第2课时 二次根式的化简
1．掌握积的算术平方根的性质，并会根据性质把二次根式化简；(重点)
2．理解最简二次根式的概念，并会把二次根式化为最简二次根式．(重点，难点)
一、情境导入
计算：
(1)，×；
(2)，×.
观察计算结果，上述每组式子计算结果有什么关系？由此你能猜想什么结论成立？
二、合作探究
探究点一：积的算术平方根的性质
【类型一】
利用积的算术平方根的性质进行二次根式计算或化简
化简：
(1)； (2)；
(3)(a≥0，b≥0)．
解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．
解：(1)＝×＝14×0.5＝7；
(2)＝＝×＝×＝；
(3)＝··＝15a3b.
方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．
【类型二】
利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围
若＝a成立，则a的取值范围是( )
A．a≥0
B．a＞0
C．a≥1
D．0≤a≤1
解析：＝＝·＝|a|·，又＝a，所以解得0≤a≤1，故选D.
方法总结：利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围时，根据积的算术平方根的性质得出的每一个因式(包括被开方数)都是非负数，再列不等式(组)求解．
【类型三】
逆用积的算术平方根的性质比较大小
比较大小：3与5.
解析：把根号外的因式移到根号内，比较两个被开方数的大小．
解：∵3＝＝，5＝＝，
∵＞，∴3＜5.
方法总结：比较两个二次根式的大小，可以逆用积的算术平方根的性质，把根号外的因式移到根号内，直接比较两个被开方数的大小，对于两个正数，被开方数大的数较大．
探究点二：最简二次根式
【类型一】
最简二次根式的判定
下列二次根式中，最简二次根式是( )
A.
B.
C.
D.
解析：A选项中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项中含有分母，不是最简二次根式；D选项中被开方数用提公因式法因式分解后得：a2＋a2b＝a2(1＋b)含能开得尽方的因数a2，不是最简二次根式；故选B.
方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【类型二】
二次根式的化简
把下列各式化成最简二次根式．
(1)；(2)；(3)；(4).
解析：(1)先将500分解质因数，再根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因数100移到根号外；(2)根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因式a2b2移到根号外；(3)把被开方数的分子、分母同时乘以3，把分母化为一个完全平方数，再把能开得尽方的部分移到根号外；(4)把被开方数的分子、分母同时乘以3a，把分母化为一个数的平方，再把分母移到根号外．
解：(1)＝＝10；
(2)＝＝|a|b；
(3)＝＝；
(4)＝＝.
方法总结：把二次根式化成最简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到根号外，与此同时，分子中能开方的也要移到根号外．
三、板书设计
1．积的算术平方根的性质
2．最简二次根式
通过积的算术平方根与算术平方根的积的运算引入积的算术平方根的性质，让学生归纳总结出结论，并运用于化简．对于被开方数含有分母的二次根式化为最简二次根式是本节课的难点，引导学生根据分式的基本性质把分母化为一个数或式的平方，并让学生加强训练．5．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
1．了解二次根式的定义；
2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；(重点)
3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点)
一、情境导入
前面我们学方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作，那么形如的式子有哪些性质？对于中a的取值有什么要求？
二、合作探究
探究点一：二次根式的定义
下列各式中：①，②，③，④，⑤，⑥，一定是二次根式的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：根据二次根式的定义判断.的根指数是3，不是二次根式；的被开方数为负数，不是二次根式；的被开方数可能是负数，可能不是二次根式．一定是二次根式的有①③④，共3个，故选C.
方法总结：根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如；②被开方数为非负数．
探究点二：二次根式在实数范围内有意义的条件
x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．
(1)；(2)；(3)；(4).
解析：(1)要使有意义，必须使x＋2≥0；(2)要使有意义，必须使x－1≥0，且x－2≠0；(3)要使有意义，必须使x2＋1≥0，显然x为任何实数；(4)要使有意义，必须使－x2≥0，这时x＝0.
解：(1)x＋2≥0，所以x≥－2；
(2)所以所以x≥1且x≠2；
(3)x2＋1≥0，所以x为全体实数；
(4)－x2≥0，所以x＝0.
方法总结：要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的，分母不等于零；③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零．
探究点三：二次根式的性质
【类型一】
利用()2＝a(a≥0)进行计算
计算：(1)()2；(2)(2)2；(3)(－3)2.
解析：利用()2＝a(a≥0)及(ab)n＝anbn进行计算．
解：(1)()2＝；
(2)(2)2＝4×()2＝4×3＝12；
(3)(－3)2＝(－3)2×()2＝9×＝6.
方法总结：利用()2＝a(a≥0)计算时，幂的运算法则仍然适用．
【类型二】
二次根式中隐含条件a≥0的应用
已知y＝－＋5，则＝________．
解析：由已知条件y＝－＋5可知与都有意义，所以存在隐含条件故x＝2.把x＝2代入y＝－＋5，求得y＝5，所以＝.
方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式)的非负性”，它往往是解答问题的突破口．
【类型三】
利用＝|a|计算
计算：
(1)； (2)； (3)－.
解析：利用＝|a|进行计算．
解：(1)＝2；(2)＝|－|＝；(3)－＝－|－π|＝－π.
方法总结：＝|a|的实质是求a2的算术平方根，其结果一定是非负数．
【类型四】
利用＝|a|化简
如图所示为a，b在数轴上的位置，化简2－＋.
解析：由a，b在数轴上的位置确定a＜0，a－b＜0，a＋b＜0.再根据＝|a|进行化简．
解：由数轴可知－2＜a＜－1，0＜b＜1，
则a－b＜0，a＋b＜0.
原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－2a＋a－b－(a＋b)＝－2a－2b.
方法总结：利用＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．
三、板书设计
二次根式
本节课内容是在我们已学过的平方根、算术平方根的知识基础上，进一步引入二次根式的概念与性质．教学过程中，把学生当作主体，鼓励学生积极参与，并让学生探究二次根式在实数范围内有意义的条件．引导学生总结、归纳，得出二次根式的两条重要性质．
