【人教九上数学学霸听课笔记】22.2 二次函数与一元二次方程 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
22.2　二次函数与一元二次方程
第二十二章
二次函数
22.2　二次函数与一元二次方程
预学浅梳理
探究与应用
随堂小检测
第二十二章　二次函数
1.二次函数与一元二次方程的关系：如果抛物线y＝ax2＋bx
＋c与x轴有公共点,那么公共点的________就是方程ax2＋bx
＋c＝0的根.
横坐标
2.抛物线与x轴的位置关系与对应的一元二次方程根的情况之间的关系：
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况
有两个公共点
有_____________实数根
只有一个公共点
有____________实数根
没有公共点
________实数根
两个不等的
两个相等的
没有
目标一　认识二次函数与一元二次方程的联系
问题1
如图22－2－1,以40
m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2.
图22－2－1
(1)小球的飞行高度能否达到15
m?如果能,需要多少飞行时间?
解：(1)能.令20t－5t2＝15,
t2－4t＋3＝0,
t1＝1,t2＝3.
当小球飞行1
s和3
s时,它的飞行高度为15
m.
(2)小球的飞行高度能否达到20
m?如果能,需要多少飞行时间?
解：(2)能.令20t－5t2＝20,
t2－4t＋4＝0,
t1＝t2＝2.
当小球飞行2
s时,它的飞行高度为20
m.
(3)小球的飞行高度能否达到20.5
m?为什么?
解：
(3)不能.理由：令20t－5t2＝20.5,
t2－4t＋4.1＝0.
因为(－4)2－4×4.1<0,所以方程无实数根.
这就是说,小球的飞行高度达不到20.5
m.
(4)小球从飞出到落地要用多少时间?
解：
(4)小球飞出时和落地时的高度都为0
m,
解方程0＝20t－5t2,
t2－4t＝0,
t1＝0,t2＝4.
当小球飞行0
s和4
s时,它的高度为0
m.
这表明小球从飞出到落地要用4
s.
归纳
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m,求自变量的值,可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m.反过来,解方程ax2＋bx＋c＝n,又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为n,求自变量x的函数值.
目标二　会用二次函数的图象求一元二次方程的根
问题2
如图22－2－2所示,下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数值是多少?由此,你能得出对应的一元二次方程的根吗?
(1)y＝x2＋x－2；
(2)y＝x2－6x＋9；
(3)y＝x2－x＋1.
图22－2－2
解：(1)抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是－2,1.当x取公共点的横坐标时,函数值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2,1.
(2)抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当x＝3时,函数值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3.
(3)抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.由此可知,方程x2－x＋1＝0没有实数根.
问题3
反过来,由一元二次方程的根的情况,可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系吗?
解：可以.
归纳
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的公共点与对应的方程ax2＋bx＋c＝0的根的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.
例1
判断下列函数的图象与x轴的公共点情况,并说明理由.
(1)y＝2x2－3x；
(2)y＝－x2－4x－1；
(3)y＝x2＋2x＋5.
解：(1)函数y＝2x2－3x的图象与x轴有两个公共点.
理由：令y＝0,则2x2－3x＝0.
因为(－3)2－4×2×0＝9>0,
所以该方程有两个不相等的实数根,
即函数y＝2x2－3x的图象与x轴有两个公共点.
(2)函数y＝－x2－4x－1的图象与x轴有两个公共点.
理由：令y＝0,则－x2－4x－1＝0.
因为(－4)2－4×(－1)×(－1)＝12>0,
所以该方程有两个不相等的实数根,
即函数y＝－x2－4x－1的图象与x轴有两个公共点.
(3)函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴没有公共点.
理由：令y＝0,则x2＋2x＋5＝0,
因为22－4×1×5＝－16<0,
所以该方程没有实数根,
即函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴没有公共点.
例2
[教材P46例题]利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根(结果保留小数点后一位).
解：画出函数y＝x2－2x－2的图象(如图所示),它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.
所以方程x2－2x－2＝0的实数根
为x1≈－0.7,x2≈2.7.
延伸
在如图J22－2－1所示的直角坐标系中画出问题1中二次函数h＝20t－5t2的图象,体会问题1中各问题的答案.
图J22－2－1
拓展
如图J22－2－2所示,你能直观地看出哪些方程的根?
图J22－2－2
解：根据图象知：
方程－x2＋2x＋3＝4的根为x1＝x2＝1；
方程－x2＋2x＋3＝3的两根分别为x1＝0,x2＝2；
方程－x2＋2x＋3＝0的两根分别为x1＝－1,x2＝3.
启示
利用二次函数的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的“三种方法”
步骤
结论
方法一
直接作出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
图象与x轴的公共点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
启示
步骤
结论
方法二
先将一元二次方程变形为ax2＋bx＝－c,再在同一直角坐标系中画出抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝－c
两图象的公共点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根
启示
1.(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－3所示,则方程ax2＋bx＋c＝0的解是________________；
(2)因为方程x2＋3x＋2＝0的解是_____________,
所以抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的公共点坐标
是________和________.
图22－2－3
x1＝－3,x2＝1
x1＝－2,x2＝－1
(－2,0)
(－1,0)
2.抛物线y＝－x2＋6x＋1与x轴的公共点有________个,抛物线y＝2x2－3x＋4与x轴的公共点有________个,抛物线y＝x2＋2x＋1与x轴的公共点有________个.
[解析]
①在y＝－x2＋6x＋1中,令y＝0,则－x2＋6x＋1＝0.
∵Δ＝62－4×(－1)×1＝40＞0,
∴抛物线y＝－x2＋6x＋1与x轴的公共点有2个;
2
0
1
②在y＝2x2－3x＋4中,令y＝0,则2x2－3x＋4＝0.
∵Δ＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0,
∴抛物线y＝2x2－3x＋4与x轴的公共点有0个;
③在y＝x2＋2x＋1中,令y＝0,则x2＋2x＋1＝0.
∵Δ＝22－4×1×1＝0,
∴抛物线y＝x2＋2x＋1与x轴的公共点有1个.
3.二次函数y＝x2－2x－3的图象如图22－2－4所示.当y＝0时,自变量x＝________；当y＜0时,自变量x的取值范围是________；当y>0时,自变量x的取值范围是___________.
图22－2－4
－1或3
－1x<－1或x>3
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