数学人教A版（2019）必修第二册 8.3简单几何体的表面积与体积（课件）(共108张PPT)

(共108张PPT)
简单几何体的表面积与体积
8.3.1　
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的
。
面积的和
【思考】
棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？
提示：是。棱柱、棱锥、棱台的表面积就是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小。常把多面体展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积。
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则
。
棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则_______。
棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′、S，
高为h，则______________________。
V=Sh
【思考】
棱柱、棱锥、棱台的体积之间有什么关系？
提示：棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系可以理解为：
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）锥体的体积等于底面面积与高之积。（　　）
（2）棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成
的。（　　）
（3）沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等。（　　）
【解析】（1）×。锥体的体积等于底面积与高之积的
。
（2）×。棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形。
（3）×。由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同。但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的。
2.正方体的表面积为96，则正方体的体积为（　　）
A.48
B.64
C.16
D.96
【解析】选B。设正方体的棱长为a，则6a2=96，所以a=4。所以其体积V=a3=43=64。
3.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为
（　　）
A.22
B.20
C.10
D.11
【解析】选A。所求长方体的表面积S=2×（1×2）+2×（1×3）+2×（2×3）=22。
4.若长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则长方体的体积为（　　）
A.27cm3
B.60cm3
C.64cm3
D.125cm3
【解析】选B。长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5=60（cm3）。
类型一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
【典例】1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（　　）　
2.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的表面积。
【思维·引】分别求出各个面的面积，表面积等于各个面的面积之和。
【解析】1.选A。设正三棱锥的侧棱长为b，
则由条件知，b2+b2=a2，即b2=
a2，所以
S表=
2.如图，设底面对角线AC=a，BD=b，交点为O，
对角线A1C=15，B1D=9，
所以a2+52=152，b2+52=92所以a2=200，b2=56。
所以a=10
，b=2
，
因为该直四棱柱的底面是菱形，
所以AB2=
=64，所以AB=8。
所以直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160。
又因为四边形ABCD为菱形，所以S菱形=
AC·BD=
×10
×2
=20
，所以S表=2S菱形+S侧
=2×20
+160=40
+160。
【内化·悟】
怎样求多面体的表面积？
提示：多面体的表面积就是各个面的面积之和，也可以先求出侧面展开图面积，再分别求上、下底面的面积，再求总的表面积。
【类题·通】
棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解。
【习练·破】
已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________。?
【解析】如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，过B1作
B1F⊥BC，垂足为F，在Rt△B1FB中，BF=
×（8-4）
=2，B1B=8，
故B1F=
所以
×（8+4）×2
=12
，
故四棱台的侧面积S侧=4×12
=48
，
所以S表=48
+4×4+8×8=80+48
。
答案：80+48
类型二　棱柱、棱锥、棱台的体积
【典例】如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′，求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比。
【思维·引】先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比。
【解析】方法一：设AB=a，AD=b，DD′=c，
则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc，
又S△A′DD′=
bc且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a。
所以V三棱锥C-A′DD′=
S△A′D′D·CD=
abc。
则剩余部分的几何体体积V剩=abc-
abc=
abc。
故V棱锥C-A′DD′∶V剩=
abc∶
abc=1∶5。
方法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱
柱ADD′A′-BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为
S，高为h，则它的体积为V=Sh。而棱锥C-A′DD′的
底面面积为
S，高为h，
因此棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′=
×
Sh=
Sh。
剩余部分的体积是Sh-
Sh=
Sh。
所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为
Sh∶
Sh=1∶5。
【内化·悟】
怎样求几何体的体积？
提示：求几何体的体积，关键是弄清该几何体是柱体，锥体还是台体，再分别选择公式求解。
【类题·通】
常见的求几何体体积的方法
（1）公式法：直接代入公式求解。
（2）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可。
（3）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积。
【习练·破】
如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥，则剩余部分的体积为________。?
【解析】
S△ABD·A1A=
×
a2·a
=
a3。故剩余部分的体积V=V正方体-
=a3-
=
a3。
答案：
a3
类型三　棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的综合应用
角度1　等积变换法求体积
【典例】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为
________。?
【思维·引】把三棱锥A-DED1转换为三棱锥E-DD1A，底面为直角三角形DAD1，高为正方体的棱长。
【解析】
答案：
【素养·探】
等积转换法是求锥体体积的常用方法，特别是当题目中某些点是不固定的点时，常用等积转换固定一个面，再进行求值。在解题过程中主要考查直观想象和数学运算的核心素养。把本例改为：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1-EDF的体积。
【解析】
角度2　等体积法求点到面的距离
【典例】如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d。
【思维·引】先求出三棱锥A-BDA1的体积，再求出三角形BDA1的面积，再根据等体积法求点到平面的距离。
【解析】在三棱锥A1-ABD中，AA1⊥平面ABD，AB=AD=AA1=a，A1B=BD=A1D=
a，
因为
所以
所以d=
a。所以点A到平面A1BD的距离为
a。
【类题·通】
利用等体积法求点到面的距离，一般是先选择适当的顶点求出锥体的体积，再改变顶点，求题目给出平面的面积，再用等体积法求点到面的距离。
【习练·破】
已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为
（　　）　　　　　
A.6
B.12
C.24
D.48
【解析】选D。正四棱锥的斜高h′=
=4，
S侧=4×
×6×4=48。
8.3.2　
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
【思考】
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？
提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：
S圆柱侧=2πrl
S圆台侧=π（r′+r）l
S圆锥侧=πrl。
2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式
柱体的体积公式V=Sh（S为底面面积，h为高）；
锥体的体积公式V=
Sh（S为底面面积，h为高）；
台体的体积公式V=
（S′+
+S）h。
【思考】
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？
提示：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：
V=Sh
V=
（S′+
+S）h
V=
Sh。
3.球的表面积和体积公式
设球的半径为R，则球的表面积S=4πR2，即球的表面
积等于它的大圆面积的4倍。球的体积V=
πR3。
【思考】
如何理解、把握球的表面积、体积公式？
提示：把握住球的表面积公式S球=4πR2，球的体积公式V球=
πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件。把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）球的体积之比等于半径比的平方。
（　　）
（2）长方体既有外接球又有内切球。
（　　）
（3）球面展开一定是平面的圆面。
（　　）
（4）圆台的高就是相应母线的长。
（　　）
【解析】（1）×。球的体积之比等于半径比的立方。
（2）×。长方体只有外接球，没有内切球。
（3）×。球的表面不能展开成平面图形。
（4）×。圆台的高是指两个底面之间的距离。
2.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为（　　）　　　　　
A.1∶9
B.1∶27
C.1∶3
D.1∶1
【解析】选A。由表面积公式知，两球的表面积之比
为
=1∶9。
3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（　　）
【解析】选A。设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，
由题意知l=2πr，S侧=l2=4π2r2。
S表=S侧+2πr2=4π2r2+2πr2=2πr2（2π+1），
4.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为（　　）
A.15π
B.30π
C.12π
D.36π
【解析】选C。设圆锥的高为h，如图，则h=
所以其体积V=
Sh=
×π×32×4=12π。
类型一　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
【典例】1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　）
A.12
π
B.12π
C.8
π
D.10π
2.若球的过球心的截面圆的周长是C，则这个球的表面积是（　　）
A.
B.
C.
D.2πC2
3.已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为________。?
【思维·引】1.根据条件画出图形，根据圆柱的侧面展开图求出圆柱的底面半径。
2.根据已知大圆周长求出大圆半径即球的半径，再求球的表面积。
3.根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长。
【解析】1.选B。因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2
，底面圆的直径为2
，所以该圆柱的表面积为2×π×（
）2+2π×
×2
=12π。
2.选C。由题意知大圆的半径即球的半径，设为R，
由2πR=C，得R=
，所以S球面=4πR2=
。
3.由题意，得该圆锥的母线长l=
=10，
所以该圆锥的侧面积为π×8×10=80π，底面积为π×82=64π，所以该圆锥的表面积为80π+64π=144π。
答案：144π
【内化·悟】
怎样求圆柱、圆锥、圆台的表面积？
提示：求圆柱、圆锥、圆台的表面积，关键是求出底面圆的半径，圆柱、圆锥、圆台的高及母线长。
【类题·通】
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤：解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图。
（2）依次求出各个平面图形的面积。
（3）将各平面图形的面积相加。
2.球的表面积的求法
要求球的表面积，关键是知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入球的表面积公式求解。
【习练·破】
1.过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48π
cm2，则球的表面积为____cm2。?
【解析】易知截面为一圆面，如图所示，圆O是球的过已知半径的大圆，AB是截面圆的直径，作OC垂直AB于点C，连接OA。由截面面积为48π
cm2，可得AC=4
cm。设OA=R
cm，则OC=
R
cm，所以
R2-
=（4
）2，解得R=8。故球的表面积S=4πR2=256π（cm2）。
答案：256π
2.如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC=90°，AB=5cm，BC=16cm，AD=4cm。求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积。
【解析】以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：
其中圆锥的高为16-4=12（cm），圆柱的母线长为
AD=4cm，故该几何体的表面积为2π×5×4+π×
52+π×5×13=130π（cm2）。
类型二　圆柱、圆锥、圆台、球的体积
【典例】1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
侧面积是16
π，则圆锥的体积是（　　）　　　　
A.
B.
C.64π
D.128
π
2.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（　　）
A.18+6
B.6+2
C.24
D.18
3.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积
为π，则球的体积为（　　）
【思维·引】1.先由侧面积求出圆锥的底面半径和高，再求体积。
2.直接利用公式求体积即可。
3.根据与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，先求出小圆的半径，再求球的半径，进而求出球的体积。
【解析】1.选A。设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以2r=
即l=
r，由题意得，侧面积S侧=πr·l=
πr2=16
π，
所以r=4。所以l=4
，高h=
=4。
所以圆锥的体积V=
Sh=
π×42×4=
π。
2.选B。V=
（S+
+S′）h=
×（2+
+4）×3
=6+2
。
3.选D。设截面圆的半径为r，则πr2=π，故r=1，
由勾股定理求得球的半径为
，所以球的
体积为
【内化·悟】
如何利用圆柱、圆锥、圆台的体积公式巧解题？
提示：利用圆柱、圆锥、圆台的体积公式解题时，首先要记准、记清公式，根据题目给出的已知条件求出底面半径和几何体的高，再利用公式求解即可。
【类题·通】
求几何体体积的常用方法
（1）公式法：直接代入公式求解。
（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可。
（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等。
（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积。
【习练·破】
1.若一个圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面直径的
截面）是面积为
的等边三角形，则该圆锥的体积
为（　　）
【解析】选B。设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的高为
r。由题意，得
×（2r）2=
，得r=1，所以该圆
锥的体积V=
π×12×
=
π。
2.已知Rt△ABC中，C=90°，分别以AC，BC，AB所在直线为轴旋转一周所得三个几何体的体积分别为V1，V2，V。求证：
【证明】如图，设AC=b，BC=a，作CH⊥AB于H，
则AB=
。由射影定理，得AH=
BH=
，CH2=AH·BH=
三个几何体分别是两个圆锥和组合体（有公共底面的
圆锥组合体），依题意，得V1=
πS1h1=
πa2b，
V2=
S2h2=
πb2a，V=
π·CH2·AB
所以
类型三　与球有关的切、接问题
【典例】1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为
（　　）
2.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________。
【思维·引】1.把正方体削成一个体积最大的球，该球是正方体的内切球，球的直径就是正方体的棱长。
2.球是长方体的外接球，球的直径是长方体的体对角线。
【解析】1.选A。球的直径是正方体的棱长，
所以2R=2，R=1。所以V=
πR3=
π。
2.球的直径是长方体的体对角线，
所以2R=
S=4πR2=14π。
答案：14π
【类题·通】
球的切接问题处理策略及常用结论
（1）在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等。
（2）几个常用结论
①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；
②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；
③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；
④球与棱锥相切，则可利用V棱锥=
S底h=
S表R，求球的半径R。
【习练·破】
1.棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积。
【解析】正方体的外接球直径等于正方体的体对角线
长，即2R=
，所以R=
，
所以V球=
·π·（
）3=4
π。
2.棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求其外接球的表面积。
【解析】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长
为x，则a=
x，由题意2R=
所以R=
a，所以S球=4πR2=
a2π。
3.三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长分别为2a，a，a，求其外接球的表面积和体积。
【解析】以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发
的三条棱，将三棱锥补成长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其球的直径等于长方体的体对角线长，故2R=
R=
a，所以S球=4πR2=6a2π，
V球=
谢
谢