2012新课标同步导学高一数学练习：3 章末质量检测（北师大版必修4）

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．各选项中函数式能同时成立的是(　　)
A．sin θ＝cos θ＝　　　　　 B．sin θ＝0.35，cos θ＝0.65
C．cos θ＝0，sin θ＝－1 D．sin θ＝cos θ＝1
解析：　若sin θ＝cos θ＝，则sin2 θ＋cos2 θ＝≠1，排除A；同理，可排除B、D.
答案：　C
2．sin 75°cos 30°－cos 75°sin 30°的值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：　sin 75°cos 30°－cos 75°sin 30°＝sin(75°－30°)＝sin 45°＝.
答案：　C
3．计算1－2sin222.5°的结果等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：　1－2sin222.5°＝cos 45°＝.
答案：　B
4．若sin α＝，cos α＝，则k的值为(　　)
A．－7或1 B．－7
C．1 D．－7或－1
解析：　∵2＋2＝1，
∴(k＋1)2＋(k－1)2＝(k－3)2，∴k2＋6k－7＝0，
∴k＝－7或k＝1，故选A.
答案：　A
5．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D.
解析：　tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝－.
答案：　B
6．函数y＝sin2x＋cos 2x是(　　)
A．周期为π的偶函数 B．周期为π的奇函数
C．周期为2π的增函数 D．周期为2π的减函数
解析：　y＝sin2x＋cos 2x＝＋cos 2x＝＋，
故选A.
答案：　A
7．已知sin α＋cos α＝，0<α<，则α等于 (　　)
A. B.
C. D.
解析：　∵sin α＋cos α＝，∴1＋sin 2α＝.
∴sin 2α＝.∵0<α<，
∴0<2α<.∴2α＝，α＝.∴故选B.
答案：　B
8．tan 19°＋tan 41°＋tan 19°tan 41°的值为(　　)
A．1 B.
C．－ D.
解析：　tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°·tan 41°)
＝－tan 19°tan41°.
∴原式＝－tan 19°tan 41°＋tan 19°tan 41°＝.
答案：　D
9．已知sin＋cos＝，则cos 2θ的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：　将sin＋cos＝两边平方得，
1＋2sincos＝，
即1＋sin＝，cos 2θ＝－.故选C.
答案：　C
10．已知向量a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1,2sin α－1)，α∈，若a·b＝，则tan＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：　由题意，得cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝，
解得sin α＝，又α∈，
所以cos α＝－，tan α＝－，
则tan＝＝.
答案：　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．若sin －2cos ＝0，则tan θ＝________.
解析：　由sin －2cos ＝0得tan ＝2.
∴tanθ＝＝＝－.
答案：　－
12．已知tan α＝，tan β＝，且0<α<，π<β<，则α＋β＝________.
解析：　tan(α＋β)＝＝＝1，
∵0<α<，π<β<π，∴π<α＋β<2π.∴α＋β＝π.
答案：　π
13．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β＝________.
解析：　cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsinβ＝.②
①＋②，得cos αcos β＝；
②－①，得sin αcos β＝.
∴tan αtan β＝＝＝.
答案：　
14．sin x＋sin y＝a，cos x＋cos y＝a(a≠0)，则sin x＋cos x＝________.
解析：　sin y＝a－sin x，cos y＝a－cos x．两式平方相加，可得：2a(sin x＋cos x)＝2a2.由a≠0得sin x＋cos x＝a.
答案：　a
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知tan ＝，求的值．
解析：　tan ＝，tan α＝＝＝，
＝
＝＝
＝＝＝＝.
16．(12分)已知tan α＝－，cos β＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
解析：　(1)由cosβ＝，β∈(0，π)，得sin β＝，tan β＝2，
于是tan(α＋β)＝＝＝1.
(2)因为tanα＝－，α∈(0，π)，
所以sin α＝，cos α＝－，
f(x)＝(sin xcos α－cos xsin α)＋(cos xcos β－sin xsinβ)
＝－sin x－cos x＋cos x－sin x＝－sin x.
故f(x)的最大值为.
17．(12分)(2011·四川卷)已知函数f(x)＝sin＋
cos，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.
解析：　(1)∵f(x)＝sin＋sin
＝sin＋sin＝2sin.
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝，
cos βcos α－sin βsin α＝－，
两式相加得2cos βcos α＝0.
∵0<α<β≤，∴β＝.
∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.
18．(14分)已知f(x)＝sin x＋2sincos.
(1)若f(α)＝，α∈，求α的值；
(2)若sin ＝，x∈，求f(x)的值．
解析：　(1)f(x)＝sin x＋2sincos
＝sin x＋sin＝sin x＋cos x＝sin，
由f(α)＝，得sin＝.∴sn＝.
∵α∈，∴α＋∈.
∴α＋＝.α＝－.
(2)∵x∈，∴∈.
又sin ＝，∴cos ＝.
∴sin x＝2sin cos ＝，
cos x＝－＝－.
∴f(x)＝sin x＋cos x＝－＝.
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