2012新课标同步导学高一数学练习：1.9（北师大版必修4）

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin(100πt＋)，则当t＝ s时，电流强度I为(　　)
A．5 A　　　　　　　　　　 B．2.5 A
C．2 A D．－5 A
解析：　当t＝ s时，I＝5sin(100π×＋)＝5cos＝2.5 A.
答案：　B
2．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin(2t＋)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　)
A.， B．2，
C.，π D．2，π
解析：　t＝0时θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故频率为.
答案：　A
3．已知简谐运动f(x)＝2sin(|φ|<)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：　T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin φ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
答案：　A
4．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
解析：　令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，
则l＝θ，sin＝，
∴d＝2sin＝2sin，
即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图象为C.
答案：　C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，(其中t∈[0,60])．
解析：　如图，秒针每秒钟走＝(cm)，
∴L＝t(cm)，∴2θ＝＝，
∴θ＝，∴dAB＝5×sin×2＝10sin.
答案：　10sin
6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
解析：　由条件可知∴B＝7，A＝2.
又T＝2(7－3)＝8，∴ω＝，令3×＋φ＝，
∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin(x－)＋7.
答案：　f(x)＝2sin(x－)＋7
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，求这个振子振动的函数解析式．
解析：　设函数解析式为y＝Asin(ωt＋φ)，
则A＝2，由图象可知T＝2×(0.5－0.1)＝，∴ω＝＝.
∴×0.1＋φ＝.∴φ＝.
∴函数的解析式为y＝2sin(t＋)．
8．一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．已知绳子的长度为l，求：
(1)P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；
(2)点P的运动周期和频率；
(3)如果ω＝ rad/s，l＝2，φ＝，试求y的最值；
(4)在(3)中，试求小球到达x轴的正半轴所需的时间．
解析：　(1)y＝lsin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)．
(2)由解析式得，周期T＝，频率f＝＝.
(3)将ω＝ rad/s，l＝2，φ＝代入解析式，
得到y＝2sin，t∈[0，＋∞)．
最小正周期T＝＝＝12.
当t＝12k＋1.5，k∈N时，ymax＝2，
当t＝12k＋7.5，k∈N时，ymin＝－2.
(4)设小球经过时间t后到达x轴正半轴，
令t＋＝2π，得t＝10.5，
∴当t∈[0，＋∞)时，t＝12k＋10.5，k∈N，
∴小球到达x轴正半轴所需要的时间为10.5＋12k，k∈N.
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9．(10分)在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4∶00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0∶00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17∶00该港口水深约为多少？(保留一位小数)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m
解析：　(1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin(t＋φ)＋12.2；
又因为t＝4时，d＝16，所以sin(＋φ)＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin(t－)＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin(－)＋12.2
＝3.8sin ＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin(t－)＋12.2<10.3，
有sin(t－)<－，
因此2kπ＋所以2kπ＋所以12k＋8令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)，
故这一天共有8小时水深低于10.3 m.
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