山西省运城市平陆高级中学2021-2022学年高二上学期数学周考（一）（Word版含答案）

山西省运城市平陆中学2021-2022学年高二上学期数学周考（一）
考试时间：120分钟
一、单选题(共50分，每题各5分)
1．如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量，，且，则的值为(
)
A．-4
B．-2
C．2
D．4
3．已知向量，，，若，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．6
4．已知空间直角坐标系中，点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，则点为（
）
A．
B．6
C．4
D．
5.如图，在三棱柱中，与相交于点，则线段的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
6.空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（
）
A．平行
B．重合
C．必定相交
D．必定垂直
7.如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．已知向量是空间向量的一组基底，向量是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（
）
A．
B．
C．
D．
10.已知点，，则，两点的距离的最小值为
A．
B．
C．
D．
二、多选题(共10分，每题各5分)
11．已知，且∥，则（
）
A．x＝
B．x＝
C．y＝－
D．y＝－4
12．点P是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的值可能是（
）
A．－3
B．
C．－2
D．－1
三、填空题(共30分，每题各5分)
13．已知点，，三点共线，则______．
14．已知是空间的一个基底，若，则________.
15.如图，已知平面平面，，，，，，，，且，，，则_________________.
16．如图，正四面体的棱长为，的中心为，过点的平面与棱所在的直线分别交于，则____________．
17．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为______________.?
18．已知空间向量，，，，，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是________．
19．已知空间向量，，两两夹角均为，且．若存在非零实数，，使得，，且，则________，________．
20．已知球是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，为球的一条直径，为正八面体表面上的一个动点，则的最小值是_______，最大值是________.
四、解答题(共50分)
21．(本题12分)已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设a=，b=.
(1)设|c|=3，c//，求c.
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k.
22．(本题12分)已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）求的面积；
（2）求中边上的高．
23．(本题12分)如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是，，的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
24．(本题14分)如图，长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，为的中点.
（1）求证：；
（2）求的长.
（3）求与所成角的余弦值；
试卷第2页，总2页
试卷第1页，总1页
参考答案
1．B
【分析】
由向量线性运算的几何含义知，，，，即可得与的线性关系式.
【详解】
四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，
∴===+=.
故选：B
2．A
【分析】
由空间向量共线的充要条件建立关系式求解得出.
【详解】
向量，且，所以存在，使得，则，解得，所以．
故选：A
3．C
【分析】
根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.
【详解】
因为，，，
所以，
又，所以，解得.
故选：C.
4．D
【分析】
利用对称性求出点、，再利用两点间的距离公式即可求解.
【详解】
点关于平面对称点为，
点关于轴对称点为点为，
所以，
故选：D
5．A
【分析】
依题意得，，，，，进而可得结果.
【详解】
依题意得，，，.
所以
故.
故选：A.
6．D
【分析】
结合向量的加法运算求出，然后验证，所以，即可得出结论.
【详解】
，由因为，所以，即，所以，
又因为，所以，
故选：D.
7．B
【分析】
取的中点，连结，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【详解】
取的中点，连结，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
又，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
是等腰直角三角形，，为直角三角形，
，0，，，0，，，0，，
，，，
，0，，，，，
，．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
8．B
【分析】
设向量在基底下的坐标为，则由已知可得，从而可求出的值
【详解】
设向量在基底下的坐标为，
则，
所以解得
故在基底下的坐标为.
故选：B
9．B
【分析】
首先求出向量在向量上的投影，从而求出投影向量，
【详解】
解：因为，所以，
所以向量在向量上的投影为
设向量在向量上的投影向量为，则且，
所以，所以，解得
所以
故选：B
10．C
【分析】
由两点之间的距离公式求得AB之间的距离用t表示出来，建立关于t的函数，转化为求函数的最小值.
【详解】
因为点，
所以
有二次函数易知，当时，取得最小值为
的最小值为
故选：C.
11．BD
【分析】
先由已知条件求出和的坐标，再由∥，可得3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，从而可求出的值
【详解】
解：因为
所以，，
因为
∥，
所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝，y＝－4．
故选：BD
12．CD
【分析】
如图建系，可得点A、的坐标，设，可得的坐标，进而可得的表达式，根据x，y的范围，即可求得答案.
【详解】
如图建系：
因为P在底面A1B1C1D1内，所以设，
又，
所以，
所以，
因为，
所以的最小值为-2，最大值为0，
所以的值可能是-2，-1.
故选：CD
13．1
【分析】
因为，，三点共线，所以可设，得出，的坐标，对应相等，即可得出的值.
【详解】
因为，，三点共线，所以可设
因为，
所以解得所以
故答案为：1
14．0
【分析】
根据空间向量基本定理确定各系数均为0．
【详解】
∵是空间的一个基底，∴，，为不共面向量.
又∵，∴，∴.
故答案为：0．
15．13
【分析】
根据面面垂直得线面垂直，进而得,再根据向量模的平方求得结果.
【详解】
因为平面平面，，,，所以，
因为，所以，
故答案为：13
16．
【分析
根据，利用空间共面定理即可构造方程求得结果.
【详解】
为的中心，，
设，，，，
四点共面，，即，
.
故答案为：.
17．
【分析】
以为原点，建立空间直角坐标系，分别表示出点坐标，再利用向量垂直得，又，结合的代换关系和二次函数性质即可求解
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),E(0,2,1),G(1,0,2),设F(x,0,0),D(0,y,0)，
则,，
由于GD⊥EF，所以，
所以，
故，
所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．
故答案为：
18．
【分析】
根据向量与的夹角为钝角，则由求解.
【详解】
因为向量与的夹角为钝角，
所以，
即，
则，
解得．
故答案为：
19．
【分析】
设，可得，代入条件运算化简，联立方程求解即可.
【详解】
设，
则，
由，可得,
化简得①，
,
化简可得②
联立①②
，解得，
故答案为：
20．0
【分析】
根据题意作出图象，将转化为以点出发的向量，进而可得，根据的取值范围即可求出.
【详解】
如图所示，
设已知的正八面体为，易知平面于球心，且为正方形的中心，设球与正四棱锥的侧面相切于点为的中点，连接，则，，
由，得，即正八面体的内切球的半径为，
所以
，
因为为正八面体表面上的任意一点，所以，所以，
所以的最小值是0，最大值是.
故答案为：0；.
21．（1）；（2）k=2或
【分析】
（1）先求得的坐标，然后利用两个向量平行的性质，得到含有未知数的的坐标，利用列方程，解方程求得未知数，由此求得.（2）先求得的坐标，然后利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】
(1)因为且c//，
所以设
得,
解得
即
(2)因为,
所以
又因为所以
即
解得k=2或
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据空间中三个点的坐标,可求得与,进而可得和.由向量数量积的定义即可求得.根据同角三角函数关系求得,再根据三角形面积公式即可求解.
（2）根据三角形面积公式,即可求得边上的高.
【详解】
（1）由已知得,
∴,
.
∴
（2）设边上的高为
则.
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据中位线的性质证明，由线面平行的判定定理即可求证；
（2）由已知条件可得结合即可证明面，再证明可得面，由面面垂直的判定定理即可求证.
【详解】
（1）因为，分别是，的中点，
所以，
因为面，面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，所以，
因为，，所以面，
因为，分别是，的中点，
所以，所以面，
因为面，所以平面平面.
24．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）如图建立空间直角坐标系，证明即可；
（2）求出的坐标，由模长公式求模长即可求解；
（3）求出和的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.
【详解】
（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为，，
所以，
所以即.
（2），
所以，
所以的长为.
（3）由（1）知，，
，
，，
设与所成角，则
，
故与所成角的余弦值为.
答案第1页，总2页
答案第1页，总2页