2012新课标同步导学高一数学练习：模块质量评估（北师大版必修4）

模块质量评估(A)
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若α是第三象限的角，则α－是(　　)
A．第一象限的角　　　　 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
答案：　B
2．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：　sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°
＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°)
＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)
＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)
＝－cos(73°＋47°)
＝－cos120°＝.
答案：　B
3．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，则P点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B.
C. D．(8，－1)
解析：　设P(x，y)，则2＝，
∴2(x－3，y＋2)＝(－8,1)，∴x＝－1，y＝－.
答案：　B
4．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与－b垂直，则x的值为(　　)
A．－ B.
C. D．2
解析：　a＋xb＝(3＋2x,4－x)，－b＝(－2,1)，
由a＋xb与－b垂直得－2×(3＋2x)＋(4－x)＝0，
∴x＝－.
答案：　A
5．已知sin α＝，则cos(π－2α)＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：　由诱导公式，得cos(π－2α)＝－cos 2α.
∵cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，∴cos(π－2α)＝－.
答案：　B
6．(2011·湖南高考)已知函数f(x)＝sin x－cos x，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：　f(x)＝2sin，由f(x)＝2sin≥1，得2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故选A.
答案：　A
7．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)且a≠±b，那么a＋b与a－b的夹角为(　　)
A. B.
C. D．π
解析：　|a|＝|b|＝1，∴(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴夹角为.
答案：　C
8．下列函数中，周期为π，且在上单调递增的是(　　)
A．y＝tan|x| B．y＝|tanx|
C．y＝sin|x| D．y＝|cosx|
解析：　A，C不是周期函数，D在上单调递减，故选B.
答案：　B
9．已知a，b均为单位向量，且它们的夹角为45°，那么|a＋b|的值为(　　)
A. B.
C. D．4
解析：　∵|a＋b|＝＝
＝＝.
答案：　A
10．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＋＝0，若实数λ满足：＋＝λ，则λ的值为(　　)
A．2 B.
C．3 D．6
解析：　由＋P＋＝0知P为△ABC的重心，设BC中点为D，则＋＝2，＝，即2＝λ，∴λ＝3.
答案：　C
11．函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的最小值和最大值分别为(　　)
A．－3,1 B．－2,2
C．－3， D．－2，
解析：　f(x)＝1－2sin2x＋2sinx
＝－22＋，
∴sin x＝时，f(x)取最大值；sin x＝－1时，f(x)取最小值－3.
答案：　C
12．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
解析：　由图象可知A＝1，T＝－＝π，∴ω＝＝2.
∵图象过点，∴sin＝0，∴＋φ＝π.
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴y＝sin＝sin.
故将函数y＝sinx先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．
答案：　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
13．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
解析：　因为P点在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，故α为第二象限角．
答案：　二
14．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形面积是________．
解析：　扇形半径R＝＝6，∴S扇形＝lR＝18.
答案：　18
15．已知A＝2e1＋ke2，C＝e1＋3e2，C＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，则k＝________.
解析：　若A、B、D三点共线，则A∥B，设A＝λ.
∵B＝C－C＝e1－4e2，
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.
∴∴k＝－8.
答案：　－8
16．已知A、B是△ABC的两个内角，m＝cosi＋sinj，其中i，j为互相垂直的单位向量，若|m|＝，则tanAtanB的值为________．
解析：　|m|2＝cos2＋sin2＝＋·＝2，所以4cos(A－B)＝5cos(A＋B)，所以cos Acos B＝9sin Asin B，所以tan Atan B＝.
答案：　
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)若点(－4,3)是角α终边上一点，求的值．
解析：　原式＝＝＝.
又∵点(－4,3)是角α终边上一点，∴cosα＝－，
∴原式＝＝－.
18．(12分)已知|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为θ.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a－b与a垂直，求θ.
解析：　(1)∵a∥b，∴θ＝0°或180°，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝±.
(2)∵a－b与a垂直，
∴(a－b)·a＝0，
即|a|2＝a·b＝cosθ＝1，
∴cosθ＝，又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
19．(12分)已知A、B、C为△ABC的三个内角，a＝(sin B＋cos B，cos C)，b＝(sin C，sin B－cos B)．
(1)若a·b＝0，求角A；
(2)若a·b＝－，求sin 2A.
解析：　(1)由已知a·b＝0，得
(sin B＋cos B)sin C＋cos C(sin B－cos B)＝0，
化简得sin(B＋C)－cos(B＋C)＝0，
即sin A＋cos A＝0，tan A＝－1，
而A∈(0，π)，∴A＝π.
(2)a·b＝－，即sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－，
∴sin A＋cos A＝－①
平方得2sin Acos A＝－，∴sin 2A＝－.
20．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
解析：　(1)f＝2cos ＋sin2＝－1＋＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)
＝3cos2x－1，x∈R
因为cosx∈[－1,1]，所以，当cosx＝±1时f(x)取最大值2；当cosx＝0时，f(x)取最小值－1.
21．(12分)f(x)＝2sincos＋2cos2－.
(1)化简f(x)；
(2)若θ∈[0，π]，求θ，使f(x)成为偶函数；
(3)在(2)成立的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的集合．
解析：　(1)f(x)＝sin(2x＋θ)＋
＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2cos.或f(x)＝2sin
(2)要使f(x)为偶函数，须θ－＝kπ(k∈Z)
∴θ＝kπ＋，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(3)在(2)条件下，f(x)＝2cos2x，
∴由f(x)＝1，得2cos2x＝1，∴cos2x＝.
∵x∈[－π，π]，∴x＝±π或x＝±.
∴所求x的集合是.
22．(14分)已知向量m＝(sin ωx，－cos ωx)，n＝(ω>0)，函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递减区间．
解析：　(1)由题意得
f(x)＝m·n＝sin2ωx－cos ωxcos
＝sin2ωx＋cos ωxsin ωx
＝＋sin 2ωx
＝sin 2ωx－cos 2ωx＋
＝sin＋.
因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
所以＝π，解得ω＝1.
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝
f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝f，
即函数y＝g(x)的图象．
由(1)知f(x)＝sin＋，所以g(x)＝f＝sin＋＝sin＋.
令2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z)，
解得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)．
故函数y＝g(x)的单调递减区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．
模块质量评估(B)
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos 210°＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
解析：　cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
答案：　D
2．cos 255°cos15°的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：　cos 255°·cos 15°＝cos(180°＋75°)·cos 15°＝－cos 75°·cos 15°＝－sin 15°·cos 15°＝－sin 30°＝－.
答案：　B
3．设e是单位向量，＝2e，＝－2e，||＝2，则四边形ABCD一定是(　　)
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：　由已知得∥且||＝||＝||＝2，因此四边形ABCD一定为菱形，故选B.
答案：　B
4．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的射影为(　　)
A. B．－
C．4 D．－4
解析：　a在e方向的射影为|a|cosθ＝8·cos＝8×＝－4.
答案：　D
5．已知α∈，且sin(α＋β)·cos β－cos(α＋β)sin β＝－，则tan α的值是(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：　∵α∈，
∴由sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝－，
可得sinα＝－，
∴cosα＝－，∴tanα＝.
答案：　A
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
解析：　∵2＝16，∴||＝4.又|－|＝||＝4，
∴|＋|＝4.∵M为BC中点，∴＝(＋)，
∴||＝|＋|＝2.
答案：　C
7．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，且ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如右图所示，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
解析：　∵T＝4×2＝8，∴ω＝，
又×1＋φ＝，∴φ＝.
答案：　C
8．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2A＋C＝0，则O＝(　　)
A．2O－O B．－O＋2O
C.O－O D．－O＋O
解析：　由已知得2(O－O)＋(O－O)＝0，
解得O＝2O－O.
答案：　A
9．函数y＝sin2x－cos2x的图象可由函数y＝4sinxcosx的图象如何平移得到(　　)
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：　∵y＝sin2x－cos2x＝2sin，
∴y＝4sinxcosx＝2sin2x的图象向右平移个单位得
y＝2sin2＝2sin.
答案：　A
10．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝2a＋3b，d＝ka－b(k∈R)，且c⊥d，那么k的值为(　　)
A．－6 B．6
C．－ D.
解析：　a·b＝1×2×cos60°＝1，
∵c⊥d，∴c·d＝(2a＋3b)·(ka－b)＝2ka2－2a·b＋3ka·b－3b2＝2k－2＋3k－12＝0，
∴k＝.
答案：　D
11．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：　a·b＝4sin＋4cos α－
＝2sin α＋6cos α－
＝4sin－＝0，
∴sin＝.
∴sin＝－sin＝－.
答案：　B
12．(2011·全国新课标)设函数f(x)＝sin＋
cos，则(　　)
A．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称
B．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称
C．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称
解析：　因为y＝sin＋cos
＝sin＝cos 2x，
所以y＝cos 2x，在单调递减，对称轴为2x＝kπ，即x＝(k∈Z)．
答案：　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
13．设向量a＝的模为，则cos2α的值为________．
解析：　由已知得cos2α＋＝，
所以cos2α＝，cos2α＝2cos2α－1
＝－1＝－.
答案：　－
14．若α为锐角，sin＝，则cosα＝________.
解析：　由α是锐角，sin＝，得cos＝，
所以cosα＝cos＝－.
答案：　－
15．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为，则ω＝________.
解析：　fmax(x)＝2sin＝，∴ω＝，ω＝.
答案：　
16．比较大小：cos________cos.
解析：　cos＝cos＝cos π.
cos＝cos＝cos .
∵0<<π<π，
而y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos >cos π，即cos>cos.
答案：　>
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)用“五点法”画出y＝3＋2cos x(x∈[0,2π])内的图象．
解析：　(1)列表，如下表所示
x 0 π π 2π
y＝cos x 1 0 －1 0 1
y＝3＋2cosx 5 3 1 3 5
(2)描点，连线，如图所示：
即得所求图像．
18．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．
(1)求a·(a＋2b)的取值范围；
(2)若α－β＝，求|a＋2b|.
解析：　(1)a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1＋2(cos α·cosβ＋sin α·sin β)＝1＋2cos(α－β)，
∴－1≤a·(a＋2b)≤3.
(2)|a＋2b|＝＝
＝＝.
19．(12分)设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)已知f＝，求sin α的值．
解析：　(1)f(0)＝3sin
＝3sin ＝.
(2)∵T＝＝，∴ω＝4，
所以f(x)的解析式为：
f(x)＝3sin.
(3)由f＝得3sin＝，
即sin＝.
∴cos α＝，
∴sin α＝±
＝±＝±.
20．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，O·O＝O·O＝O·O.
(1)证明：O⊥B；
(2)若A(－2，－1)，B(0,3)，求C点的坐标；
(3)在(2)的条件下，求∠OAB的一个三角函数值．
解析：　(1)证明：∵O·O＝O·O，
∴O·(O－O)＝0，∴O·C＝0，
∴O⊥B.
(2)设C(x，y)，
∵O·O＝O·O＝O·O
∴－2x－y＝－3①
3y＝－3②
解由①②组成的方程组得，∴C(2，－1)．
(3)O＝(－2，－1)，O＝(0,3)，
∴A＝(2,1)，A＝O－O＝(2,4)，
∴A·A＝4＋4＝8，
cos∠OAB＝＝＝.
21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且·＝－.
(1)求cos 2θ的值；
(2)求sin(α＋β)的值．
解析：(1)因为·＝－，
所以sin2θ－cos2θ＝－，
即(1－cos2θ)－cos2θ＝－.所以cos2θ＝.
所以cos2θ＝2cos2θ－1＝.
(2)因为cos2θ＝.
所以sin2θ＝.所以点P，点Q.
又点P在角α的终边上，所以sin α＝，cos α＝.
同理sin β＝－，cosβ＝.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－.
22．(14分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值．
解析：(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx，
所以f(x)＝sin ωxcos ωx＋
＝sin2ωx＋cos2ωx＋
＝sin＋.
由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.
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