：把x＝－代入得(x＋3)(x－1)≠0.
∴原方程的解为：x＝－.
方法总结：解分式方程的一般步骤：①方程两边都乘最简公分母，化分式方程为整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为0，使最简公分母为0的根是原方程的增根，应舍去；④写出原方程的根．
探究点三：分式方程的增根
【类型一】
利用增根求字母的值
若关于x的分式方程＝－1有增根，那么增根是________，这时
a＝________
.
解析：分式方程的增根是使最简公分母为0的数，即x－5＝0，所以增根是x＝5.把原方程去分母得：4x＝－a－(x－5)，所以a＝－5x＋5，又因为x＝5，因此a＝－20.
方法总结：分式方程的增根是使最简公分母为0的数．
【类型二】
利用分式方程无解求字母的值
若关于x的分式方程＋＝无解，求m的值．
解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得：2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10，
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1，
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，
当x＝2时，(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
三、板书设计
1．分式方程的概念
2．分式方程的解法：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解，再检验．
3．增根：
(1)解分式方程为什么会产生增根；
(2)解分式方程检验的方法．
在解分式方程的过程中，应突出转化思想：把分式方程转化为整式方程求解．通过实例，让学生切实理解，解分式方程可能会产生增根，所以必须要检验．在解分式方程的过程中，要求学生按步骤解题，养成良好的解题习惯．本节课的易错点是解分式方程时忘记验根．第2课时 分式方程的应用
1．进一步熟练掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；
2．掌握列分式方程解决实际问题．(重点，难点)
一、情境导入
八年级学生到距离学校15千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先走，走了40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达．若汽车的速度是骑自行车同学速度的3倍，求骑自行车同学的速度？
二、合作探究
探究点一：列分式方程解和差倍分问题应用题
某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？
解析：解和差倍分问题应用题时，要注意题目中的关键词：“比……多”“比……少”“倍”“共”等等，这些关键词所表示的量可以用另一个量来表示，也可以作为等量关系列方程，此题设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道(1＋20%)x米，再根据一共用了27天这个等量关系列出方程，得出解后注意检验是否符合题意．
解：设原计划每天铺设管道x米，根据题意得：
＋＝27，
解得x＝10.
检验：把x＝10代入(1＋20%)x中，它的值不等于0，因此x＝10是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设管道10米．
方法总结：在列分式方程解决实际问题时，我们一是要注意审题，找到题目中的等量关系；二是设未知数时，注意选择和题目中各个量关系都密切的量，注意根据实际问题灵活选择设未知数的方法．验根应从两个方面出发：一是方程的本身，二是实际问题．根既要使方程的本身有意义，又要符合实际意义．
探究点二：列分式方程解行程问题应用题
某地供电局组织电工抢修线路，供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果两车同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度．
解析：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时；路程都是15千米，时间分别表示为：，.等量关系为：抢修车的时间－吉普车的时间＝.
解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时．
由题意得：－＝.
解得x＝20.
检验：把x＝20代入60x中，它的值不等于0，因此x＝20是原方程的解，且符合题意．
∴当x＝20时，1.5x＝30.
答：抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时．
方法总结：行程问题的基本关系是：路程＝速度×时间．
三、板书设计
列分式方程解应用题的一般步骤：
找(等量关系)
设(未知数)
列(方程)
解(方程)
验(检验)
答
列分式方程解应用题是本章的一个难点，在教学中，应注意引导学生学会审题，找出解决实际问题的等量关系，理解并掌握不同类型应用题的关系式．本节课的易错点是部分同学在设未知数和作答时不写单位或写错单位．
