3.2.1单调性与最大（小）值（教案）——2021－2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章
函数的概念与性质
3.2.1单调性与最大（小）值
教学设计
一、教学目标
1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的理解，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.
2.理解用符号形式表达数学定义的必要性，掌握这样的定义在讨论函数单调性问题中的作用，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.
3.理解增（减）函数的定义，会证明函数在制定区间上的单调性，达到数学运算核心素养学业质量水平三的层次.
4.理解函数最值的定义，会求函数在给定区间上的最值，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次.
二、教学重难点
1.教学重点
借助图像，表格和自然语言，数学符号语言，形成增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单的问题.
函数最值的定义和求法
2.教学难点
如何求一个具体函数的最值.
在形成增（减）函数的形式化定义的过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述，用定义证明函数的单调性.
三、教学过程
（一）探究一：函数单调性的探究
研究二次函数的单调性.
画出它的函数图象，可以看到：
图象在y轴左侧部分从左到右是下降，也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小.用符号语言描述，就是任意取，得到，那么当时，有.这时，我们就说函数在区间上是单调递减的.
图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x>0时，y随x的增大而增大.用符号语言描述，就是任意取，得到，那么当时，有.这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
思考：函数各有怎样的单调性？
的图象如图(1)，图象在y轴左侧从左到右是下降的，也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小，用符号语言描述就是任意取，则，当时，有，所以在区间上单调递减的.
类似地，在区间是单调递增的.
的图象如图(2)，图象在y轴左侧从左到右是上升的，也就是说，当x<0时，与y随x的增大而增大，用符号语言描述就是任意取，则，当时，有，所以在区间上是单调递增的.
类似地，在区间上是单调递减的.
探究二：函数单调性的定义
定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间：
如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
探究三：单调性的应用
例1
根据定义证明函数在区间上单调递增.
证明：，且，有
由，得
所以又由，得
于是即.
所以，函数在区间上单调递增.
定义法判断函数单调性的一般步骤：
①取值：在指定区间内任取，且
②作差变形：作差，利用因式分解、配方等方法进行变形
③判号：判断的符号
④定论：确定函数的单调性
探究四：函数的最大（小）值
定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)，都有；
(2)，使得.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)，都有；
(2)，使得.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.
例2
已知函数，求函数的最大值和最小值.
分析：由函数的图象可知，函数在区间上单调递减.所以，函数在区间的两个端点上分别取得最大值和最小值.
解：，且，则
由，得，
于是，即.
所以，函数在区间上单调递减.
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最大值，最大值是2；在x=6时取得最小值，最小值是0.4.
（二）课堂练习
1.已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：因为偶函数在上单调递减，且，
所以根据偶函数的对称性可知，在上单调递增，且，
由可得或
即或
解得或.故选A.
2.设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：由函数是偶函数知，，，又时是增函数，，，故选A.
3.函数的最小值为(
)
A.
B.-2
C.
D.
答案：A
解析：设，则，
所以.易知函数在上单调递减，在上单调递增，，故选A.
（三）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.单调性的定义
3.单调性的应用
4.函数最值
四、板书设计
3.2.1单调性与最大（小）值
1.单调性的定义
2.单调性的应用
3.单调性的解题步骤
4.函数的最大值最小值