《3.5 相似三角形的应用》课时同步练习2020-2021学年数学湘教版九年级上册（Word版 含答案）

《3.5
相似三角形的应用》课时同步练习2020-2021年数学湘教版九（上）
1．高4米的旗杆在水平地面上的影长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长24米，则该建筑物的高度为（　　）
A．10米
B．16米
C．26米
D．36米
2．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a等于（　　）
A．
B．
C．1
D．2
3．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（　　）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．8cm
4．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是12m，那么旗杆的高度（　　）
A．4.5m
B．6m
C．7.2m
D．8m
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD?BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（　　）
A．CD2＝AD?DB
B．AC?DB＝BC?AD
C．AD?BC＝AC?CD
D．BC2＝BD?AB
二．填空题（共7小题）
8．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD＝　
　．
9．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为　
　．
10．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是　
　毫米．
11．如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，BE＝3m，那么这棵树CD的高为　
　m．
12．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，则建筑物的高是　
　米．
13．如图所示，用一张斜边长为25的红色直角三角形纸片，一张斜边长为50的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，恰好能拼成一个直角三角形，则红、蓝两张三角形纸片的面积之和是　
　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若AD＝6，BD＝18，则AC的长等于　
　．
三．解答题（共6小题）
15．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一定A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD＝180米，DC＝60米，EC＝70米，请你求出小河的宽度是多少米？
16．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC＝120cm，高AP＝90cm，现在要把它加工成长方形零件DFHE，且满足FH＝2DF，F、H在BC上，D、E分别在AB、AC上，求短边DF的长．
17．小明准备利用所学的知识测量旗杆AB的高度．他设计了如下的测量方案：选取一个合适观测点，在地面C处垂直地面竖立高度为2米的标杆CD，小明调整自己的位置到F处，使得视线与D、B在同一直线上，此时测得CF＝1米，然后小明沿着FC方向前进11米到G处，利用随身携带的等腰直角三角形测得B点的仰角为45°，已知小明眼睛到地面距离为1.5米（EF＝GH＝1.5米），请你根据题中所给的数据计算旗杆的高度．
18．如图，在甲、乙两座楼正中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明视线所及位置如图所示，小光视线恰好落在甲楼底部．已知墙的高度为5米，两栋楼的间距为100米，小明视线所及位置到墙的距离为10米．
（1）请根据题意画出平面图形，并标上相应字母．
（2）求甲、乙两人的观测点到地面高度的距离差．
19．如图，两车分别从路段AB两端同时出发，沿平行路线AC、BD行驶，CE和DF的长分别表示两车到道路AB的距离．
（1）求证：△ACE∽△BDF；
（2）如果两车行驶速度相同，求证：△ACE≌△BDF．
20．如图，要从一块Rt△ABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFGH白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2：1，且较长边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？
参考答案
一．选择题（共7小题）
1．解：设建筑物的高是x米．则＝，
解得：x＝16．
故该建筑物的高为16米．
故选：B．
2．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CAB，
∴＝，
∴CA2＝CD?CB，
∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，
∴CB＝1+a，
∴a2＝1?（1+a），
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a＝或（舍弃），
故选：A．
3．解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，
∵练习本中的横格线都平行，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，即＝，
∴CD＝6cm．
故选：C．
4．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝?AB?BC＝?AC?BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
设DE＝x，则有：＝，
解得x＝，
故选：D．
5．解：设旗杆的高度为xm，
根据题意得：，
解得：x＝8，
即旗杆的高度为8m，
故选：D．
6．解：①、∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴△ACD∽CBD，
∴＝，即CD2＝AD?DB，故①正确；
②∵AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2＝CD2，
∴AC2+BD2＝BC2+AD2故②正确；
③作EM⊥AB，则BD+EH＝BM，
∵BE平分∠ABC，△BCE≌△BEM，
∴BC＝BM＝BD+EH，
∴，故③正确；
④若F为BE中点，则CF＝EF＝BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4BD，
∴AD＝3BD，故④正确．
故选：D．
7．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴CD2＝AD?DB，BC2＝BD?AB，
故A、D选项正确；
∵△ACD∽△CBD，
∴＝＝，
∴AC?DB＝BC?CD，故B选项错误；
AD?BC＝AC?CD，故C选项正确；
故选：B．
二．填空题（共7小题）
8．解：如图，
∵BD⊥C，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，∠A+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△ADB∽△BDC，
∴＝，
∵AD＝2cm，CD＝4cm，
∴BD2＝AD?CD＝2×4＝8，
∵BD＞0，
∴BD＝2（cm），
故答案为：2cm．
9．解：连接BE．
∵BC是直径．
∴∠AEB＝∠BEC＝90°
在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．
∵＝5
∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．
又∵BE2＝BF?BC
即：30x2＝60
解得：x＝，
∴EC2＝FC?BC＝6x2＝12
∴EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝2+2，
∵AD?AB＝AE?AC
∴AD＝＝＝．
故答案为．
10．解：∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴CD：CA＝DE：AB
∴20：60＝DE：10
∴DE＝毫米
∴小管口径DE的长是毫米．
故答案为：
11．解：∵AB，CD均垂直于地面，所以AB∥CD，
∴△ABE∽△C′DE，
∵CD在水中的倒影为C′D，
∴△ABE∽△C′DE，
∴＝，
又∵AB＝1.7，BE＝3，BD＝12，
∴＝，
∴CD＝5.1，
故答案为：5.1．
12．解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴＝，＝，
∵CD＝DG＝EF＝2m，DF＝52m，FH＝4m，
∴＝，＝，
∴＝，
解得：BD＝52，
∴＝，
解得：AB＝54，即建筑物的高是54m．
故答案为：54．
13．解：∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠B+∠ECB＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ADC∽△CEB，
∴＝＝＝＝2，
设DC＝x，则EC＝x，BE＝x，
故x2+（x）2＝252，
解得：x2＝500，
故红、蓝两张三角形纸片的面积之和是：DC×AD+EB×EC＝（x×2x+x×x）＝×x2＝625，
故答案为：625．
14．解：∵AD＝6，BD＝18，
∴AB＝AD+BD＝24．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴AC2＝AD?AB＝6×24，
∴AC＝12．
故答案是：12．
三．解答题（共6小题）
15．解：∵AB⊥BD，EC⊥BC，
∴AB∥CE，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝，即＝，
∴AB＝210．
答：小河的宽度是210米．
16．解：设DF＝xcm，
则DE＝2xcm，AK＝（90﹣x）cm，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴，
∴x＝36，
∴DF的长为36cm．
17．解：如图，延长EH交AB于点N，
由题意得，DC＝2，EF＝CM＝HG＝AN＝1.5，CF＝EM＝1，FG＝EH＝11，∠HNB＝90°，
∴DM＝DC﹣CM＝0.5，
∵∠BHN＝45°，∠HNB＝90°，
∴设BN＝HN＝x，
∵DM∥AB，
∴△EDM∽△EBN，
∴，
∴＝，
解得：x＝11，
∴AB＝AN+BN＝1.5+11＝12.5（m），
答：旗杆的高度为12.5m．
18．解：（1）如图2所示；
（2）由题意可知∠ABG＝∠CDG＝90°．
又∵∠AGD为公共角，
∴△ABG∽△CDG．
∴＝．
∵DF＝100米，点B是DF的中点，
∴BD＝BF＝50米，
∵AB＝5米，BG＝10米，
∴＝，
∴CD＝30（米）．
又∵∠ABD＝∠EFD＝90°，∠EDF为公共角，
∴△ADB∽△EDF，
∴＝＝，
∴EF＝2AB＝10（米）
∴CD﹣EF＝20（米）
答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差为20米．
19．解：（1）证明：∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°，
∴△ACE∽△BDF；
（2）证明：由（1）得：∠A＝∠B，∠CEA＝∠DFB，
∵两车等速同时行驶
∴AC＝BD，
在△ACE和△BDF中
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）．
20．解：过点A作AN⊥BC交HF于点M，交BC于点N．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BNA＝∠BAC，BC＝＝20（cm），
又∵∠B＝∠B，
∴△ABN∽△CBA，
∴＝
∴AN＝＝（cm），
∵四边形EFGH是矩形，
∴EF∥HD，
∴∠AHF＝∠B，∠AFM＝∠C．
∴△AHF∽△ABC．
∴＝．
设EF＝x，则MN＝x，由截出的矩形的长与宽的比为2：1可知HF＝2x．
＝．
解得x＝．
∴2x＝．
答：截得的矩形的长为cm，宽为cm