第3课时 三角形内角和与外角
1．理解并掌握三角形的内角和定理；(重点)
2．会按角的大小把三角形进行分类，了解直角三角形的有关概念；(难点)
3．理解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质．(重点)
一、情境导入
请同学们准备一块三角形纸板，把纸板的三个角剪下拼在一起，你有什么发现？
二、合作探究
探究点一：三角形的内角和定理
【类型一】
三角形的内角和
如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解析：由三角形内角和定理，可将求∠D转化为求∠CFD，即∠AFE，再在△AEF中求解即可．
解：因为DE⊥AB(已知)，
所以∠FEA＝90°(垂直定义)．
因为在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°(已知)，
所以∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝180°－90°－30°＝60°.(三角形内角和等于180°)
又因为∠CFD＝∠AFE(对顶角相等)，
所以∠CFD＝60°.
所以在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°(已知)，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝180°－60°－80°＝40°.
方法总结：三角形中求角度，首先要考虑的是三角形内角和．根据三角形内角和定理，已知三角形中任意两个角的度数，可以求出第三个角的度数．
【类型二】
三角形内角和与平行线结合求角度
如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解析：根据三角形内角和求出∠ACB的度数，再由CD是∠ACB的平分线可求出∠BCD的度数，再根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求解．
解：因为∠A＝50°，∠B＝70°，所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－70°＝60°.
因为CD是∠ACB的平分线，
所以∠BCD＝∠ACB＝×60°＝30°.
因为DE∥BC，
所以∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝180°－70°－30°＝80°.
方法总结：本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质沟通角与角的关系．
【类型三】
三角形内角和与角平分线、高结合
已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝60°，求∠DAE的度数．
解析：首先根据三角形的内角和定理求得∠BAD，再根据和差关系和角平分线的定义求得∠DAE.
解：因为AD⊥BC，所以∠BDA＝90°.
因为∠B＝60°，所以∠BAD＝180°－∠BDA－∠B＝180°－90°－60°＝30°.
因为∠BAC＝80°，所以∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝80°－30°＝50°.
因为AE平分∠DAC，
所以∠DAE＝∠DAC＝×50°＝25°.
方法总结：在三角形中，由高这一条件可以得到90°的角，根据三角形的内角和，在得到的直角三角形中，已知一个锐角的度数可以求另一个锐角的度数．从三角形一个顶点出发的角既有角平分线又有高时，要注意这个顶点处几个角的位置关系和数量关系．
探究点二：三角形按角分类
具备下列条件的△ABC中，是锐角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＝58°，∠B＝60°
C．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
D．∠A－∠B＝90°
解析：根据三角形内角和定理，∠A＋∠B＋∠C＝180°.选项A中，∠A＋∠B＝∠C，则∠C＝90°，这个三角形是直角三角形；选项B中，∠A＝58°，∠B＝60°，则∠C＝62°，这个三角形是锐角三角形；选项C中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°，这个三角形是等腰直角三角形；选项D中，∠A－∠B＝90°，那么∠A＞90°，这个三角形是钝角三角形．故选B.
方法总结：把三角形按角分类，应先求出这个三角形中最大的角，最大的角是什么角，这个三角形相应的就是什么三角形．
探究点三：三角形的外角
【类型一】
三角形的外角、外角性质
如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝α，那么∠A等于( )
A．90°－α
B．90°－α
C．180°－α
D．180°－2α
解析：α＝180°－(∠DBC＋∠DCB)
＝180°－(∠CBE＋∠BCF)
＝180°－(∠A＋∠ACB＋∠BCF)
＝180°－(180°＋∠A)
＝90°－∠A.
则∠A＝180°－2α.故选D.
方法总结：注意此题中的结论：∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝α，那么∠A＝180°－2α.熟记这一结论，便于计算简便．
【类型二】
三角形内角和与外角性质的应用
如图所示，点D是AB上一点，点E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，求∠BFC的度数．
解析：本题可以利用三角形的外角的性质，也可应用三角形内角和定理求∠BFC的度数．
解：方法1：∵∠BDC是△ADC的外角，∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋35°＝97°.
又∵∠BFC是△BDF的外角，∴∠BFC＝∠BDF＋∠DBF＝97°＋20°＝117°.
方法2：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－62°＝118°.
在△BFC中，∠FBC＋∠FCB＝∠ABC＋∠ACB－∠ABE－∠ACD＝118°－20°－35°＝63°
∴∠BFC＝180°－(∠FBC＋∠FCB)＝180°－63°＝117°.
方法总结：方法1充分利用三角形外角的性质，方法2充分利用了三角形的内角和定理，解这类题目，观察角度不同，会有不同的解题方法．
三、板书设计
三角形内角和定理→三角形外角的性质
↓
三角形按角分类
在教师的指导下，通过学生的实际操作，发现、归纳、总结三角形的内角和定理．在三角形的内角和定理的基础上，引导学生得出三角形外角的性质．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生积极参与．2．1 三角形
第1课时 三角形的有关概念及三边关系
1．理解三角形的有关概念；
2．掌握三角形的三边关系．(重点，难点)
一、情境导入
生活中的这些图形，你能找出三角形吗？
二、合作探究
探究点一：三角形的有关概念
【类型一】
三角形的概念
如图，图中有多少个三角形？把它们分别表示出来．
解析：在线段BE上数出所有线段的条数，这些线段再与点A可构造出三角形．
解：图中有6个三角形，它们分别是：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE.
方法总结：在较复杂图形中数三角形的个数的时候，要有规律地去数，做到不重不漏．一般可以考虑先固定一个顶点，变换其他两个顶点，按顺序计数．
【类型二】
三角形的边、角
如图所示，∠BAC的对边是( )
A．BD
B．DC
C．BC
D．AD
解析：∠BAC在△ABC中，对边为BC，故选C.
方法总结：找对边、对角时，先必须找出边或角本身所在的三角形，再根据所处位置“相对”确定结果．角的顶点与对边的两个端点，边的两个端点与对角的顶点分别构成一个三角形．
【类型三】
等腰三角形与等边三角形的概念
等边三角形的边长为2，则周长为________．
解析：等边三角形的三边长都相等，一边长为2，则周长为2＋2＋2＝6.
方法总结：等边三角形是特殊的等腰三角形，即腰和底边长相等的等腰三角形，所以等边三角形的三边长都相等．
探究点二：三角形的三边关系
【类型一】
判断三条线段是否能构成三角形
判断下列各组线段是否能构成三角形，为什么？
(1)a＝1cm，b＝2cm，c＝4cm；
(2)a＝3cm，b＝3cm，c＝6cm；
(3)a＝2cm，b＝5cm，c＝5cm.
解析：选取最长边与其他两边的和进行大小比较．
解：(1)1＋2＜4，因而不能构成三角形；
(2)3＋3＝6，因而不能构成三角形；
(3)2＋5＞5，5－2＜5，因而可以构成三角形．
方法总结：判断三条线段能否构成三角形，从中选取最长边与其他两边的和比较，如果最长边大于其他两边的和，就能构成三角形，如果最长边小于或等于其他两边的和，就不能构成三角形．
【类型二】
已知三角形两边的长度，确定第三边长度的取值范围
已知三角形的两边长分别为3、5，则第三边a的取值范围是( )
A．2＜a＜8
B．2≤a≤8
C．a＞2
D．a＜8
解析：5－3＜a＜5＋3，∴2＜a＜8.故选A.
方法总结：根据三角形的三边关系，已知两边的长，即可求出第三边的取值范围．方法是：第三边的长大于已知的两边的差，而小于已知两边的和．
【类型三】
与等腰三角形相结合的三边关系
一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为________．
解析：(1)当等腰三角形的腰为4cm，底为8cm时，不能构成三角形．
(2)当等腰三角形的腰为8cm，底为4cm时，能构成三角形，周长为4＋8＋8＝20cm.
故这个等腰三角形的周长是20cm.故答案为：20cm.
方法总结：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知的两条边没有明确指出腰和底边，一定要考虑两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
三、板书设计
三角形
本节课学习了三角形的有关概念及三角形的三边关系，重点和难点都是三角形的三边关系及应用．在学习中，引导学生分析、观察、概括得出三角形的三边关系，并通过实例让学生加深理解．对三角形有关概念的学习，由于在小学学过三角形，可以鼓励学生先用自己的语言总结归纳，再结合课本用严谨的语言定义各个概念．第2课时 三角形的高、中线和角平分线
1．理解三角形的高、中线和角平分线的概念；(重点)
2．会画三角形的高、中线和角平分线；(重点，难点)
3．了解三角形的重心的概念．
一、情境导入
从前有一个老财主，他有一块面积很大的三角形土地，其中BC边紧靠河流，他打算把这块土地平均分给他的两个儿子，同时每个儿子的土地都要紧靠河流，应当怎样分？
二、合作探究
探究点一：三角形的高
【类型一】
三角形的高的概念
如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )
A．AC是△ABC的高
B．DE是△BCD的高
C．DE是△ABE的高
D．AD是△ACD的高
解析：根据高的概念可知：AC是△ABC的高，DE是△BCD的高，AD是△ACD的高，故选项A，B，D正确；DE是△BDC、△BDE、△EDC的高，但DE不是△ABE的高，故选项C错误；故选C.
方法总结：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
【类型二】
三角形的高的画法
画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( )
解析：三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．画△ABC的边AB上的高，即过点C向AB所在直线作垂线段，所以画法正确的只有选项D.故选D.
方法总结：三角形的高是线段．作三角形的高时，通过一个顶点向对边或对边所在直线作垂线．顶点和垂足间的线段就是三角形的高．
探究点二：三角形的角平分线
如图，AE是∠BAC的平分线，∠1＝∠D.试说明：∠1＝∠2.
解析：由∠1＝∠D，根据同位角相等，两直线平行可证AE∥DC，根据两直线平行，内错角相等可证∠EAC＝∠2，再根据角平分线的性质即可求解．
解：因为∠1＝∠D，
所以AE∥DC(同位角相等，两直线平行)，
所以∠EAC＝∠2(两直线平行，内错角相等)，
因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠1＝∠EAC，
所以∠1＝∠2.
方法总结：当三角形的角平分线与另一边平行时，这时有四个角相等，如本题中∠1＝∠EAC＝∠2＝∠D.
探究点三：三角形的中线
如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，若△ABC的面积为60，求△BDE的面积．
解析：先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，从而△ABD的面积等于△ABC的面积的一半，△BDE的面积等于△ABD的面积的一半．
解：因为AD为△ABC的中线，所以S△ABD＝S△ABC.
因为BE为△ABD的中线，所以S△BDE＝S△ABD.
所以S△BED＝S△ABC＝×60＝15.
方法总结：三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．三角形的中线是线段．
三、板书设计
1．三角形的高
2．三角形的角平分线
3．三角形的中线→重心
本节课学习了三角形的三种重要线段：三角形的高、角平分线、中线．可让学生根据三种重要线段的概念自己画三种线段，根据画出的图形总结出各种线段相应的性质．作三角形的高是本节课的难点和易错点，应让学生加强训练，结合解题中的错误分析原因，举一反三．
