5．3 二次根式的加法和减法
第1课时 二次根式的加减运算
1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法法则；
2．掌握二次根式的加减运算．(重点，难点)
一、情境导入
计算：
(1)2x－5x； (2)3a2－a2＋2a2.
上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x换成，a2换成，这时上述两小题就成为如下题目：
计算：
(1)2－5； (2)3－＋2.
这时怎样计算呢？
二、合作探究
探究点一：同类二次根式
下列二次根式中与是同类二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选项A中，＝2与被开方数不同，故不是同类二次根式；选项B中，＝与被开方数不同，故不是同类二次根式；选项C中，＝与被开方数不同，故不是同类二次根式；选项D中，＝3与被开方数相同，故是同类二次根式．故选D.
方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．
探究点二：二次根式的加减
【类型一】
二次根式的加法或减法
(1)＋； (2)＋；
(3)4－3； (4)18－.
解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．
解：(1)原式＝2＋4＝(2＋4)＝6；
(2)原式＝＋＝(＋)＝；
(3)原式＝16－15＝(16－15)＝；
(4)原式＝－×4＝3－6＝－3.
方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．
【类型二】
二次根式的加减混合运算
计算：
(1)－－；
(2)－3＋3x；
(3)3－＋2－；
(4)－2－(－)．
解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．
解：(1)原式＝2－－＝0；
(2)原式＝3－＋3＝5；
(3)原式＝－3＋4－＝；
(4)原式＝－－＋5＝＋.
方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．
【类型三】
二次根式的加减的实际应用
一个三角形的周长是(2＋3)cm，其中两边长分别是(＋)cm，(3－2)cm，求第三边长．
解析：第三边长等于(2＋3)－(＋)－(3－2)，再去括号，合并同类二次根式．
解：第三边长是：(2＋3)－(＋)－(3－2)＝2＋3－－－3＋2＝(4－2)(cm)．
方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．
三、板书设计
二次根式的加减：合并同类二次根式
通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质．第2课时 二次根式的混合运算
1．了解二次根式的混合运算顺序；
2．会进行二次根式的混合运算．(重点，难点)
一、情境导入
计算：
(1)x(x＋1)；
(2)(3x2y2－2x2y＋xy2)÷xy；
(3)(2x＋3y)(2x－3y)；
(4)(x－y)2＋(x－2y)2.
在上述运算中，如果把x，y换成二次根式，以上运算怎样进行？
二、合作探究
探究点一：二次根式的混合运算
【类型一】
二次根式的混合运算
计算：
(1)÷－×＋；
(2)÷×－.
解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简．
解：(1)原式＝－＋＝4－＋2＝4＋；
(2)÷×－＝×－5＝×－5＝×－5＝－5＝－.
方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．
【类型二】
运用乘法公式进行二次根式的混合运算
计算：
(1)(＋)(－)；
(2)(3－2)2－(3＋2)2.
解析：(1)用平方差公式计算；(2)先分别用完全平方公式计算，最后再合并．
解：(1)(＋)(－)＝()2－()2＝5－3＝2；
(2)(3－2)2－(3＋2)2＝18－12＋12－(18＋12＋12)＝－24.
方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．
【类型三】
二次根式的化简求值
先化简，再求值：＋，其中x＝＋1，y＝－1.
解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．
解：原式＝＋＝＋＝.
∵x＝＋1，y＝－1，
∴x＋y＝2，xy＝3－1＝2，
∴原式＝＝.
方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．
【类型四】
二次根式混合运算的实际应用
一个三角形的底为6＋2，这边上的高为3－，求这个三角形的面积．
解析：根据三角形的面积公式进行计算．
解：这个三角形的面积为：×(6＋2)×(3－)＝×2×(3＋)×(3－)＝(3)2－()2＝27－2＝25.
方法总结：列出解决实际问题的关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．
探究点二：二次根式的分母有理化
【类型一】
分母有理化
计算：
(1)；
(2)＋.
解析：(1)把分子、分母同乘以，再约分计算；(2)把的分子、分母同乘以－，把的分子、分母同乘以＋，再运用公式计算．
解：(1)＝＝＝＋；
(2)＋＝＋＝＋＝5－2＋5＋2＝10.
方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以一项的二次根式，使得分母能写成×的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是＋，则分子、分母同乘以－.
【类型二】
分母有理化的逆用
比较－与－的大小
解析：把－的分母看作“1”，分子、分母同乘以＋；把－的分母看作“1”，分子、分母同乘以＋，再根据两个正分数比较大小，分母大的反而小得到它们的大小关系．
解：－＝＝，
－＝＝，
∵＋＞＋＞0，
方法总结：两个正分数比较大小时可把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．
三、板书设计
1．二次根式的混合运算
2．分母有理化
二次根式的混合运算可类比整式的混合运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯．
