第3课时 命题的证明
1．了解证明的基本步骤和书写格式；(重点)
2．掌握反证法证明的基本步骤和格式；(难点)
3．掌握三角形外角和定理的证明，并能进行简单的运用．
一、情境导入
要说明一个命题是真命题时，我们可以证明，那么怎样证明一个命题呢？证明一个命题的一般步骤是什么？
二、合作探究
探究点一：证明的一般步骤
【类型一】
证明的过程
如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D.求证：BD∥CE.
解析：先由∠A＝∠F可推出DF∥AC，利用平行线的性质结合已知条件，得到∠DBA＝∠C，进而判断出BD∥EC.
证明：∵∠A＝∠F(已知)，
∴DF∥AC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠D＝∠DBA(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠C＝∠D(已知)，
∴∠DBA＝∠C(等量代换)，
∴BD∥EC(同位角相等，两直线平行)．
方法总结：本题巧妙结合了平行线的性质和平行线的判定，先用判定定理判断出DF∥AC，再根据平行的性质判断出相等的角，从而得出BD∥CE.
【类型二】
与图形有关的命题的证明
求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行．
解析：按证明与图形有关的命题的一般步骤进行．要证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法来证明．
证明：如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP.
∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行，内错角相等)，
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝∠BPQ，∠HQP＝∠CQP(角平分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
方法总结：证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论，是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知求证，然后进行证明．
探究点二：反证法
【类型一】
假设
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选C.
方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．
【类型二】
用反证法证明一个命题
求证：△ABC中不能有两个钝角．
解析：用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．
证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，
所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．
方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
三、板书设计
证明
通过命题的证明学习，让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力．本节课的易错点是反证法，在假设时，结论的反面找不准确或不全面．同时用反证法证明时，一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知相矛盾，也可以与基本事实、定义、定理相矛盾．教学中让学生大胆参与练习，从中发现问题并纠正．第2课时 真命题、假命题与定理
1．会判定一个命题的真假；(重点)
2．理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念；(难点)
3．会用基本事实去判定其他命题的真假．(难点)
一、情境导入
下列命题中，哪些正确，哪些错误？说出你的理由．
(1)角的两边是一条射线；
(2)一个数如果能被2整除，那么这个数一定能被4整除；
(3)同位角与内错角不会相等．
让同学们小组讨论交流，从而引出真命题、假命题的概念．
二、合作探究
探究点一：真命题、假命题
【类型一】
判断真命题与假命题
下列命题中，是真命题的是( )
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
解析：选项A中，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B中，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C中，a·b＝0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或二者同时为0，是真命题．故选D.
方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题，如果命题不正确，就是假命题．
【类型二】
举反例
举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解析：分清题目的条件和结论，所举的例子满足条件，但不满足结论．
解：(1)如：两条直线平行时的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；
(2)如：当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
方法总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论．举反例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足题目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论．
探究点二：基本事实与定理
【类型一】
基本事实
下列命题是定理但不是基本事实的是( )
A．对顶角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
解析：选项A是定理但不是基本事实，选项B，C，D都是基本事实，故选A.
方法总结：①基本事实是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据．②定理是真命题，它的正确性可以以基本事实或其他定理为基础进行证明，可以作为判断其他命题真假的依据．
【类型二】
逆定理
下列定理没有逆定理的是( )
A．直角三角形的两锐角互余
B．对顶角相等
C．等角的补角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
解析：选项A的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，这个逆命题正确，原定理有逆定理．选项B的逆命题是：相等的角是对顶角，这个逆命题不正确，原定理没有逆定理．选项C的逆命题是：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，这个逆命题正确，原定理有逆定理．选项D的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，这个逆命题正确，原定理有逆定理．故选B.
方法总结：判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．
三、板书设计
命题
本节课学习了真命题和假命题，通过具体事例让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例．涉及的概念较多，应当让学生在理解的基础上进行识记．常出的错误是：由于“任何一个命题都有逆命题”是正确的，于是错误地认为“任何一个定理都有逆定理”也是正确的．2．2 命题与证明
第1课时 定义与命题
1．了解定义的含义；
2．了解命题的概念，能把一个命题写成“如果……，那么……”的形式；(重点)
3．会写出一个命题的逆命题．(难点)
一、情境导入
神舟十号是中国神舟号系列飞船之一，主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱组成．神舟十号在酒泉卫星发射中心“921工位”，于2013年6月11日17时38分02.666秒发射，由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”发射成功．在轨飞行十五天左右，加上发射与返回，其中停留天宫一号十二天，共搭载三位航天员——聂海胜、张晓光、王亚平.6月13日与天宫一号进行对接.6月26日回归地球．要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？
二、合作探究
探究点一：定义
【类型一】
定义的判断
下列语句中，属于定义的是( )
A．直线AB和CD垂直吗
B．过线段AB的中点C画AB的垂线
C．一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解
D．同旁内角互补，两直线平行
解析：定义是对概念的特征性质进行描述，它必须是严密的，只有选项C符合，故选C.
方法总结：疑问句、感叹句、作图过程的叙述、性质等都不是定义，定义常用“……叫……”“……称为……”来表示．
【类型二】
给概念下定义
请叙述下列概念的定义：
(1)三角形；
(2)代数式．
解：(1)不在同一条直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形；
(2)把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式．
方法总结：给数学概念下定义时，语言要准确、精练，要描述出概念的特征性质．
探究点二：命题
【类型一】
命题的判断
下列语句中，不是命题的是( )
A．两点之间线段最短
B．对顶角相等
C．不是对顶角不相等
D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线
解析：根据命题的定义，看其中哪些选项是判断句，其中只有D选项不是判断句，故选D.
方法总结：①命题必须是一个完整的句子，而且必须作出肯定或否定的判断．疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题．②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．
【类型二】
把命题写成“如果……那么……”的形式
把下列命题写成“如果……那么……”的形式．
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)平行于同一条直线的两条直线平行；
(3)等角的余角相等．
解：(1)如果两个角是同位角，那么两条直线平行；
(2)如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
(3)如果两个角是相等的角，那么它们的余角相等．
方法总结：把命题写成“如果……，那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．
【类型三】
命题的条件和结论
写出命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件和结论．
解析：先把命题写成“如果……，那么……”的形式，再确定条件和结论．
解：把命题写成“如果……，那么……”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．所以命题的条件是“两条直线平行于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．
方法总结：每一个命题都一定能用“如果……，那么……”的形式来叙述．“如果”后面的部分是“条件”，“那么”后面的部分是“结论”．
探究点三：互逆命题
请写出下列命题的逆命题：
(1)如果a＝b，那么a2＝b2；
(2)如果两个有理数相等，那么它们的平方相等；
(3)两直线平行，同旁内角互补．
解析：分别找出各个命题的条件和结论，再把条件和结论对调．
解：(1)如果a2＝b2，那么a＝b；
(2)如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等；
(3)同旁内角互补，两直线平行．
方法总结：写出一个命题的逆命题，应先分清命题的条件和结论，再把条件和结论对换即可．有时还可以把原命题写成“如果……，那么……”的形式，以方便写出条件和结论．
三、板书设计
1．定义
2．命题
3．互逆命题
本节课通过生活中的实例引出定义，学习了定义、命题、逆命题等概念，在学习中让学生理解并熟记概念的含义．本节课的易错点是写出命题的逆命题，可要求先把命题写成“如果……，那么……”的形式，再把条件和结论对调．
