【人教九上数学学霸听课笔记】22.3 第1课时 二次函数与图形面积问题 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
22.3　实际问题与二次函数
第二十二章
二次函数
第1课时　二次函数与图形面积问题
探究与应用
随堂小检测
第二十二章　二次函数
目标一　会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最
大值(或最小值)
问题
从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2
(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?
解：方法一：(公式法)函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象如图.
结合图象可知,当t取顶点的横坐标时,函数有最大值,即小球最高.
∴小球运动的时间是3
s时,小球最高,小
球运动中的最大高度是45
m.
方法二：(配方法)h＝30t－5t2＝－5(t－3)2＋45.
∵0≤t≤6,
∴当t＝3时,h最大＝45.
答：小球运动的时间是3
s时,小球最高,小球运动中的最大高度是45
m.
归纳
抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点与函数最值的关系
一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低
(高)点,也就是说,当x＝________时,二次函数y＝ax2＋bx＋c
有最________(________)值________.
小
大
目标二　能利用二次函数的最值求几何图形的最大(小)面积
例1
[教材P49探究1]用总长为60
m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时,场地的面积S最大?
解：因为矩形场地的周长是60
m,一边长为l
m,所以与其相邻的另一边长为(30－l)m,
所以场地的面积S＝l(30－l)＝－l2＋30l(0也就是说,当l是15
m时,场地的面积S最大.
例2
如图22－3－1,利用一面墙(墙长30
m),用80
m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD,求该矩形场地的最大面积.
解：设矩形场地的面积为S
m2,平行于墙的
一边BC的长为x
m.由题意,得
图22－3－1
所以当所围成的矩形场地ABCD的长为40
m,宽为20
m时,其面积最大,最大面积为800
m2.
你认为上述解答过程有问题吗?若有问题,请说明理由,并给出正确的解答过程.
解：有问题,解答二次函数实际问题时未考虑x的取值范围,墙长30
m＜40
m,故当x＝40时矩形面积最大是不正确的.
因为墙长30
m,
所以0所以当x＜40时,S随x的增大而增大,所以当x＝30时,S取得符合实际意义的最大值,此时S＝750.
故当所围成的矩形场地ABCD的长为30
m,宽为25
m时,其面积最大,最大面积为750
m2.
变式
在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图J22－3－1所示的直角墙角(两边足够长),用28
m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15
m和6
m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园的最大面积.
图J22－3－1
解：设AB＝x
m,
则BC＝(28－x)m,
所以花园面积S＝x(28－x)＝－(x－14)2＋196.
解得6≤x≤13.
在6≤x≤13范围内,S随x的增大而增大,
所以当x＝13时,S最大值＝－(13－14)2＋196＝195.
即花园的最大面积为195
m2.
应用二次函数解决面积最值问题的“三个关键点”
1.通常根据几何图形的面积公式建立函数模型.
2.求出二次函数的解析式后,要写出自变量的取值范围.
3.确定函数的最值时要看自变量的取值范围,若顶点的横坐
标在自变量的取值范围内,则最值是顶点的纵坐标；否则,
最值在“端点”处取得.
归纳总结
D
[解析]
设矩形的一边长为x
cm,则S＝x(20－x)＝－x2＋20x＝－(x－10)2＋100.
可见S的最大值是100,
所以S的值不可能为120.
故选D.
2.如图22－3－2,在矩形ABCD中,AB＝6
cm,BC＝12
cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1
cm/s的速度运动,同时,点Q从点B出发,沿BC边向点C以2
cm/s的速度运动.P,Q两点分别到达B,C两点后就停止运动.设运动时间为t
s.
图22－3－2
(1)运动开始后第几秒,△PBQ的面积等于8
cm2?
(2)设五边形APQCD的面积为S
cm2,写出S与t之间的函数解析式,并指出自变量的取值范围；
(3)求出(2)中S的最小值及t的对应值.
解得t1＝2,t2＝4.
即运动开始后第2
s或第4
s,△PBQ的面积等于8
cm2.
(3)因为S＝t2－6t＋72＝(t－3)2＋63,
所以当t＝3时,S有最小值,最小值为63.
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