高中数学人教A版（2019）选择性必修一第二章第4节圆的方程同步练习
一、单选题
1．（2021高一下·桂林期末）已知圆 ，则其圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高二上·嘉兴期末）已知圆的方程是 ，则它的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．（2021高二下·诸暨期末）以直线 经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020高二上·漳州期末）圆心在y轴上，半径长为 ，且过点 的圆的方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
5．（2020高二上·天津期末）已知圆的方程为 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高二上·青铜峡月考）以 ， 两点为直径端点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020高二上·怀仁月考）在平面直角坐标系 中，直线 与两坐标轴分别交于点 、 ，圆 经过 、 ，且圆心在 轴上，则圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020高二上·福建期中）已知圆M的方程为 ，过点 的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为 ，弦长最长的弦为 ，则四边形 的面积为（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
9．（2019高二上·瓦房店月考）已知点 ， ， ，则 外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2018高二上·山西月考）方程 表示的图形是
A．以 为圆心，11为半径的圆
B．以 为圆心，11为半径的圆
C．以 为圆心， 为半径的圆
D．以 为圆心， 为半径的圆
11．（2018高二上·成都月考）当圆 的面积最大时，圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020高二上·滨州期末）人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵 鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2020高二上·柯桥期末）已知圆E： ，则该圆的圆心坐标是 ，半径为 .
14．（2020高二上·肇庆期末）在平面直角坐标系中，经过三点 的圆的方程为 .
15．（2017高二上·红桥期末）以点M（0，2）为圆心，并且与x轴相切的圆的方程为 ．
16．（2016高二上·苏州期中）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为 ．
三、解答题
17．（2019高二上·九台月考）写出下列方程表示的圆的圆心和半径:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
18．（2020高二上·怀仁月考）已知圆 过点 且圆心 在直线 上，求圆 的方程.
19．（2019高二上·怀仁月考）求满足下列条件的圆的方程：
（I）圆心在直线 上,与 轴相交于 两点;
（II）经过 三点.
20．（2018高二上·杭州期中）已知以点 （ ，且 ）为圆心的圆与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ， ，其中 为坐标原点．
（1）求证： 的面积为定值；
（2）设直线 与圆 交于点 ， ，若 ，求圆 的方程．
21．（2017高二上·海淀期中）某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度 为 ，行车道总宽度 为 ，侧墙面高 ， 为 ，弧顶高 为 ．
（1）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．
（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
22．（圆的标准方程++++++216）解答题
（1）求以A（﹣1，2），B（5，﹣6）为直径两端点的圆的方程
（2）点P（a，b）在直线x+y+1=0上，求 的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由 易知圆心C为（-1，2）.
故答案为：C
【分析】根据圆的标准方程直接求解即可.
2．【答案】B
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】圆的方程可化简为
则它的半径是
故答案为：B
【分析】首先把圆的方程化为标准方程由此即可求出圆的半径的值。
3．【答案】A
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：因为直线方程为 ，即 ，所以直线过定点 ，
所以圆方程为 ，即 ，
故答案为：A.
【分析】 求出圆的圆心，然后写出圆的方程即可.
4．【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】设圆心为 ，则圆方程为 ，将点 代入圆方程得
解得 或
所以圆方程为 或
故答案为：C
【分析】设圆方程为 ，将点 代入圆方程得结果。
5．【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】因为 表示圆，
所以 ，解得 .
故答案为：C
【分析】由圆的一般式方程即可得出求解出m的取值范围即可。
6．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】可知线段 的中点坐标为 ，即为 ，
，
以 ， 两点为直径端点的圆的圆心为 ，半径为5，
则方程为 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合中点坐标公式求出圆的圆心坐标，再利用两点距离公式求出圆的直径，进而求出圆的半径长，从而求出圆的标准方程。
7．【答案】A
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】易知，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
设圆心 的坐标为 ，由 可得 ，解得 ，
所以，圆 的半径为 ，
因此，圆 的方程为 ，即为 .
故答案为：A.
【分析】求出点A、B的坐标，设圆心 的坐标为 ，由 可求出圆心 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得 圆 的方程 。
8．【答案】B
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】圆M的标准方程为 ，即圆是以 为圆心，5为半径的圆，
且由 ，即点 在圆内，
则最短的弦是以 为中点的弦，
所以 ，所以 ，
过 最长的弦 为直径，所以 ，
且 ，故而 .
故答案为：B.
【分析】由题可知点 在圆内，则最短的弦是以 为中点的弦，过 最长的弦 为直径，求出后即可求出四边形面积.
9．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】线段 中点坐标为 ，线段 斜率为 ，所以线段 垂直平分线的斜率为 ，故线段 的垂直平分线方程为 ，即 .
线段 中点坐标为 ，线段 斜率为 ，所以线段 垂直平分线的斜率为 ，故线段 的垂直平分线方程为 ，即 .
由 .所以 外接圆的圆心坐标为 .
故答案为：A
【分析】求得线段 和线段 的垂直平分线的交点坐标，由此求得 外接圆的圆心坐标.
10．【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】已知方程x2+y2+2x-4y-6=0，可转化为：（x+1）2+（y-2）2=11
故方程表示以（-1，2）为圆心， 为半径的圆
故答案为：C
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得到圆心和半径.
11．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因此圆面积为 时圆面积最大，此时圆心坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】计算出半径与k的关系，然后判断出k为何值圆面积最大，得出圆心坐标，即可得出答案。
12．【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，
由题意可知下一段圆弧过点 ，
因为每一段圆弧的圆心角都为90°，
所以下一段圆弧所在圆的圆心与点 的连线平行于 轴，
因为下一段圆弧的半径为13，
所以所求圆的圆心为 ，
所以所求圆的方程为 ，
故答案为：C
【分析】由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由题意可知下一段圆弧过点 ，因为每一段圆弧的圆心角都为90°，所以下一段圆弧所在圆的圆心与点 的连线平行于 轴，因为下一段圆弧的半径为13，所以所求圆的圆心为 ，进而求出接下来的一段圆弧所在圆的标准方程。
13．【答案】（1，-2）；2
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】 圆E： ，
圆心为（1，-2），半径为2.
故答案为：（1，-2）；2.
【分析】由圆的标准方程即可求出圆心坐标以及半径。
14．【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】设圆的方程为 ，
因为圆过 三点，
所以 得
所以圆的方程为 。
故答案为： 。
【分析】先设圆的一般方程为 ，再利用圆经过三点结合代入法，再解方程组求出D，E，F的值，进而求出圆的一般方程。
15．【答案】x2+（y﹣2）2=4
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：根据题意，以点M（0，2）为圆心，并且与x轴相切的圆，
其圆心到x轴的距离就是圆的半径，即该圆的半径r=2，
则要求圆的方程为：x2+（y﹣2）2=4；
故答案为：x2+（y﹣2）2=4．
【分析】根据题意，分析可得该圆的圆心到x轴的距离就是圆的半径，即该圆的半径r=2，由圆的圆坐标以及半径结合圆的标准方程形式即可得答案．
16．【答案】6
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则 =（a+m，b）， =（a﹣m，b），
∵∠APB=90°，∴ ，
∴ =（a+m）（a﹣m）+b2=0，
∴m2=a2+b2=|OP|2，
∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．
故答案为：6．
【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则 =（a+m，b）， =（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最大值即为|OP|的最大值．
17．【答案】（1）解：由圆 的标准方程可得，该圆的圆心坐标为 ,半径为 ，
即圆 的圆心坐标为 ,半径为 ；
（2）解：由圆 的标准方程可得，该圆的圆心坐标为 ,半径为 ，
即圆 的圆心坐标为 ,半径为 ；
（3）解：由圆 的标准方程可得，该圆的圆心坐标为 ,半径为 ，
即圆 的圆心坐标为 ,半径为 ；
（4）解：由圆 的标准方程可得，该圆的圆心坐标为 ,半径为 ，
即圆 的圆心坐标为 ,半径为 .
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】圆的标准方程为 ，则此圆的圆心坐标为 ，半径为 ，将(1) (2) (3) (4)分别代入即可得解.
18．【答案】设圆 ，
因为 圆 ，所以 解得
故圆C的方程为 .
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】 设圆 ， 代入已知条件列方程组，解得a，b，r即可。
19．【答案】解：（I）由已知可设圆心为 ,半径为 ,则圆的方程为 .
代入 两点有 ,解得 .
于是所求圆的方程为 .
（II）设圆的方程为 ,
代入 三点,可得 ,
解得 .
于是所求圆的方程为
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【分析】求圆的方程有两种设法，一是标准方程，二是设一般方程，第一步设标准方程，第二步设一般方程 ，首先巧设圆心 ，半径 ，过点 满足方程，解方程组解得 和 ；求过三点的圆的方程用圆的一般方程，待定系数法解方程组求解.
20．【答案】（1）证明： ， ．
设圆 的方程是
令 ，得 ；令 ，得
，即： 的面积为定值．
（2）解： 垂直平分线段 ．
， 直线 的方程是 ．
，解得：
当 时，圆心 的坐标为 ， ，此时 到直线 的距离 ，圆 与直线 相交于两点．
当 时，圆心 的坐标为 ， ，此时 到直线 的距离 圆 与直线 不相交， 不符合题意舍去．
圆 的方程为
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【分析】（1）根据圆的方程，求出圆与坐标轴交点的坐标，结合三角形的面积公式，表示出三角形OAB的面积，即可确定该三角形面积为定值；
（2）根据直线与圆的位置关系，求出直线OC的方程，求出相应的t值，即可确定圆的方程.
21．【答案】（1）解：以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以1m为单位长度建立直角坐标系，
则 ， ， ，由于所求圆的圆心在 轴上，所以设圆的方程为 ，因为 ， 在圆上，所以 ，解得 ， ，所以圆的方程为
（2）解：设限高为 ，作 ，交圆弧于点 ，则 ，将 的横坐标 代入圆的方程，得 ，得 或 （舍），所以 （m）． 答：车辆通过隧道的限制高度是 米
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】(1)根据题意建立直角坐标系分别求出点的坐标，利用圆的定义就求出圆心的坐标以及半径，从而求出圆的方程。(2)结合实际情况把实际问题转化为数学问题，把数值代入到圆的方程求出结果即可。
22．【答案】（1）解：设圆心为C（a，b），由A（﹣1，2）、B（5，﹣6），（2分）
结合中点坐标公式，得a=2，b=﹣2，可得C（2，﹣2）
∵|AC|= =5
∴圆的半径r=|AC|=5，（5分）
因此，以线段AB为直径的圆的方程是（x﹣2）2+（y+2）2=25
（2）解： 的最小值为点（1，1）到直线x+y+1=0的距离
而 ，
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式求出AB的中点C的坐标，即为所求圆的圆心坐标．再利用两点间的距离公式求出半径AC之长，即可得到所求圆标准方程．（2）首先将 的最小值转化为求点（1，1）到点P的距离的最小值，因为点P是直线x+y+1=0上的点，所以最小值即为点P到直线的距离．
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一第二章第4节圆的方程同步练习
一、单选题
1．（2021高一下·桂林期末）已知圆 ，则其圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由 易知圆心C为（-1，2）.
故答案为：C
【分析】根据圆的标准方程直接求解即可.
2．（2020高二上·嘉兴期末）已知圆的方程是 ，则它的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】圆的方程可化简为
则它的半径是
故答案为：B
【分析】首先把圆的方程化为标准方程由此即可求出圆的半径的值。
3．（2021高二下·诸暨期末）以直线 经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：因为直线方程为 ，即 ，所以直线过定点 ，
所以圆方程为 ，即 ，
故答案为：A.
【分析】 求出圆的圆心，然后写出圆的方程即可.
4．（2020高二上·漳州期末）圆心在y轴上，半径长为 ，且过点 的圆的方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】设圆心为 ，则圆方程为 ，将点 代入圆方程得
解得 或
所以圆方程为 或
故答案为：C
【分析】设圆方程为 ，将点 代入圆方程得结果。
5．（2020高二上·天津期末）已知圆的方程为 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】因为 表示圆，
所以 ，解得 .
故答案为：C
【分析】由圆的一般式方程即可得出求解出m的取值范围即可。
6．（2020高二上·青铜峡月考）以 ， 两点为直径端点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】可知线段 的中点坐标为 ，即为 ，
，
以 ， 两点为直径端点的圆的圆心为 ，半径为5，
则方程为 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合中点坐标公式求出圆的圆心坐标，再利用两点距离公式求出圆的直径，进而求出圆的半径长，从而求出圆的标准方程。
7．（2020高二上·怀仁月考）在平面直角坐标系 中，直线 与两坐标轴分别交于点 、 ，圆 经过 、 ，且圆心在 轴上，则圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】易知，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
设圆心 的坐标为 ，由 可得 ，解得 ，
所以，圆 的半径为 ，
因此，圆 的方程为 ，即为 .
故答案为：A.
【分析】求出点A、B的坐标，设圆心 的坐标为 ，由 可求出圆心 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得 圆 的方程 。
8．（2020高二上·福建期中）已知圆M的方程为 ，过点 的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为 ，弦长最长的弦为 ，则四边形 的面积为（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
【答案】B
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】圆M的标准方程为 ，即圆是以 为圆心，5为半径的圆，
且由 ，即点 在圆内，
则最短的弦是以 为中点的弦，
所以 ，所以 ，
过 最长的弦 为直径，所以 ，
且 ，故而 .
故答案为：B.
【分析】由题可知点 在圆内，则最短的弦是以 为中点的弦，过 最长的弦 为直径，求出后即可求出四边形面积.
9．（2019高二上·瓦房店月考）已知点 ， ， ，则 外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】线段 中点坐标为 ，线段 斜率为 ，所以线段 垂直平分线的斜率为 ，故线段 的垂直平分线方程为 ，即 .
线段 中点坐标为 ，线段 斜率为 ，所以线段 垂直平分线的斜率为 ，故线段 的垂直平分线方程为 ，即 .
由 .所以 外接圆的圆心坐标为 .
故答案为：A
【分析】求得线段 和线段 的垂直平分线的交点坐标，由此求得 外接圆的圆心坐标.
10．（2018高二上·山西月考）方程 表示的图形是
A．以 为圆心，11为半径的圆
B．以 为圆心，11为半径的圆
C．以 为圆心， 为半径的圆
D．以 为圆心， 为半径的圆
【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】已知方程x2+y2+2x-4y-6=0，可转化为：（x+1）2+（y-2）2=11
故方程表示以（-1，2）为圆心， 为半径的圆
故答案为：C
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得到圆心和半径.
11．（2018高二上·成都月考）当圆 的面积最大时，圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因此圆面积为 时圆面积最大，此时圆心坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】计算出半径与k的关系，然后判断出k为何值圆面积最大，得出圆心坐标，即可得出答案。
12．（2020高二上·滨州期末）人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵 鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，
由题意可知下一段圆弧过点 ，
因为每一段圆弧的圆心角都为90°，
所以下一段圆弧所在圆的圆心与点 的连线平行于 轴，
因为下一段圆弧的半径为13，
所以所求圆的圆心为 ，
所以所求圆的方程为 ，
故答案为：C
【分析】由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由题意可知下一段圆弧过点 ，因为每一段圆弧的圆心角都为90°，所以下一段圆弧所在圆的圆心与点 的连线平行于 轴，因为下一段圆弧的半径为13，所以所求圆的圆心为 ，进而求出接下来的一段圆弧所在圆的标准方程。
二、填空题
13．（2020高二上·柯桥期末）已知圆E： ，则该圆的圆心坐标是 ，半径为 .
【答案】（1，-2）；2
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】 圆E： ，
圆心为（1，-2），半径为2.
故答案为：（1，-2）；2.
【分析】由圆的标准方程即可求出圆心坐标以及半径。
14．（2020高二上·肇庆期末）在平面直角坐标系中，经过三点 的圆的方程为 .
【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】设圆的方程为 ，
因为圆过 三点，
所以 得
所以圆的方程为 。
故答案为： 。
【分析】先设圆的一般方程为 ，再利用圆经过三点结合代入法，再解方程组求出D，E，F的值，进而求出圆的一般方程。
15．（2017高二上·红桥期末）以点M（0，2）为圆心，并且与x轴相切的圆的方程为 ．
【答案】x2+（y﹣2）2=4
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：根据题意，以点M（0，2）为圆心，并且与x轴相切的圆，
其圆心到x轴的距离就是圆的半径，即该圆的半径r=2，
则要求圆的方程为：x2+（y﹣2）2=4；
故答案为：x2+（y﹣2）2=4．
【分析】根据题意，分析可得该圆的圆心到x轴的距离就是圆的半径，即该圆的半径r=2，由圆的圆坐标以及半径结合圆的标准方程形式即可得答案．
16．（2016高二上·苏州期中）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为 ．
【答案】6
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则 =（a+m，b）， =（a﹣m，b），
∵∠APB=90°，∴ ，
∴ =（a+m）（a﹣m）+b2=0，
∴m2=a2+b2=|OP|2，
∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．
故答案为：6．
【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则 =（a+m，b）， =（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最大值即为|OP|的最大值．
三、解答题
17．（2019高二上·九台月考）写出下列方程表示的圆的圆心和半径:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
【答案】（1）解：由圆 的标准方程可得，该圆的圆心坐标为 ,半径为 ，
即圆 的圆心坐标为 ,半径为 ；
（2）解：由圆 的标准方程可得，该圆的圆心坐标为 ,半径为 ，
即圆 的圆心坐标为 ,半径为 ；
（3）解：由圆 的标准方程可得，该圆的圆心坐标为 ,半径为 ，
即圆 的圆心坐标为 ,半径为 ；
（4）解：由圆 的标准方程可得，该圆的圆心坐标为 ,半径为 ，
即圆 的圆心坐标为 ,半径为 .
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】圆的标准方程为 ，则此圆的圆心坐标为 ，半径为 ，将(1) (2) (3) (4)分别代入即可得解.
18．（2020高二上·怀仁月考）已知圆 过点 且圆心 在直线 上，求圆 的方程.
【答案】设圆 ，
因为 圆 ，所以 解得
故圆C的方程为 .
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】 设圆 ， 代入已知条件列方程组，解得a，b，r即可。
19．（2019高二上·怀仁月考）求满足下列条件的圆的方程：
（I）圆心在直线 上,与 轴相交于 两点;
（II）经过 三点.
【答案】解：（I）由已知可设圆心为 ,半径为 ,则圆的方程为 .
代入 两点有 ,解得 .
于是所求圆的方程为 .
（II）设圆的方程为 ,
代入 三点,可得 ,
解得 .
于是所求圆的方程为
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【分析】求圆的方程有两种设法，一是标准方程，二是设一般方程，第一步设标准方程，第二步设一般方程 ，首先巧设圆心 ，半径 ，过点 满足方程，解方程组解得 和 ；求过三点的圆的方程用圆的一般方程，待定系数法解方程组求解.
20．（2018高二上·杭州期中）已知以点 （ ，且 ）为圆心的圆与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ， ，其中 为坐标原点．
（1）求证： 的面积为定值；
（2）设直线 与圆 交于点 ， ，若 ，求圆 的方程．
【答案】（1）证明： ， ．
设圆 的方程是
令 ，得 ；令 ，得
，即： 的面积为定值．
（2）解： 垂直平分线段 ．
， 直线 的方程是 ．
，解得：
当 时，圆心 的坐标为 ， ，此时 到直线 的距离 ，圆 与直线 相交于两点．
当 时，圆心 的坐标为 ， ，此时 到直线 的距离 圆 与直线 不相交， 不符合题意舍去．
圆 的方程为
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【分析】（1）根据圆的方程，求出圆与坐标轴交点的坐标，结合三角形的面积公式，表示出三角形OAB的面积，即可确定该三角形面积为定值；
（2）根据直线与圆的位置关系，求出直线OC的方程，求出相应的t值，即可确定圆的方程.
21．（2017高二上·海淀期中）某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度 为 ，行车道总宽度 为 ，侧墙面高 ， 为 ，弧顶高 为 ．
（1）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．
（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
【答案】（1）解：以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以1m为单位长度建立直角坐标系，
则 ， ， ，由于所求圆的圆心在 轴上，所以设圆的方程为 ，因为 ， 在圆上，所以 ，解得 ， ，所以圆的方程为
（2）解：设限高为 ，作 ，交圆弧于点 ，则 ，将 的横坐标 代入圆的方程，得 ，得 或 （舍），所以 （m）． 答：车辆通过隧道的限制高度是 米
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】(1)根据题意建立直角坐标系分别求出点的坐标，利用圆的定义就求出圆心的坐标以及半径，从而求出圆的方程。(2)结合实际情况把实际问题转化为数学问题，把数值代入到圆的方程求出结果即可。
22．（圆的标准方程++++++216）解答题
（1）求以A（﹣1，2），B（5，﹣6）为直径两端点的圆的方程
（2）点P（a，b）在直线x+y+1=0上，求 的最小值．
【答案】（1）解：设圆心为C（a，b），由A（﹣1，2）、B（5，﹣6），（2分）
结合中点坐标公式，得a=2，b=﹣2，可得C（2，﹣2）
∵|AC|= =5
∴圆的半径r=|AC|=5，（5分）
因此，以线段AB为直径的圆的方程是（x﹣2）2+（y+2）2=25
（2）解： 的最小值为点（1，1）到直线x+y+1=0的距离
而 ，
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式求出AB的中点C的坐标，即为所求圆的圆心坐标．再利用两点间的距离公式求出半径AC之长，即可得到所求圆标准方程．（2）首先将 的最小值转化为求点（1，1）到点P的距离的最小值，因为点P是直线x+y+1=0上的点，所以最小值即为点P到直线的距离．
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