5．2 二次根式的乘法和除法
第1课时 二次根式的乘法
1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)
2．会进行二次根式的乘法运算．(重点，难点)
一、情境导入
小颖家有一块长方形菜地，长m，宽m，那么这个长方形菜地的面积是多少？
二、合作探究
探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件
式子·＝成立的条件是( )
A．x≤2
B．x≥－1
C．－1≤x≤2
D．－1＜x＜2
解析：根据题意得解得－1≤x≤2，故选C.
方法总结：运用二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．
探究点二：二次根式的乘法
【类型一】
二次根式的乘法运算
计算：
(1)×；
(2)9×(－)；
(3)·2·(－)；
(4)2a·(－)·(a≥0，b≥0)．
解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法运算法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．
解：(1)原式＝＝；
(2)原式＝－(9×)＝－＝－27；
(3)原式＝－(2×)＝－＝－；
(4)原式＝－2a×＝－16a3b.
方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．
【类型二】
二次根式的乘法的应用
小明的爸爸做了一个长为cm，宽为cm的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径．
解析：根据矩形的面积等于“长×宽”、圆的面积等于“π×半径的平方”进行计算．
解：设圆的半径为rcm.
因为矩形木板的面积为×＝168π(cm)2.
所以πr2＝168π，r＝2(cm)(r＝－2舍去)．
方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．
三、板书设计
二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)
在学习了积的算术平方根的基础上，这一节课学习了二次根式的乘法．这两个性质法则是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算．第2课时 二次根式的除法
1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点)
2．掌握二次根式的除法法则并会运用进行计算．(重点，难点)
一、情境导入
一个长方形的面积为，长为，那么这个长方形的宽是多少？
二、合作探究
探究点一：商的算术平方根的性质
【类型一】
利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围
若＝，则a的取值范围是( )
A．a＜2
B．a≤2
C．0≤a＜2
D．a≥0
解析：根据题意得解得0≤a＜2，故选C.
方法总结：运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．
【类型二】
利用商的算术平方根的性质化简二次根式
化简：
(1)；(2)(a＞0，b＞0，c＞0)．
解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．
解：(1)＝＝＝；
(2)＝＝.
方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．
探究点二：二次根式的除法
【类型一】
二次根式的除法运算
计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)÷(－)(a＞0，b>0)．
解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．
解：(1)＝＝＝；
(2)＝＝＝；
(3)＝＝＝；
(4)÷(－)
＝×(－)＝－＝－.
方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号．②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式．③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法．④最后结果要化为最简二次根式．
【类型二】
二次根式的乘除混合运算
计算：
(1)3×÷(－5)；
(2)÷×12.
解析：把系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后结果化为最简二次根式．
解：(1)3×÷(－5)＝(－3××)＝－＝－＝－×＝－；
(2)÷×12＝(÷×12)＝(××12)＝3＝1.
方法总结：二次根式的乘除混合运算，与有理数的乘除混合运算一样，按从左到右的顺序进行，也可以先统一为乘法运算，再进行运算．
【类型三】
二次根式除法的实际应用
已知某长方体的体积为30cm3，长为cm，宽为cm，求长方体的高．
解析：因为长方体的体积＝长×宽×高，所以高＝长方体的体积÷(长×宽)，代入计算即可．
解：长方体的高为：
30÷(×)＝30＝30＝(cm)．
方法总结：本题也可以设高为x，根据长方体体积公式建立方程求解．
三、板书设计
1．商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)
2．二次根式的除法：＝(a＞0，b≥0)
本节课的学习中要注意拓展知识间的相互联系：商的算术平方根的性质与二次根式的除法的联系，二次根式的乘法与二次根式的除法的联系，类比单项式的乘除法运算进行二次根式的乘除法运算，让学生顺利实现知识的迁移．
