数学人教A版（2019）必修第二册 空间直线、平面的平行（课件）(共173张PPT)

(共173张PPT)
空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行　
1.基本事实4
平行于同一条直线的两条直线平行。
【思考】
平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？
提示：三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等。
2.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
【思考】平面中怎样利用平行证明两个角相等？
提示：两直线平行同位角、内错角相等，平行四边形中对角相等。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）分别平行于两条异面直线的两条直线一定是异面直线。（　　）
（2）如果空间中的两个角相等或互补，那么这两个角的两条边分别对应平行。（　　）
提示：（1）×。也可能是相交直线。
（2）×。等角定理的逆定理不成立。
2.若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为45°，则另一个角为________。?
【解析】若一个角两边和另一个角两边分别平行，
则这两个角相等或互补，由一个角为45°，则另一个角为45°或135°。
答案：45°或135°
3.已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________。?
【解析】如图所示，MN?
AC，
因为AC
A′C′，所以MN
A′C′。
答案：平行
类型一　空间中两直线平行的判定及应用
【典例】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，G，H分别是BC，CD边上的点，且
。求证：四边形GHFE是梯形。
【思维·引】根据梯形的定义证明。
【证明】因为空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，所以EF∥BD，且EF=
BD，
因为G，H分别是BC，CD边上的点，且
，
所以HG∥BD，且HG=
BD，所以EF∥HG，且EF≠HG，所以四边形GHFE是梯形。
【内化·悟】
本题中证明线线平行用了哪些定理？
提示：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4。
【类题·通】
关于空间中两直线平行的证明
（1）辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边。
（2）证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4，几何体中相对的棱、对角线等的平行关系。
【习练·破】
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点。
求证：EE1∥FF1。
【证明】连接EF，E1F1，A1C1，AC，
由长方体ABCD-A1B1C1D1知，AC
A1C1，
因为点E，F分别是棱AB，BC的中点，
所以由三角形中位线定理得：EF
AC，
同理E1F1
A1C1，
所以EF
E1F1，则四边形EFF1E1为平行四边形，
故EE1∥FF1。
【加练·固】
如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，点E为AA1的中点，点F为CC1的中点，求证：EB∥FD1。
【证明】取DD1的中点M，连结AM，FM，
因为FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，
所以四边形FMAB为平行四边形，可得BF∥AM，且BF=AM，
又因为四边形AMD1E也是平行四边形，
所以ED1∥AM，且ED1=AM，
所以BF∥ED1，且BF=ED1，可得四边形EBFD1是平行四边形，所以EB∥FD1。
类型二　等角定理的应用
【典例】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点。
求证：∠NMP=∠BA1D。
【思维·引】证明两个角的两边分别平行。
【证明】如图，连接CB1，CD1，
因为CD∥A1B1，所以四边形A1B1CD是平行四边形，
所以A1D∥B1C。
因为M，N分别是CC1，B1C1的中点，
所以MN∥B1C，所以MN∥A1D。
因为BC∥A1D1，所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1。
因为M，P分别是CC1，C1D1的中点，
所以MP∥CD1，所以MP∥A1B，
所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，所以∠NMP=∠BA1D。
【内化·悟】
两个角的边分别平行时，怎样区分两个角相等还是互补？
提示：如果两个角方向相同或相反，则两个角相等，否则互补，也可以通过观察两角是锐角还是钝角，如果同为锐角或钝角，则两角相等。
【类题·通】
关于等角定理的应用
（1）根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先证明线线平行。
（2）根据角的两边的方向判定两角相等。
【习练·破】
如图所示，△ABC和△A′B′C′的
对应顶点的连线AA′，BB′，CC′
交于同一点O，且
（1）求证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′。
（2）求
的值。
【解析】（1）因为AA′∩BB′=O，且
所以△AOB∽△A′OB′，所以∠ABO=∠A′B′O，
所以AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′。
（2）因为A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和
A′C′方向相反，所以∠BAC=∠B′A′C′。
同理∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，
所以△ABC∽△A′B′C′且
所以
　【加练·固】
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点。
求证：（1）四边形MNA1C1是梯形。
（2）∠DNM=∠D1A1C1。
【证明】（1）如图，连接AC，在△ACD中，
因为M，N分别是CD，AD的中点，
所以MN是三角形的中位线，所以MN∥AC，MN=
AC。
由长方体的性质得：AC∥A1C1，AC=A1C1。
所以MN∥A1C1，且MN=
A1C1，即MN≠A1C1，
所以四边形MNA1C1是梯形。
（2）由（1）可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，
所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补。
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
所以∠DNM=∠D1A1C1。
类型三　空间中直线平行关系的综合应用
角度1　共面问题
【典例】如图，已知正方体ABCD-
A1B1C1D1，E，F，G，H分别是AD1，
CD1，BC，AB的中点。
求证：E，F，G，H四点共面。
【思维·引】证明EF∥HG即可。
【证明】如图，连接AC。
因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EF∥AC。
因为G，H分别是BC，AB的中点，所以GH∥AC。
所以EF∥GH。所以E，F，G，H四点共面。
【素养·探】
在证明共面问题时，常常用到核心素养中的逻辑推理，将共面问题转化为平行问题，通过证明线线平行证明四点共面。
将本例的条件改为“
”，试证明EH与FG交于一点。
【证明】连接AC，因为E，F分别是AD1，CD1的中点，
所以EF∥AC，EF=
AC。
因为
，所以GH∥AC，GH=
AC。
所以EF∥GH，EF≠GH，
所以四边形EFGH是梯形，所以EH与FG交于一点。
角度2　探究问题
【典例】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且AM=
MC，BN=
BP，作出直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，直线l与MN是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由。
【思维·引】先作出直线l，再利用比例关系证明是否平行。
【解析】连接BM并延长，交DA于点E，连接PE，
则PE即为直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，因为底面ABCD是平行四边形，所以AE∥BC，
所以△AEM∽△CBM，所以
因为点M，N分别在AC，PB上，
且AM=
MC，BN=
BP，
所以MN∥PE，即直线l∥MN。
【类题·通】
1.关于共面问题
根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行。
2.关于探究问题
处理探究问题时一般假设其存在，再进行证明，或先选取如中点等特殊位置进行验证，再给出严格证明。
【习练·破】
如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H
分别是边AB，BC，CD，DA的中点。
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形。
（2）当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形。
【解析】（1）在△ABC中，E，F分别是边AB，BC的中点，
所以EF∥AC，且EF=
AC，
同理有GH∥AC，且GH=
AC，
所以EF∥GH且EF=GH，
故四边形EFGH是平行四边形。
（2）当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，理由如下：
若AC=BD，则有EH=EF，
又因为四边形EFGH是平行四边形，
所以四边形EFGH是菱形。若AC⊥BD，则EH⊥EF，
所以菱形EFGH是正方形。
8.5.2　直线与平面平行　
1.直线与平面平行的判定定理
（1）定理：如果
一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
（2）符号：
（3）实质：
平面外
a?α，b?α，且a∥b?a∥α。
线线平行?线面平行，即空间问题转化为平面问题。
【思考】一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面一定平行吗？
提示：不一定，该直线也可能在平面内。
2.直线与平面平行的性质定理
（1）定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该
。
（2）符号：
（3）实质：
直线与交线平行
a∥α，a?β，α∩β=b?a∥b。
线面平行?线线平行，即线面平行蕴含线线平行。
【思考】一条直线与一个平面平行，该直线与此平面内任意直线平行吗？
提示：不一定，可能是异面直线。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α。（　
）
（2）若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点。（　
）
（3）平行于同一平面的两条直线平行。（　
）
提示：（1）×。直线也可能与平面相交。
（2）√。若有公共点，则平行不成立。
（3）×。两条直线可能平行，也可能相交或异面。
2.能保证直线与平面平行的条件是（　　）
A.直线与平面内的一条直线平行
B.直线与平面内的某条直线不相交
C.直线与平面内的无数条直线平行
D.直线与平面内的所有直线不相交
【解析】选D。A不正确，因为由直线与平面内的一条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内。
B不正确，因为由直线与平面内的某条直线不相交，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内，也可能和平面相交。
C不正确，因为由直线与平面内的无数条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内。
D正确，因为由直线与平面内的所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行。
3.如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）
A.MN∥PD
B.MN∥PA
C.MN∥AD
D.以上均有可能
【解析】选B。四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，
MN?平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，
由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA。
类型一　直线与平面平行判定定理的应用
【典例】（2019·常熟高一检测）如图，
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，
D，E分别是AB，B1C的中点。
求证：DE∥平面ACC1A1。
【思维·引】构造中位线或平行四边形，利用线线平行证明。
【证明】方法一：连接BC1，AC1，
因为ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1的中点，
因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1，
又DE?平面ACC1A1，AC1?平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1。
方法二：连接A1C，AC1交于O，连接OE，
则O是A1C的中点，又E是B1C的中点，
所以OE∥A1B1，OE=
A1B1，
又AD∥A1B1，AD=
A1B1，
所以OE
AD，
所以四边形ADEO是平行四边形，
所以AO∥DE，
因为AO?平面ACC1A1，DE?平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1。
【内化·悟】
构造中位线、平行四边形的关键是什么？
提示：想象出相应的三角形、四边形。
【类题·通】
关于线面平行的判定
（1）充分利用平面图形中的平行关系，如三角形中中位线平行于底边，平行四边形对边平行，梯形的两底平行等。
（2）连接平行四边形的对角线是常作的辅助线，因为平行四边形的对角线相互平分，可以得到中点从而构造平行关系。
（3）书写步骤时一定要注明面外直线，面内直线，避免步骤扣分。
【习练·破】
1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（　　）
A.不存在
　　
B.有1条　　
C.有2条　　
D.有无数条
【解析】选D。由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，则它们都与平面D1EF平行，故选D。
2.（2019·宁德高一检测）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点。
求证：AC1∥平面CDB1。
【证明】连接BC1交B1C于点E，连接DE，
又因为四边形BCC1B1为平行四边形。
所以E是BC1的中点，
因为D是AB的中点，所以DE∥AC1，
因为DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
所以AC1∥平面CDB1。
【加练·固】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，E为棱CC1的中点。求证：AC∥平面B1DE。
【证明】连接AC1，交B1D于点O，连接OE，
则OE为△ACC1的中位线，
所以OE∥AC，
又OE?平面B1DE，AC?平面B1DE，
所以AC∥平面B1DE。
类型二　直线与平面平行性质定理的应用
【典例】（2019·玄武高一检测）一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，
（1）过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？
（2）在面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
【思维·引】根据线面平行，作出截面与各个表面的交线即可。
【解析】（1）取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE，
则PD，PF，DE，EF即为应画的线。
（2）因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF，
因为平面ABC∩平面PDEF=EF，
所以AC∥EF。
【内化·悟】
利用线面平行的性质定理需要满足哪两个前提条件？
提示：一是线面平行，二是存在或作出过直线的平面与已知平面的交线。
【类题·通】
关于线面平行性质定理的应用
（1）如果题目中存在线面平行的条件，寻找或作出交线是前提，也是关键。
（2）对应画线问题，要根据线面平行，确定出平行的直线后画出。
【习练·破】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上。若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________。?
【解析】因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，
所以AC=2
。又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C=AC，所以EF∥AC，所以F为DC的中点，所以EF=
AC=
。
答案：
【加练·固】
如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，DE与AB不重合，证明：DE∥AB。
【证明】因为ABC-A1B1C1为三棱柱，
所以A1B1∥平面ABC，
又平面A1B1ED∩平面ABC=DE，
所以A1B1∥DE，
又A1B1∥AB，
所以DE∥AB。
类型三　直线与平面平行判定、性质定理的综合应用
角度1　线面平行关系的综合应用
【典例】如图所示，四边形EFGH为空间
四边形ABCD的一个截面，若截面为平行
四边形。
求证：AB∥平面EFGH。
【思维·引】先由线线平行推线面平行，再利用线面平行推出线线平行，进而证明线面平行。
【证明】因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG。因为HG?平面ABD，所以EF∥平面ABD。
因为EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，AB?平面EFGH。所以EF∥AB。
因为AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH。
【素养·探】
在确定线面平行的条件时，常常用到核心素养中的逻辑推理，通过线面平行与线线平行的相互转化证明。
本例的条件改为“截面EFGH与AB，CD分别平行”，
试证明截面EFGH是平行四边形。
【证明】因为AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EF，AB?平面ABC，
所以AB∥EF，
因为AB∥平面EFGH，平面ABD∩平面EFGH=GH，AB?平面ABD，所以AB∥GH，
由基本事实4可得：EF∥GH，同理可得EH∥FG，
所以四边形EFGH为平行四边形。
角度2　线面平行条件的确定
【典例】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件________时，A1P∥平面BCD（答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）
?
【思维·引】从特殊点入手寻找，再验证是否符合。
【解析】取CC1中点P，连接A1P，
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，
所以当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，
因为A1P?平面BCD，CD?平面BCD，
所以当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD。
答案：P是CC1中点
【类题·通】
关于线面平行关系的综合应用
判定和性质之间的推理关系是由线线平行?线面平行?线线平行，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化。
【习练·破】
若在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上的一点，当点E满足条件________时，SC∥平面EBD。?
【解析】当E为SA的中点时，连接AC，
设AC与BD的交点为O，连接EO。
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点。
又E是SA的中点，
所以OE是△SAC的中位线。
所以OE∥SC。
因为SC?平面EBD，OE?平面EBD，
所以SC∥平面EBD。
答案：SE=EA
8.5.3　平面与平面平行　
1.平面与平面平行的判定定理
（1）定理：如果一个平面内的
与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（2）符号：
（3）实质：
两条相交直线
a?α，b?α，a∩b=P，a∥β，b∥β?α∥β。
线面平行?面面平行
【思考】定理中的“相交”能否去掉？
提示：不能，如果是两条平行直线与另一个平面平行，两个平面也可能相交。
2.平面与平面平行的性质定理
（1）定理：
（2）符号：
（3）实质：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么交线平行。
α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b?a∥b。
面面平行?线线平行
【思考】由面面平行能推出线面平行？
提示：能，两个平面平行，其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。（　　）
（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线平行。（　　）
（3）已知两个平面平行，若第三个平面与其中的一个平面平行，则也与另一个平面平行。（　　）
提示：（1）×。这无数条直线可能是平行直线。
（2）×。也可能是异面直线。
（3）√。第三个平面与另一个平面也没有公共点，所以也是平行的。
2.下列命题中不正确的是
（　　）
A.平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β
B.平面α∥平面β，则平面α内的任意一条直线都平行于平面β
C.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
【解析】选A。A中，平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a不一定平行于平面β；因为a有可能在平面β内；故错误；
B中，平面α∥平面β，则平面α内的任意一条直线都平行于平面β，由面面平行可得一个平面内的线与另一平面平行，故正确；
C中，一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，由面面平行的判定可知结论正确；
D中，分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线；由面面平行的性质可知结论正确。
3.如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，且AP=1，BP=4，CD=6，那么CP=
________。?
【解析】因为平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，
直线AB与CD交于点P，所以AC∥BD，
所以
，因为AP=1，BP=4，CD=6，
所以
，所以CP=2。
答案：2
类型一　平面与平面平行判定定理的应用
【典例】如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点。
求证：平面MNQ∥平面PBC。
【思维·引】在平面MNQ中，分别证明两条直线与平面PBC平行。
【证明】因为四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，
点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，
所以N是AC的中点，
所以MN∥PC，
又因为PC?平面PBC，MN?平面PBC，
所以MN∥平面PBC。
因为M，Q分别是PA，PD的中点，
所以MQ∥AD∥BC，
又因为BC?平面PBC，MQ?平面PBC，
所以MQ∥平面PBC。
因为MQ?平面MNQ，MN?平面MNQ，MQ∩MN=M，
所以平面MNQ∥平面PBC。
【内化·悟】
要证明面面平行，需要先证明什么？
提示：先证明线线平行。
【类题·通】
平面与平面平行的判定方法
（1）定义法：两个平面没有公共点。
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。
（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β。
（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
【习练·破】
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点。
求证：平面MDB1∥平面ANC。
【证明】如图，连接MN。
因为M，N分别是所在棱的中点，
所以四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形。
所以MB1∥AN，CN∥MD。
又因为MB1?平面MDB1，AN?平面MDB1，所以AN∥平面MDB1，
同理可证CN∥平面MDB1，
又因为AN∩CN=N，
AN?平面ANC，CN?平面ANC，
所以平面MDB1∥平面ANC。
类型二　平面与平面平行性质定理的应用
【典例】（2019·南昌高一检测）如图，
平面α∥β，线段AB分别交α，β于M，
N，线段AD分别交α，β于C，D，线段
BF分别交α，β于F，E，若AM=9，MN=11，NB=15，
S△FMC=78。求△END的面积。
【思维·引】根据两个平面平行，确定两边的比值，再由面积的比求另一个三角形的面积。
【解析】因为平面α∥β，又平面AND∩平面α=MC，
平面AND∩平面β=ND，所以MC∥ND，
同理EN∥FM，
又AM=9，MN=11，NB=15，
所以
又∠FMC=∠END，
所以
因为S△FMC=78，所以S△END=100。
故△END的面积为100。
【内化·悟】
本例中推出FM∥NE，MC∥ND的依据是什么？FC与ED平行吗？为什么？
提示：依据一是α∥β，二是FM与NE，MC与ND分别共面。不一定平行，也可能异面。
【类题·通】
1.应用平面与平面平行性质定理的步骤
2.关于平行平面分线段
类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理。
【习练·破】
如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D。
（1）求证：AC∥BD。
（2）已知PA=4cm，AB=5cm，PC=3cm，求PD的长。
（3）若点P在α与β之间，试在（2）的条件下求CD的长。
【解析】（1）因为PB∩PD=P，
所以直线PB和PD确定一个平面，记为γ，
则α∩γ=AC，β∩γ=BD。
又α∥β，所以AC∥BD。
（2）由（1）得AC∥BD，所以
所以CD=
cm，
所以PD=PC+CD=
（cm）。
（3）同（1）得AC∥BD，所以△PAC∽△PBD。
所以
所以
，所以PD=
cm。
所以CD=PC+PD=3+
（cm）。
类型三　平面与平面平行关系的综合应用
角度1　面面平行条件的探究
【典例】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1
中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中
点，设Q是CC1上的点，当点Q在________
位置时，平面D1BQ∥平面PAO。（　　）?
A.Q与C重合
B.Q与C1重合
C.Q为CC1的三等分点
D.Q为CC1的中点
【思维·引】从特殊点入手进行探究。
【解析】选D。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
因为O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，
所以PO∥BD1，
因为Q是CC1上的点，当点Q在CC1的中点位置时，
PQ
AB，
所以四边形ABQP是平行四边形，
所以AP∥BQ，
因为AP∩PO=P，BQ∩BD1=B，
AP，PO?平面APO，BQ，BD1?平面BQD1，
所以平面D1BQ∥平面PAO。
【素养·探】
在探究面面平行的过程中，常常用到核心素养中的直观想象，想象出平行平面的位置，从而确定面面平行的条件。
本例中，若Q是AA1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO。
【解析】当Q在AA1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
因为O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，
所以PO∥BD1，
因为PO?面BD1Q，BD1?面BD1Q，
所以PO∥面BD1Q，
因为Q是AA1上的点，当点Q在AA1的中点位置时，AQ
D1P，
所以四边形AQD1P是平行四边形，
所以AP∥D1Q，
因为PA?面BD1Q，D1Q?面BD1Q，
所以PA∥面BD1Q，
又PA∩PO=O，所以平面D1BQ∥平面PAO。
角度2　空间平行关系的综合应用
【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，求证：
（1）MN∥平面CC1D1D。
（2）平面MNP∥平面CC1D1D。
【思维·引】（1）利用平行四边形构造线线平行证明。
（2）利用线线平行证明线面平行。
【证明】（1）连接AC，CD1，
因为ABCD是正方形，N是BD的中点，
所以N是AC的中点，
又因为M是AD1的中点，所以MN∥CD1，
因为MN?平面CC1D1D，CD1?平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D。
（2）连接BC1，C1D，
因为B1BCC1是正方形，P是B1C的中点，
所以P是BC1的中点，
又因为N是BD的中点，
所以PN∥C1D，
因为PN?平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D，
所以PN∥平面CC1D1D，
由（1）得MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN=N，
所以平面MNP∥平面CC1D1D。
【类题·通】
1.关于面面平行条件的探究
（1）从线线平行角度：确定出动点的位置满足线线平行，从而得到线面平行，进而证明面面平行。
（2）从面面平行角度：先确定出满足条件的、且与已知平面平行的平面，则动点在线上或面内任意点均满足面面平行。
2.关于空间中线、面平行的内在联系
注：判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用高一级的平行关系推出低一级的平行关系。
【发散·拓】
如图，已知直线a，b?面α，且a∩b=A，直线c，d?面β，且c∩d=B，若a∥c，b∥d，那么平面α，β是否平行，若平行，给出证明；若不平行，说明理由。
【解析】因为a∥c，a?β，c?β，所以a∥β。
因为b∥d，b?β，d?β，所以b∥β。
因为直线a，b?面α，且a∩b=A，所以α∥β。
【延伸·练】
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点。
求证：平面A1C1G∥平面BEF。
【证明】因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
所以EF∥A1C1，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，所以A1F=BG，
又A1F∥BG，所以四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，
因为EF?平面BEF，BF?平面BEF，A1G?平面A1C1G，A1C1?平面A1C1G，
又EF∩BF=F，A1G∩A1C1=A1，
所以平面A1C1G∥平面BEF。
【习练·破】
1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1。?
【解析】连接FH，FN，HN，因为HN∥DB，FH∥D1D，
FH∩HN=H，FH，HN?平面FHN，
DB∩D1D=D，DB，D1D?平面B1BDD1，
所以平面FHN∥平面B1BDD1。因为点M在四边形EFGH上及其内部运动，故M∈FH。
答案：M在线段FH上
2.如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点。
求证：（1）BE∥平面DMF。
（2）平面BDE∥平面MNG。
【证明】（1）如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO，又BE?平面DMF，
MO?平面DMF，
所以BE∥平面DMF。
（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE?平面MNG，GN?平面MNG，
所以DE∥平面MNG。
又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又BD?平面MNG，MN?平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG。
谢
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