【人教九上数学学霸听课笔记】22.5 第二十二章 二次函数章末总结提升 课件（共45张PPT）

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本章总结提升
第二十二章
二次函数
本章总结提升
知识结构关系
重点模块总结
综合能力提升
第二十二章　二次函数
图形面积
销售利润
抛物线形
实际问题
实际问题
的答案
目标
归纳
抽象
二次函数y＝
ax2＋bx＋c
利用二次函数的
图象和性质求解
y＝0
一元二次方程
ax＋
bx＋c=0
图象
性质
y＝a(x－h)2＋k
左右平移
上下平移
y＝ax2＋k
y＝a(x－h)2
上下平移
左右平移
y＝ax2
模块1　抛物线的平移
抛物线y＝ax2经过怎样的平移可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k?
例1
(1)[2020·绥化]将抛物线y＝2(x－3)2＋2向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式是
(　　)
A.y＝2(x－6)2
B.y＝2(x－6)2＋4
C.y＝2x2
D.y＝2x2＋4
C
(2)若将抛物线y＝ax2＋bx＋c向下平移3个单位长度,再向左平移1个单位长度得到抛物线y＝2(x－1)2＋3,则a＝_______,
b＝________,c＝________.
[解析]
∵平移前后抛物线的开口方向和大小相同,∴a＝2.依题意可知,平移前的抛物线的顶点坐标是(2,6),∴平移前的抛物线的解析式为y＝2(x－2)2＋6,即y＝2x2－8x＋14,∴b＝－8,c＝14.
2
－8
14
将抛物线y＝ax2＋bx＋c用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式,而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到,具体平移方法如图22－T－1：
归纳总结
图22－T－1
模块2　二次函数的图象和性质
结合二次函数的图象回顾二次函数的性质,例如根据抛物线的开口方向、顶点坐标,说明二次函数在什么情况下取得最大(小)值.
例2
[2020·襄阳]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－T－2所示,有下列结论：①ac＜0；②3a＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时,y随着x的增大而减小.其中正确的有
(　　)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
图22－T－2
B
归纳总结
y＝ax2＋bx＋c
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
b＝0
对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号)
对称轴在y轴右侧
归纳总结
y＝ax2＋bx＋c
字母的符号
图象的特征
c
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
归纳总结
y＝ax2＋bx＋c
字母的符号
图象的特征
b2－4ac
b2－4ac＝0
与x轴有唯一公共点(顶点)
b2－4ac＞0
与x轴有两个公共点
b2－4ac＜0
与x轴没有公共点
归纳总结
特殊关系
当x＝1时,y＝a＋b＋c；
当x＝－1时,y＝a－b＋c；
若a＋b＋c＞0,则当x＝1时,y＞0；
若a－b＋c＞0,则当x＝－1时,y＞0
模块3　用待定系数法求二次函数的解析式
用待定系数法求二次函数的解析式的方法有哪些?
例3
已知一抛物线与x轴的交点是A(－2,0),B(1,0),且经过点C(2,8),求此抛物线的解析式.
[解析]
已知此抛物线经过三点,故可设一般式求解析式.若仔细观察点A,B的特征,又知点A,B是抛物线与x轴的交点,因此又可设交点式求解析式.
解：解法一：设此抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
∴此抛物线的解析式为y＝2x2＋2x－4.
解法二：∵抛物线过点A(－2,0),B(1,0),
∴设此抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－1).
又∵抛物线过点C(2,8),
∴8＝a(2＋2)×(2－1),解得a＝2,
∴y＝2(x＋2)(x－1)＝2x2＋2x－4.
即此抛物线的解析式为y＝2x2＋2x－4.
归纳总结
方法
适用条件及求法
一般式
若已知图象上三个点的坐标,则设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c,将已知三个点的坐标代入,求a,b,c的值
顶点式
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值(或最小值),则设所求二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k,将其他已知条件代入,求出待定系数
归纳总结
方法
适用条件及求法
交点式
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),则设所求二次函数的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2),将其他已知条件代入,求出待定系数
模块4　二次函数的实际应用
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题,其中一些问题可以归纳为求二次函数的最大值或最小值.请举例说明如何分析、解决这样的问题.
例4
[2020·黄冈]网络销售已经成为一种热门的销售方式.为了减少农产品的库存,我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗.为提高大家购买的积极性,直播时,板栗公司每天拿出2000元现金,作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为6元/kg,每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式：y＝－100x＋5000.经销售发现,销售单价不低于成本价且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4000
kg时,每千克成本将降低1元.设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元).
(1)请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?最大利润为多少元?
(3)当W≥40000元时,网络平台将向板栗公司收取a元/kg(a＜4)的相关费用,若此时日获利的最大值为42100元,求a的值.
解：(1)当y≥4000时,－100x＋5000≥4000,解得x≤10.
∴当6≤x≤10时,W＝(x－6＋1)(－100x＋5000)－2000＝－100x2＋5500x－27000;
当10＜x≤30时,W＝(x－6)(－100x＋5000)－2000＝－100x2＋5600x－32000.
(2)当6≤x≤10时,W＝－100x2＋5500x－27000.
∴当x＝10时,W最大＝－100×102＋5500×10－27000＝18000.
当10＜x≤30时,W＝－100x2＋5600x－32000.
∵图象的对称轴为直线x＝28,
∴当x＝28时,W最大＝－100×282＋5600×28－32000＝46400.
∵46400＞18000,∴当销售单价定为28元/kg时,销售这种板栗日获利最大,最大利润为46400元.
(3)∵40000＞18000,
∴10＜x≤30,则W＝－100x2＋5600x－32000.
令W＝40000,则－100x2＋5600x－32000＝40000,解得x1＝20,x2＝36.
在平面直角坐标系中,画出函数
W＝－100x2＋5600x－32000的
大致图象如图所示.
观察图象可知,当W≥40000时,20≤x≤36.
又∵10＜x≤30,∴20≤x≤30.
设现在板栗公司销售该板栗的日获利为W1元,则W1＝(x－6－a)(－100x＋5000)－2000＝－100x2＋(5600＋100a)x－32000－5000a,
整理得a2－88a＋172＝0,解得a1＝2,a2＝86.
又∵a＜4,∴a＝2.
模块5　数学思想方法的应用
通过本章的学习,你领悟了哪些数学思想方法?你能举例说明数学思想方法在解题中的应用吗?
例5
[数形结合思想]对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点,若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是c＝1,乙的结果是c＝3或4.则(　　)
A.甲的结果正确
B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确
D.甲、乙的结果合在一起也不正确
D
(1)当c＜1时,L与l没有公共点;
(2)当c＝1时,L与l有一个公共点;
(3)当1＜c≤2时,L与l有两个公共点;
(4)当2＜c≤5时,L与l有一个公共点;
(5)当c＞5时,L与l没有公共点.
所以当整数c＝1,3,4,5时,L与l有一个公共点.故选D.
一、二次函数与代数综合
例6
已知关于x的一元二次方程mx2＋(1－5m)x－5＝0(m≠0).
(1)求证：无论m为何非零实数,此方程总有两个实数根；
(2)若抛物线y＝mx2＋(1－5m)x－5与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且|x1－x2|＝6,求m的值；
(3)若m＞0,点P(a,b)与点Q(a＋n,b)在(2)中的抛物线上(点P,Q不重合),求代数式4a2－n2＋8n的值.
解：(1)证明：∵Δ＝(1－5m)2－4m·(－5)＝(5m＋1)2≥0,
∴无论m为何非零实数,此方程总有两个实数根.
(2)在y＝mx2＋(1－5m)x－5中,令y＝0,
则mx2＋(1－5m)x－5＝0.
将方程mx2＋(1－5m)x－5＝0左边分解因式,得(mx＋1)(x－5)＝0.
(3)由(2)得,当m＞0时,m＝1,
此时抛物线为y＝x2－4x－5,其对称轴为直线x＝2.
由题意知,点P,Q关于直线x＝2对称,
∴4a2－n2＋8n＝(4－n)2－n2＋8n＝16.
二、二次函数与几何综合
例7
如图22－T－3,在平面直角坐标系中,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(－4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,－2),连接AE.
(1)求二次函数的解析式.
图22－T－3
(2)若点D在第二象限且是抛物线上的一个动点,求△ADE面积的最大值.
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使
△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写
出所有点P的坐标；若不存在,请说明
理由.
图22－T－3
解：(1)由题意可得
如图,过点D作DF∥y轴交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EH⊥
DF,垂足为H.
三边均不与坐标轴平行的三角形面积的计算方法
(1)从铅直方向(或水平方向)确定三个顶点中哪个居中；
(2)过居中的顶点作横轴(或纵轴)的垂线,从而把原三角形分
成易于计算面积的两个小三角形.
归纳总结
归纳总结
图22－T－4
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php