沪教版（上海）高一数学上册 3.4 函数的基本性质_1 教案
文档属性
| 名称 | 沪教版（上海）高一数学上册 3.4 函数的基本性质_1 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 67.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-10 20:55:01 | ||
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文档简介
函数的基本性质
【教学目标】
1．掌握偶函数与奇函数的概念，学会判断函数的奇偶性；
2．帮助学生掌握由“具体到抽象”、“数形结合”的思维方法；
3．在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣；
4．理解函数最大、最小值的概念，掌握几种类型的函数最值的求法；
5．学会“转化”的思维方法；
6．让学生懂得数学既是从现实原型中抽象出来的，又随着数学本身的发展而逐步得到完善的，并树立严格定义的思维。
【教学重点】
1．偶函数与奇函数的概念，函数奇偶性的判断。
2．理解函数最大、最小值的概念，求基本函数的最值。
【教学难点】
1．偶函数与奇函数图像性质的证明，简单复合函数奇偶性的判断。
2．通过转化思想，把复杂函数转化成熟悉的基本函数，再求最值。
【教学过程】
（一）知识点一、函数单调性的证明
步骤：
1．取值：设为该区间任意的两个值，且。
2．作差变形：f(X1)-f(X2)，变形。
3．定号：确定上述差值的正负；当正负不确定时，可考虑分类讨论。
4．判断：做出结论。
注意点：
（1）f(X1)-f(X2)变形计算时，尽量分解成因式形式，方便作差计算；
（2）若要证明f(x)在上不是单调函数时，只要举出反例即可。
延伸：导数与单调性：
例题一、证明函数在上是减函数。
证明：设，则
已知，则
即。即在上是减函数。
扩展：可以用同样的方法证明在上和分别是减函数。但根据的图像可以看到函数在上并不是单调递减的。今后，遇到形如的函数可以类似考虑。
（二）知识点二：
知识点利用函数的单调性求最值
对于单调函数，最大值或最小值出现在定义域（区间）的边缘；
对于非单调函数，需借助图像求解；
分段函数的最值先需分段讨论，再下结论
考查：最值是高考的必考点，熟练掌握二次函数求最值。
例题二、已知函数当时，求函数的最小值
（练习4）
（三）知识点三、函数的奇偶性
1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件；
2．是奇函数；
3．是偶函数
；
4．奇函数在原点有定义，则；
5．在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性。
6．若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性。
注意点：①首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称；若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。
例题三、讨论下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝(x＋1)；
（2）f(x)＝
（练习4、5）
（四）知识点四、函数的周期性
周期性的定义：对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期
设m为非零常数，下列任意一条件恒成立，则f(x)是周期函数，2m是它的一个周期。
考查：选择题与填空题中周期函数的判断与求值。
例题四、若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）＝1，
f（2）＝2，则f（3）－f（4）＝(
)
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析：由于函数
f(x)的周期为5，所以f（3）－f（4）＝f(－2)－f(－1)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f（2）＋f（1）＝－2＋1＝－1．答案：A
（五）知识点五、图像的变换
1．平移：
（1），———左“+”右“-”；
（2）———上“+”下“-”；
2．伸缩：
（1），（———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；
（2），（———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；
3．对称：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
一般地：如函数y
=
f
(x)对定义域中的任意x的值，都满足f
(a+mx)=f(bmx)，则函数y=f(x)的图像关于直线对称。
考查：此点不作特殊考查，但有利于便捷解题，培养开阔数学思维。
例题五、把函数的反函数的图像向右平移2个单位，再作以原点为中心的对称图形，则新图形的函数表达式是（
）
（六）课堂练习（一）
1．如果函数在上是增函数，对于任意的，下列结论中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．定义在上的函数对任意两个不等的实数，总有成立，则必有（
）
A．函数是先增后减函数
B．函数是先减后增函数
C．在上是增函数
D．在上是减函数
3．已知函数是区间上的减函数，那么与的
大小关系为___________。
4．函数f(x)＝x2＋1，x∈(－1，3]的奇偶性为________。
5．求证在区间上是单调减函数。
（七）课后练习（二）
1．设奇函数f(x)的定义域为[-5，5]。若当x∈[0，5]时，f(x)的图像如右图，则不等式的解是_______________。
2．定义域为上的函数f(x)是奇函数，则a=____________
。
3．判断函数的奇偶性。
4．求函数的最大值
5．做出函数的图像，并利用图像回答下列问题：
（1）函数在R上的单调区间；
（2）函数在[0，4]上的值域。
4
/
5
【教学目标】
1．掌握偶函数与奇函数的概念，学会判断函数的奇偶性；
2．帮助学生掌握由“具体到抽象”、“数形结合”的思维方法；
3．在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣；
4．理解函数最大、最小值的概念，掌握几种类型的函数最值的求法；
5．学会“转化”的思维方法；
6．让学生懂得数学既是从现实原型中抽象出来的，又随着数学本身的发展而逐步得到完善的，并树立严格定义的思维。
【教学重点】
1．偶函数与奇函数的概念，函数奇偶性的判断。
2．理解函数最大、最小值的概念，求基本函数的最值。
【教学难点】
1．偶函数与奇函数图像性质的证明，简单复合函数奇偶性的判断。
2．通过转化思想，把复杂函数转化成熟悉的基本函数，再求最值。
【教学过程】
（一）知识点一、函数单调性的证明
步骤：
1．取值：设为该区间任意的两个值，且。
2．作差变形：f(X1)-f(X2)，变形。
3．定号：确定上述差值的正负；当正负不确定时，可考虑分类讨论。
4．判断：做出结论。
注意点：
（1）f(X1)-f(X2)变形计算时，尽量分解成因式形式，方便作差计算；
（2）若要证明f(x)在上不是单调函数时，只要举出反例即可。
延伸：导数与单调性：
例题一、证明函数在上是减函数。
证明：设，则
已知，则
即。即在上是减函数。
扩展：可以用同样的方法证明在上和分别是减函数。但根据的图像可以看到函数在上并不是单调递减的。今后，遇到形如的函数可以类似考虑。
（二）知识点二：
知识点利用函数的单调性求最值
对于单调函数，最大值或最小值出现在定义域（区间）的边缘；
对于非单调函数，需借助图像求解；
分段函数的最值先需分段讨论，再下结论
考查：最值是高考的必考点，熟练掌握二次函数求最值。
例题二、已知函数当时，求函数的最小值
（练习4）
（三）知识点三、函数的奇偶性
1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件；
2．是奇函数；
3．是偶函数
；
4．奇函数在原点有定义，则；
5．在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性。
6．若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性。
注意点：①首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称；若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。
例题三、讨论下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝(x＋1)；
（2）f(x)＝
（练习4、5）
（四）知识点四、函数的周期性
周期性的定义：对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期
设m为非零常数，下列任意一条件恒成立，则f(x)是周期函数，2m是它的一个周期。
考查：选择题与填空题中周期函数的判断与求值。
例题四、若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）＝1，
f（2）＝2，则f（3）－f（4）＝(
)
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析：由于函数
f(x)的周期为5，所以f（3）－f（4）＝f(－2)－f(－1)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f（2）＋f（1）＝－2＋1＝－1．答案：A
（五）知识点五、图像的变换
1．平移：
（1），———左“+”右“-”；
（2）———上“+”下“-”；
2．伸缩：
（1），（———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；
（2），（———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；
3．对称：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
一般地：如函数y
=
f
(x)对定义域中的任意x的值，都满足f
(a+mx)=f(bmx)，则函数y=f(x)的图像关于直线对称。
考查：此点不作特殊考查，但有利于便捷解题，培养开阔数学思维。
例题五、把函数的反函数的图像向右平移2个单位，再作以原点为中心的对称图形，则新图形的函数表达式是（
）
（六）课堂练习（一）
1．如果函数在上是增函数，对于任意的，下列结论中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．定义在上的函数对任意两个不等的实数，总有成立，则必有（
）
A．函数是先增后减函数
B．函数是先减后增函数
C．在上是增函数
D．在上是减函数
3．已知函数是区间上的减函数，那么与的
大小关系为___________。
4．函数f(x)＝x2＋1，x∈(－1，3]的奇偶性为________。
5．求证在区间上是单调减函数。
（七）课后练习（二）
1．设奇函数f(x)的定义域为[-5，5]。若当x∈[0，5]时，f(x)的图像如右图，则不等式的解是_______________。
2．定义域为上的函数f(x)是奇函数，则a=____________
。
3．判断函数的奇偶性。
4．求函数的最大值
5．做出函数的图像，并利用图像回答下列问题：
（1）函数在R上的单调区间；
（2）函数在[0，4]上的值域。
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