【人教九上数学学霸听课笔记】22.3 第2课时 二次函数与最大利润问题 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
22.3　实际问题与二次函数
第二十二章
二次函数
第2课时　二次函数与最大利润问题
探究与应用
随堂小检测
第二十二章　二次函数
目标　会利用二次函数解决最大利润等问题
问题
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件；每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
分析
(1)一件商品的利润如何计算?
一件商品的利润＝售价－进价.
(2)商品总利润＝________________×商品的数量或者商品总利润＝总销售额－________.
(3)调整价格包括涨价和降价两种情况,我们先看涨价的情况.
一件商品的利润
总进价
10x
(300－10x)
(60＋x)
(60＋x－40)
y＝(20＋x)(300－10x)
5
5
65
6250
②在降价的情况下,最大利润是多少?请你参考①的讨论,自己得出答案.
综合①②,每件定价为______元能使利润最大.
65
例
某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件；若每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖出10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y关于x的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大利润是多少元?
(3)若每个月的销售利润不低于2200元,求涨价x(元)的取值范围.
[解析]
(1)根据进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件,再根据每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖出10件和销售利润＝件数×每件的利润,列出函数解析式,即可得出答案.自变量x的取值范围可由“每件售价不能高于65元”以及“x为正整数”得到.
(2)根据(1)得出的函数解析式,再进行配方得出y＝－10(x－5.5)2＋2402.5,当x＝5.5时,y有最大值,结合自变量x的取值范围从而得出答案.
解：(1)由题意,得y＝(210－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋110x＋2100(0＜x≤15且x为整数).
(2)根据(1)得y＝－10x2＋110x＋2100＝－10(x－5.5)2＋2402.5.
∵a＝－10＜0,∴当x＝5.5时,y有最大值2402.5.
∵0＜x≤15,且x为整数,
当x＝5时,50＋x＝55,y＝2400,当x＝6时,50＋x＝56,y＝2400,
∴当每件商品的售价定为55元或56元时,每个月可获得最大利润,最大利润是2400元.
(3)在y＝－10x2＋110x＋2100中,令y＝2200,得
－10x2＋110x＋2100＝2200,
即x2－11x＋10＝0,解得x1＝1,x2＝10.
由图象(图略)可知,当y≥2200时,x(元)的取值范围是1≤x≤10且x为整数.
总结与警示
1.利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤
(1)用含自变量的式子表示一件商品的利润以及销售量.
(2)根据“总利润＝一件商品的利润×销售量”列出二次函数
解析式.
(3)求自变量的取值范围.
总结与警示
(4)判断抛物线顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内.
(5)根据(4)的结论确定最值.即：若抛物线顶点的横坐标在
自变量的取值范围内,则顶点的纵坐标是最值；若不在,则
右(或左)端点的纵坐标是最值.
总结与警示
2.利用二次函数求实际问题中最值的“两点注意”
(1)若抛物线顶点的横坐标不在自变量的取值范围内,则应根
据函数的增减性来确定最值；
(2)由二次函数得到的不等式,应先解相应的一元二次方程,
然后再根据图象确定不等式的解集.
1.出售某手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8－x)个,则当x＝________时,一天出售该手工艺品的总利润y最大.
4
2.已知某商品每件盈利20元,现每天可售出80件,如果每件商品每涨价1元,日销售量就减少3件.设每件涨价x元时(其中x为正整数),每天的总利润为y元,则y关于x的函数解析式为____________________.
[解析]
每件涨价x元时,每件盈利(20＋x)元,每天的销售量为(80－3x)件,则y关于x的函数解析式为y＝(20＋x)(80－3x)＝－3x2＋20x＋1600.
y＝－3x2＋20x＋1600
3.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外.现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元,那么每天可售出50箱；如果每箱产品每涨价1元,那么日销售量将减少2箱.
(1)现该销售点每天要盈利600元,同时又要使顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元?
(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高?
解：(1)设每箱产品应涨价x元,则每天可售出__________箱,每箱盈利__________元.
依题意得方程______________＝600.
整理,得____________＝0.
解这个方程,得x1＝________,x2＝________.
(50－2x)
(10＋x)
(50－2x)(10＋x)
x2－15x＋50
5
10
因为要使顾客得到实惠,所以舍去x＝________,取x＝________.
答：每箱产品应涨价________元.
(2)设利润为y元,则y＝______________.
整理成一般形式,得y＝______________.
配方,得y＝_________________.
所以每箱产品应涨价________元,才能获利最高.
10
5
5
(50－2x)(10＋x)
－2x2＋30x＋500
－2(x－7.5)2＋612.5
7.5
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