2．3 等腰三角形
第1课时 等腰(边)三角形的性质
1．掌握等腰三角形的性质定理；(重点)
2．掌握等边三角形的性质定理；(重点)
3．能运用等腰(边)三角形的性质进行有关的证明或计算．(重点，难点)
一、情境导入
我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的，有什么性质？
二、合作探究
探究点一：等腰三角形的性质
【类型一】
运用“等边对等角”求角的度数
如图，AB＝AC，∠A＝100°，AB∥CD，求∠BCD的度数．
解析：根据等腰三角形的性质，可推出∠B＝∠ACB＝(180°－∠A)，依据已知条件可知∠BCD＝∠B.
解：∵∠A＝100°，∴∠B＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－100°＝80°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝40°.
∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝40°.
方法总结：求角的度数时，①在等腰三角形中，一定要考虑三角形内角和定理；②有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；③两条相交直线中，对顶角相等，两个邻补角之和等于180°.
【类型二】
分类讨论在等腰三角形求角度中的运用
等腰三角形的一个角等于30°，求它的顶角的度数．
解析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题中没有明确30°角是顶角还是底角，因此要分类讨论．
解：①当底角是30°时，顶角的度数为180°－2×30°＝120°；
②顶角即为30°.
因此等腰三角形的顶角度数为30°或120°.
方法总结：本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．注意：已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．
【类型三】
利用等腰三角形“三线合一”进行计算
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°.求∠ADC和∠CAD的度数．
解析：由已知AB＝AC，D是BC边上的中点，根据等腰三角形“三线合一”可得AD为三角形的高及顶角的平分线，从而可求解各个角的大小．
解：∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，DA平分∠BAC.
∴∠ADC＝90°.
又∠B＝30°，∴∠BAD＝180°－90°－30°＝60°.
∵DA平分∠BAC.∴∠CAD＝∠BAD＝60°.
∴∠ADC＝90°，∠CAD＝60°.
方法总结：利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角的平分线或底边上的高与其他两线互相重合．
【类型四】
利用等腰三角形“三线合一”进行证明
如图△ABC中，AB＝AC，D为AC上任意一点，延长BA到E使得AE＝AD连接DE，求证：DE⊥BC.
解析：作AF∥DE，交BC于点F.利用等边对等角及平行线的性质证明∠BAF＝∠FAC.在△ABC中由“三线合一”得AF⊥BC.再结合AF∥DE可得结论．
证明：作AF∥DE，交BC于点F.
∵AE＝AD，∴∠E＝∠ADE.
∵AF∥DE，∴∠E＝∠BAF，∠FAC＝∠ADE.
∴∠BAF＝∠FAC.
又AB＝AC，∴AF⊥BC.
∵AF∥DE，∴DE⊥BC.
方法总结：利用等腰三角形“三线合一”得出结论时，先必须已知一个条件，这个条件可以是等腰三角形的底边上的高，可以是底边上的中线，也可以是顶角的平分线．解题时，一般是用到其中的两条线互相重合．如本题中应用“等腰三角形底边上的高与顶角的平分线互相重合”．
探究点二：等边三角形的性质
如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，求∠BEC的度数．
解析：求∠BEC的度数，可利用180°减去∠BEC的外角进行求解，只要求得∠BEF
即可，利用三角形的外角的性质可得结果．
解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°.
∴∠3＋∠BCE＝60°.
∵∠2＝∠3，∴∠BEF＝∠2＋∠BCE＝60°.
∴∠BEC＝180°－∠BEF＝180°－60°＝120°.
方法总结：等边三角形各个角都相等，并且每个角都等于60°.在与等边三角形有关的计算中，往往要结合三角形外角的性质．
三、板书设计
等腰三角形的性质是几何中的一个重要内容．在等腰三角形的边和角的有关计算中，要注意分情况讨论．在求边长时，还要注意与三角形的三边关系相结合．在学习中要注意能运用等腰三角形性质的总的前提条件是一个三角形中有两条边相等(即这个三角形是等腰三角形)．第2课时 等腰(边)三角形的判定
1．掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理；(重点)
2．进一步理解、体会推理论证的方法；
3．掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理的运用．(重点，难点)
一、情境导入
1．等腰三角形有哪些性质？
2．等边三角形有哪些性质？
3．我们知道，等腰三角形的两底角相等，那么反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
二、合作探究
探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边)
如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠C，求证：AD＝CD.
解析：连接AC，把这个四边形分成两个三角形，然后利用等腰三角形的性质，可得∠CAD＝∠ACD，从而有AD＝CD.
证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.
又∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD－∠BAC＝∠BCD－∠BCA.
即∠CAD＝∠ACD.∴AD＝CD(等角对等边)．
方法总结：要注意等腰三角形的判定定理与性质定理的区别．“等边对等角”是等腰三角形的性质定理，条件是已知一个三角形有两条边相等，结论是这两条边所对的两个角相等．“等角对等边”是等腰三角形的判定定理，条件是已知一个三角形有两个角相等，结论是这个三角形是等腰三角形．
探究点二：等边三角形的判定
【类型一】
三边都相等的三角形是等边三角形
已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．
解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解．
解：移项得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，
∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，
∴a＝b＝c.
故△ABC是等边三角形．
方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零．(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
【类型二】
三个角都是60°的三角形是等边三角形
如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.试判定△ODE的形状，并说明你的理由．
解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝60°，从而可得△ODE是等边三角形．
解：△ODE是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而这个三角形是等边三角形．
【类型三】
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠CBE＝∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定理，可求得∠ECB＝60°.又AB＝BC，从而△ABC是等边三角形．
解：△ABC是等边三角形．
理由：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.
又∠ECB＝∠CED＋∠D.∴∠ECB＝2∠D.
∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D.∴∠ECB＝2∠CBE.∴∠CBE＝∠ECB.
∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°.
又∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°.∴∠ECB＋∠ECB＋90°＝180°.∴∠ECB＝60°.
∵AB＝BC.∴△ABC是等边三角形．
方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．
探究点三：等腰三角形判定的实际应用
如图，上午8时，一艘轮船从A处向正北方向航行，每小时航行15海里，11时轮船到达B处，从A、B处望小岛P，测得∠PAC＝15°，∠PBC＝30°，求从B处到小岛P的距离．
解析：先根据三角形外角的性质及∠PAC＝15°，∠PBC＝30°，求出△ABP是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答．
解：∵∠PBC是△PAB的外角，∴∠PBC＝∠PAC＋∠APB，
又∵∠PAC＝15°，∠PBC＝30°，∴∠APB＝15°，
∴∠APB＝∠PAC，∴AB＝BP，
又∵AB＝15×3＝45(海里)，
∴BP＝45海里，即从B处到小岛P的距离为45海里．
方法总结：解决与数学有关的实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题，再结合数学知识进行解决，体现了转化思想．
三、板书设计
1．等腰三角形的判定：等角对等边
2．等边三角形的判定：
(1)三边都相等的三角形是等边三角形
(2)三个角都是60°的三角形是等边三角形
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、基本事实、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法．
