《第1章反比例函数》培优提升综合训练（Word版 附答案） 2021-2022学年湘教版九年级数学上册

2021-2022学年湘教版九年级数学上册《第1章反比例函数》培优提升综合训练（附答案）
一．选择题
1．已知反比例函数的解析式为y＝，则a的取值范围是（　　）
A．a≠2
B．a≠﹣2
C．a≠±2
D．a＝±2
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝x+1与函数y＝的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，设直线y＝kx（k＜0）与双曲线y＝﹣相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为（　　）
A．﹣10
B．﹣5
C．5
D．10
4．反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，则直线y＝kx+k不经过的象限是（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．12
B．
C．
D．
6．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（　　）
A．（，2）
B．（，）
C．（2，）
D．（，）
7．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y═（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（　　）
A．y＝﹣
B．y＝﹣
C．y＝﹣
D．y＝
8．如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数y2＝（k2＜0）的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或x＞2
B．﹣2＜x＜0或x＞2
C．x＜﹣2或0＜x＜2
D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
9．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（　　）
A．v＝320t
B．v＝
C．v＝20t
D．v＝
10．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（　　）
A．甲同学
B．乙同学
C．丙同学
D．丁同学
二．填空题
11．下列函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣；③y＝x2+8x﹣2；④y＝；⑤y＝；⑥y＝中，y是x的反比例函数的有　
　（填序号）
12．如图，正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝　
　．
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y＝（k≠0，x＜0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△AEF＝1，则k的值为
　
　．
14．若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为　
　．
15．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是　
　．
三．解答题
16．先化简再求值：（a﹣2+）÷，其中a使反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限．
17．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC＝．
（1）若OA＝4，求k的值；
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
18．已知点P（1，2）在反比例函数y＝的图象上．
（1）当x＝﹣2时，求y的值；
（2）当1＜x＜4时，求y的取值范围．
19．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝的图象与大正方形的一边交于点A（1，2），且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
20．如图，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m﹣1≠0）的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S△ABC＝3．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若AB＝2，求一次函数的表达式．
21．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为
　
　．
22．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
23．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y
（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
24．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与直线l：y＝﹣x﹣2交于点A（a，﹣4），直线l与x轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）在y轴上存在一点C，使得S△ABC＝3，求点C的坐标．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求△OAM的面积S．
（3）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小并求出此时点P的坐标．
参考答
一．选择题
1．解：根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0，由题意可得：|a|﹣2≠0，
解得：a≠±2，
故选：C．
2．解：在同一平面直角坐标系中，函数y＝x+1与函数y＝的图象可能是
，
故选：B．
3．解：由图象可知点A（x1，y1）B（x2，y2）关于原点对称，
即x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
把A（x1，y1）代入双曲线y＝﹣得x1y1＝﹣5，
则原式＝x1y2﹣3x2y1，＝﹣x1y1+3x1y1，＝5﹣15，＝﹣10．
故选：A．
4．解：∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+k的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．
故选：A．
5．解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，
∴B点纵坐标为4，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴当y＝4时，x＝3，即B点坐标为（3，4），
∴OC＝3．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，AC＝BC＝4，OA＝AC﹣OC＝4﹣3．
设AB与y轴交于点D．
∵OD∥BC，
∴OD＝4﹣，
∴阴影部分的面积是：（OD+BC）?OC＝（4﹣+4）×3＝12﹣．
故选：D．
6．解：如图，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠COE＝∠OAD，
∵∠CEO＝∠ODA，
∵S△COE＝×|﹣4|＝2，S△AOD＝＝，
∴OE＝2AD，CE＝2OD，
设A（m，）（m＞0），
∴C（﹣，2m），
∴OE＝0﹣（﹣）＝，
∵点B的横坐标为﹣，
∴m﹣（﹣）＝，
整理得2m2+7m﹣4＝0，
∴m1＝，m2＝﹣4（舍去），
经检验，m＝是方程的解，
∴A（，2），
故选：A．
7．解：∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
过C作CE⊥OB于E，
则∠OCE＝30°，
∴OE＝OC＝1，CE＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
∵顶点C在反比例函数y═的图象上，
∴＝，得k＝﹣，
即y＝﹣，
故选：B．
8．解：由反比例函数与正比例函数相交于点A、B，可得点A坐标与点B坐标关于原点对称．
故点A的横坐标为﹣2．
当y1＞y2时，即正比例函数图象在反比例图象上方，
观察图象可得，当x＜﹣2或0＜x＜2时满足题意．
故选：C．
9．解：由题意vt＝80×4，
则v＝．
故选：B．
10．解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，
∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，
∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，
∵F乙最小，
∴乙同学到支点的距离最远．
故选：B．
二．填空题
11．解：①y＝2x﹣1是一次函数，不是反比例函数；
②y＝﹣是反比例函数；
③y＝x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数；
④y＝不是反比例函数；
⑤y＝是反比例函数；
⑥y＝中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数；
故答案为：②⑤．
12．解：方法一：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y轴于M点，
∵正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴S△AON＝S△OBM，
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴S△AON＝S△CON，S△OBM＝S△OCM，
即S△ABC＝4S△AON＝4×xA?yA＝4×＝12；
方法二：根据题意设A（t，），
∵正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，
∴B（﹣t，﹣），
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴C（t，﹣），
∴S△ABC＝BC?AC＝×[t﹣（﹣t）]×[﹣（﹣）]＝12；
故答案为：12．
13．解：如图，连接OB，
由于Rt△DOE与Rt△BCA关于MN成轴对称，且OA＝AE，
由对称性可知，AG＝GE，OA＝AE＝EC，
∴AG＝AC，
∵S△AEF＝1，
∴S△AFG＝S△AEF＝，
∵MN∥BC∥OD，
∴S△ABC＝×16＝8，
又∵OA＝AC，
∴S△OAB＝S△ABC＝4，
∴S△OBC＝8+4＝12，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴S△OBC＝12＝|k|，
∵k＜0，
∴k＝﹣24，
故答案为：﹣24．
14．解：设反比例函数的表达式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），
∴k＝m2＝﹣2m，
解得m1＝﹣2，m2＝0（舍去），
∴k＝4，
∴反比例函数的表达式为．故答案为：．
15．解：设反比例函数关系式为：I＝，
把（9，4）代入得：k＝4×9＝36，
∴反比例函数关系式为：I＝，
当I≤10时，则≤10，
R≥3.6，
故答案为：R≥3.6．
三．解答题
16．解：反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，
∴a＜0，
∴|a|＝﹣a，
（a﹣2+）÷
＝?
＝﹣1．
17．解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，
∵AC＝BC，AB＝4，
∴AE＝BE＝2．
在Rt△BCE中，BC＝，BE＝2，
∴CE＝，
∵OA＝4，
∴C点的坐标为：（，2），
∵点C在的图象上，
∴k＝5，
（2）设A点的坐标为（m，0），
∵BD＝BC＝，
∴AD＝，
∴D，C两点的坐标分别为：（m，），（m﹣，2）．
∵点C，D都在的图象上，
∴m＝2（m﹣），
∴m＝6，
∴C点的坐标为：（，2），
作CF⊥x轴，垂足为F，
∴OF＝，CF＝2，
在Rt△OFC中，
OC2＝OF2+CF2，
∴OC＝．
18．解：（1）∵点P（1，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴2＝，
∴k＝2，
∴y＝，
当x＝﹣2时，y＝；
（2）∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝；
又∵反比例函数y＝在x＞0时，y值随x的增大而减小，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围为＜y＜2．
19．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，2），
∴2＝，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
∴设B点的坐标为（m，m），
∵反比例函数y＝的图象经过B点，
∴m＝，
∴m2＝2，
∴小正方形的面积为4m2＝8，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（1，2），
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（2，2），
∴大正方形的面积为4×22＝16，
∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝16﹣8＝8．
20．解：（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
设C（a，b），
∵CB⊥y轴，
∴B（0，b），
∴BC＝﹣a，
∵S△ABC＝3，
∴，
∴ab＝﹣6，
∴m﹣1＝ab＝﹣6，
∴m＝﹣5，
即A（2，0），m＝﹣5；
（2）在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，
∵，
∴b2+4＝8，
∴b2＝4，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2，
∴a＝﹣3，
∴C（﹣3，2），
将C（﹣3，2）代入到直线解析式中得，
∴一次函数的表达式为．
21．解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函数表达式为y＝．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝．
故点E坐标为（1，2），F（4，）．
设直线EF的解析式为y＝kx+b，代入E、F坐标得：
，解得：．
故一次函数的解析式为y＝．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：
，解得：．
则直线E'F的解析式为y＝，
令y＝0，则x＝．
∴点P坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．
22．解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，
则，解得，
故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；
（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，
当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），
设反比例函数表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，
故反比例函数表达式为y＝，
当x＝55时，y＝＜1，
故一班学生能安全进入教室．
23．解：（1）设线段AB解析式为y＝k1x+b（k≠0）
∵线段AB过点（0，10），（2，14）
代入得
解得
∴AB解析式为：y＝2x+10（0≤x＜5）
∵B在线段AB上当x＝5时，y＝20
∴B坐标为（5，20）
∴线段BC的解析式为：y＝20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：y＝（k2≠0）
∵C（10，20）
∴k2＝200
∴双曲线CD解析式为：y＝（10≤x≤24）
∴y关于x的函数解析式为：
y＝
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20℃
（3）把y＝10代入y＝中，解得，x＝20
∴20﹣10＝10
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
24．解：（1）将点A（a，﹣4）的坐标代入y＝﹣x﹣2中，
得﹣4＝﹣a﹣2，
解得a＝2；
∴点A（2，﹣4），
将点A（2，﹣4）的坐标代入反比例函数y＝中，
得k＝2×（﹣4）＝﹣8；
答：a，k的值为2，﹣8；
（2）当y＝0，﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0）．
设C（0，t），
∵S△ABC＝5，
∴×|t+2|×2+×|t+2|×2＝3，
即|t+2|＝，
∴t＝﹣或﹣，
∴C（0，﹣）或C（0，﹣）．
25．解：（1）将B（4，1）代入y＝得：．
∴k＝4．
∴y＝．
将B（4，1）代入y＝mx+5得：1＝4m+5，
∴m＝﹣1．
∴y＝﹣x+5．
（2）在y＝中，令x＝1，解得y＝4．
∴A（1，4）．
∴S＝×1×4＝2．
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（﹣1，4）．
连接BN交y轴于点P，点P即为所求．
设直线BN的关系式为y＝kx+b，
由，得，
∴y＝﹣x+．
∴点P的坐标为（0，）．