高中数学人教A版（2019）选择性必修一第二章直线的方程同步练习

高中数学人教A版（2019）选择性必修一第二章直线的方程同步练习
一、单选题
1．（2021高二下·安徽开学考）直线2x﹣y﹣12＝0的斜率为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（2020高二上·滨州期末）倾斜角为45°，在 轴上的截距是-2的直线方程为（　　）．
A． B． C． D．
3．（2020高二上·天津期末）经过 ， 两点的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·肇庆期末）已知直线 与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转 得直线 ，则直线 的方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高二上·慈溪期末）过点 且与 轴垂直的直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高二上·山西月考）已知直线 过点 ，且在 轴上的截距为 轴上的截距的两倍，则直线 的方程是（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
7．（2020高二上·武汉期中）直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2020高二上·蚌埠月考）下列说法错误的个数是（　　）
①平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示②直线 与 轴的交点到原点的距离为 ③在 轴、 轴上的截距分别为 ， 的直线方程为 ④ 不能表示过 且斜率为 的直线方程⑤两条直线中，斜率越大则倾斜角越大
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、多选题
9．（2020高二上·济宁月考）下列说法不正确的是（　　）
A． 不能表示过点 且斜率为 的直线方程；
B．在 轴、 轴上的截距分别为 的直线方程为 ；
C．直线 与 轴的交点到原点的距离为 ；
D．平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示.
10．（2020高二上·重庆期中）下列说法正确的是（　　）
A．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过 ， 两点的直线方程为
C．直线 与直线 相互垂直．
D．经过点 且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
11．（2020高二上·泉州期中）已知直线 ， ，当 满足一定的条件时，它们的图形可以是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2020高二上·沈阳期中）下列说法错误的是（　　）
A．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
B．直线 的倾斜角 的取值范围是
C．过 ， 两点的所有直线的方程为
D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
三、填空题
13．（2020高二上·上海期中）直线 在 轴上的截距等于 轴上的截距的2倍，则 的值为　 　.
14．（2020高二上·浙江月考）已知直线 过点 ， ，则直线 的倾斜角为　 　，直线 的方程为　 　.
15．（2020高二上·北京期中）已知 的三个顶点分别是 ， ， .若直线 过点 ，且将 分割成面积相等的两部分，则直线 的方程是　 　.
16．（2020高二上·济宁月考）直线 过点 且与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点， 为坐标原点，则 面积的最小值为　 　，当 面积取最小值时直线 的一般式方程是　 　；
四、解答题
17．（2020高二上·大同期中）已知直线
（1）求直线 的斜率；
（2）若直线m与 平行，且过点 ，求m的方程.
18．（2020高二上·尚义期中）根据下列条件求直线的方程：
（1）过点 ，且在两坐标轴上的截距之和为2；
（2）过点 ，且在两坐标轴上的截距之差为2；
（3）过点 ，且在两坐标轴上的截距相等．
19．（2020高二上·南昌月考）如图所示，在平行四边形 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）过点C作 于点D，求直线 的方程.
20．（2020高二上·宣城期中）根据下列条件，求直线方程：
（1）过点A ，且倾斜角是直线 的倾斜角的2倍；
（2）经过点P 且在两坐标轴上的截距相等．
21．（2020高二上·上海月考）过点 作直线 交 轴正半轴于 点、交 轴正半轴于 点
（1）若 时，求这条直线 的方程；
（2）求当三角形 （其中 为坐标原点）的面积为4时的直线 的方程.
22．（2020高二上·上海期中）
（1）已知直线l过点 ，若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的一般式方程；
（2）已知直线l过点 且与x轴，y轴的正半轴相交于A，B两点，求 面积最小值及这时直线l的一般式方程；
（3）已知直线l经过点 ，且与第一象限的平分线 ，y轴（原点除外）分别交于A，B两点，直线l，射线 ，y轴围成的三角形 的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】直线方程2x﹣y﹣12＝0化为 ，斜率为2.
故答案为：A.
【分析】把直线方程化成斜截式即可求得直线斜率。
2．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为 ，
因为直线在 轴上的截距是-2，
所以所求的直线方程为 ，即 ，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率之间的关系式，进而求出直线的斜率，再利用纵截距的已知条件，进而求出直线的斜截式方程，再转化为直线的一般式方程。
3．【答案】A
【知识点】直线的斜率；直线的点斜式方程
【解析】【解答】经过 ， 两点的直线的斜率为 ，
由点斜式可得所求直线方程为 ，即 .
故答案为：A
【分析】根据题意首先由两点的坐标求出直线的斜率，再由点斜式即可求出直线的方程即可。
4．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】易知 ，根据题意， ，可设直线 的方程为 ，
把点A的坐标代入得 ，所以直线 的方程为 。
故答案为：C.
【分析】 利用直线 与y轴的交点为A，易知 ， 把直线l绕着点A逆时针旋转 得直线 ， 所以 ，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而可设直线 的方程为 ，再利用点A在直线 上结合代入法，进而求出m的值，从而求出直线 的方程。
5．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】过点 且与 轴垂直的直线的方程为 ，
故答案为：B。
【分析】利用点斜式求出直线方程。
6．【答案】C
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】设直线 在 轴上的截距为 ，则直线 在 轴上的截距为 ，
当 时，直线 经过原点，其方程为 ，即 ；
当 时，设直线 的方程为 ，因为直线 过点 ，
所以 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，即 .
所以直线 的方程为 或 .
故答案为：C
【分析】设直线 在 轴上的截距为 ，则直线 在 轴上的截距为 ，分类讨论，利用直线方程的截距式可得结果。
7．【答案】B
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】令 ，由 得： ，所以
令 ，由 得： ，所以 ，
故答案为：B．
【分析】根据截距的定义可知，在x轴的截距即令y=0求出的x的值，在y轴上的截距即令x=0求出y的值，分别求出即可得出 ， 的值．
8．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】对于①：当直线的斜率不存在时，直线不能用斜截式，故①不正确；
对于②： 中的b，有正，有负，或是0，所以直线 与 轴的交点到原点的距离为 ，故②不正确；
对于③：当直线的在 轴、 轴上的截距不为0时，才可以表示成 ，故③不正确；
对于④：因为 中需满足 ，所以 不过 ，故④正确；
对于⑤：当一条直线的斜率是正的，另一条直线的斜率是负的，由于正数大于负数，而此时斜率大的直线的倾斜角是锐角，斜率小的直线的倾斜角是钝角，不满足斜率越大，倾斜角越大，故⑤不正确；
所以错误的命题有4个，
故答案为：C.
【分析】分别由直线的斜截式方程、直线在外轴上的截距、直线的截距式方程、斜率的公式以及斜率与倾斜角的关系逐一进行判断，即可得到答案。
9．【答案】B,C,D
【知识点】直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】由于 定义域为 ，故不过点 ，A选项正确；
当 时，在 轴、 轴上的截距分别为0的直线不可用 表示，B不正确；
直线 与 轴的交点为 ，到原点的距离为 ，C不正确；
平面内斜率不存在的直线不可用斜截式表示.
故答案为：BCD
【分析】由 中 可判断A；当 可判断B；由距离为正数可判断C；由截距式斜率一定存在可判断D
10．【答案】A,C
【知识点】直线的斜截式方程；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是 ×4×4＝8，A符合题意；
当x2＝x1或y2＝y1时，式子 ＝ 无意义，B不正确；
直线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0的斜率之积为 ×（﹣2）＝﹣1，故线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0垂直，C符合题意；
经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，D不符合题意，
故答案为：AC．
【分析】选项A直线在数轴上的截距的绝对值除以二即为三角形的面积故A正确。选项B是对两点式方程的检验，该直线不适合垂直于x轴的直线故不正确；选项D有两种情况故不正确
11．【答案】A,C
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：直线 可化为 的斜率为 ，在 轴上的截距为 ．
直线 可化为 ，斜率为 ，在 轴上的截距为 ．
当 时，直线 与 平行，故 正确．
选项 中，由直线在 轴上的截距可得 ， ．
而由直线 的斜率为 ，可得 ，故 不正确．
在选项 中，由直线 的斜率为 ，而直线 在 轴上的截距 ．
直线 在 轴上的截距为 ，直线 的斜率为 ，故 正确．
选项 中，两直线斜率 ， ．
再由直线 在 轴上的截距 ，故 不正确．
故答案为：AC．
【分析】将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，再利用直线斜率与倾斜角的关系判断方法结合纵截距的定义和位置判断法，从而找出当 满足一定的条件时，两条直线的图形。
12．【答案】A,C,D
【知识点】直线的倾斜角；两条直线垂直的判定；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：对于A．当 ，两直线方程分别为 和 ，此时也满足直线垂直，A不符合题意，
对于B．直线的斜率 ，则 ，即 ，则 ， ，B符合题意，
对于C．当 ，或 ，时直线方程为 ，或 ，此时直线方程不成立，C不符合题意，
对于D．若直线过原点，则直线方程为 ，此时也满足条件，D不符合题意，
故答案为：ACD．
【分析】对于A，根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B，根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C，当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D，过原点的直线也满足条件。
13．【答案】 或0
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】直线 ，
当 时，直线化为 ，
在 轴上的截距与在 轴上的截距都为0，满足题意；
当 时，直线化为 ，
在 轴上的截距是 ，在 轴上的截距是 ，
，解得 ；
综上， 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】对直线的截距进行讨论，即 和 两种情况，分别求出截距后，列方程求出 的值．
14．【答案】；
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】由题意知斜率存在，且由斜率公式得： ，
由于 ，且
所以直线l的倾斜角为 ；
由点斜式方程得直线 的方程为： ，整理得： .
故答案为： ；
【分析】 由两点求斜率公式可得AB所在直线斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解，进而求出直线方程.
15．【答案】x+2y-6=0
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】由题意知：
直线 是 在 边上的中线，
由 ， ，
得 的中点坐标为 ，
所以直线 的斜率 ，
则直线 的方程为： ，
故答案为：x+2y-6=0。
【分析】 直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分分，所以直线l是△ABC在BC边上的中线，再利用已知条件结合中点坐标公式，从而求出B，C的中点坐标，再利用两点求斜率公式结合直线的点斜式方程求出直线方程，再转化为直线的一般式方程。
16．【答案】8；x+4y-8=0
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的截距式方程
【解析】【解答】设直线 为 ， ，
因为直线 过点 ，所以 .
又因为 ，即 ， ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
所以 ，此时直线 为 ，即 .
故答案为：8；x+4y-8=0
【分析】首先设直线 为 ， ，根据题意得到 ，再利用基本不等式得到 ，从而得到答案.
17．【答案】（1）解：由 ，可得 ，
所以斜率为 ；
（2）解：由直线m与 平行，且过点 ，
可得m的方程为 ，整理得： .
【知识点】直线的点斜式方程；直线的斜截式方程
【解析】【分析】（1）将直线变形为斜截式即可得斜率；（2）由平行可得斜率，再由点斜式可得结果.
18．【答案】（1）解：在 轴上的截距为5，所以在 轴上的截距为 ，
利用截距式可得方程为 ．
（2）解：在 轴上的截距为5，所以在 轴上的截距为3或7，
利用截距式可得方程为 或 ．
（3）解：①若直线 在坐标轴上的截距不为零（或者说直线 不过原点），
则可设直线方程为 ，由已知 过点 ，即 ，解得 ，
∴ 的方程为 ，即 ；
②若直线 在两坐标轴上的截距为零（或者说直线 过原点），
则可设直线 的方程为 ，代入点A的坐标，得 ．
的方程为 ，即 ，
∴所求直线 的方程为 或
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）利用点（0，5）的坐标求出直线在 轴上的截距为5，再利用直线在两坐标轴上的截距之和为2，从而求出直线在 轴上的截距为 ，从而利用直线的截距式方程，从而求出直线的方程。
（2）利用点（5，0）的坐标求出直线在x轴上的截距为5，再利用直线在两坐标轴上的截距之差为2，从而求出直线在y轴上的截距为3或7 ，从而利用直线的截距式方程，从而求出直线的方程。
（3）利用分类讨论的方法结合代入法和已知条件直线在两坐标轴上的截距相等，从而结合直线的截距式方程，进而求出直线的方程。
19．【答案】（1）解：因为点 ，点 ，所以直线 的斜率 ，
因为 ，所以 ，
所以 所在直线方程为 即 .
（2）解：在平行四边形 中， ，因为 ，
所以 所在直线的斜率 ，
所以 所在直线方程为
，即 .
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）先求出直线 和直线 的斜率，即可求出 所在直线方程；
（2）先求出直线 所在直线的斜率，利用点斜式即可求出 所在直线方程.
20．【答案】（1）解：因为直线 的倾斜角为 ，所以所求直线的倾斜角为
又因过点A ，所以所求直线为
（2）解：设直线 在 轴上的截距均为 ，
若 ，即 过点 和 ，
∴ 的方程为 ，即 ．
若 ，则设 的方程为 ，
∵ 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的方程为 ，
综上可知，直线 的方程为 或 ．
【知识点】直线的点斜式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】(1)首先求出直线的倾斜角进而得出要求直线的倾斜角为，再由点斜式即可求出直线方程即可。
(2)根据题意对a分情况讨论求出不同情况下的直线与坐标轴的交点坐标，结合直线的截距式即可得出答案。
21．【答案】（1）显然直线 的斜率 存在且 ，
设 ： ，得 ， .
则， ， ，由 ，
得， ，即
所以，所求直线 的方程为 或写成 .
（2）由题意知，
，
则 ，解得 .
此时直线 的方程为 或写成 .
【知识点】平面向量的坐标运算；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1)首先整理出直线恒过的定点，由此得出向量的坐标结合已知条件，即可求出k的值从而求出直线的方程。
(2)根据题意首先求出直线的截距，再结合三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
22．【答案】（1）解：设直线l的方程为 ，把点 代入可得 ，又因为 ，
解得， 或 ，故直线l的方程为 或 ，
直线l的一般式方程 或
（2）解：设 ，则直线l方程为 ，把点 代入可得 ，所以 ，得 当且仅当 时等号成立，
即 时 ，又 ，故最小值为12，此时直线l的方程为 ，即直线l的一般式方程
（3）解：依题意，设 ，则 ，面积为 ，
易见，直线l斜率存在，三点都在线上，则 ，即 ，化简得 ，联立方程得 ， ，两根之积 ，故只有一正解，即符合条件的直线只有一条
【知识点】基本不等式；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）先设直线截距式方程，再将点代入，结合条件，即得结果；（2）先设直线截距式方程，再将点代入，利用基本不等式求 最值，即得面积最值和对应方程；（3）先设交点，利用面积和斜率列关系，计算参数，即得结果.
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一第二章直线的方程同步练习
一、单选题
1．（2021高二下·安徽开学考）直线2x﹣y﹣12＝0的斜率为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【答案】A
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】直线方程2x﹣y﹣12＝0化为 ，斜率为2.
故答案为：A.
【分析】把直线方程化成斜截式即可求得直线斜率。
2．（2020高二上·滨州期末）倾斜角为45°，在 轴上的截距是-2的直线方程为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为 ，
因为直线在 轴上的截距是-2，
所以所求的直线方程为 ，即 ，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率之间的关系式，进而求出直线的斜率，再利用纵截距的已知条件，进而求出直线的斜截式方程，再转化为直线的一般式方程。
3．（2020高二上·天津期末）经过 ， 两点的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的斜率；直线的点斜式方程
【解析】【解答】经过 ， 两点的直线的斜率为 ，
由点斜式可得所求直线方程为 ，即 .
故答案为：A
【分析】根据题意首先由两点的坐标求出直线的斜率，再由点斜式即可求出直线的方程即可。
4．（2020高二上·肇庆期末）已知直线 与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转 得直线 ，则直线 的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】易知 ，根据题意， ，可设直线 的方程为 ，
把点A的坐标代入得 ，所以直线 的方程为 。
故答案为：C.
【分析】 利用直线 与y轴的交点为A，易知 ， 把直线l绕着点A逆时针旋转 得直线 ， 所以 ，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而可设直线 的方程为 ，再利用点A在直线 上结合代入法，进而求出m的值，从而求出直线 的方程。
5．（2020高二上·慈溪期末）过点 且与 轴垂直的直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】过点 且与 轴垂直的直线的方程为 ，
故答案为：B。
【分析】利用点斜式求出直线方程。
6．（2020高二上·山西月考）已知直线 过点 ，且在 轴上的截距为 轴上的截距的两倍，则直线 的方程是（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】设直线 在 轴上的截距为 ，则直线 在 轴上的截距为 ，
当 时，直线 经过原点，其方程为 ，即 ；
当 时，设直线 的方程为 ，因为直线 过点 ，
所以 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，即 .
所以直线 的方程为 或 .
故答案为：C
【分析】设直线 在 轴上的截距为 ，则直线 在 轴上的截距为 ，分类讨论，利用直线方程的截距式可得结果。
7．（2020高二上·武汉期中）直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】令 ，由 得： ，所以
令 ，由 得： ，所以 ，
故答案为：B．
【分析】根据截距的定义可知，在x轴的截距即令y=0求出的x的值，在y轴上的截距即令x=0求出y的值，分别求出即可得出 ， 的值．
8．（2020高二上·蚌埠月考）下列说法错误的个数是（　　）
①平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示②直线 与 轴的交点到原点的距离为 ③在 轴、 轴上的截距分别为 ， 的直线方程为 ④ 不能表示过 且斜率为 的直线方程⑤两条直线中，斜率越大则倾斜角越大
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】对于①：当直线的斜率不存在时，直线不能用斜截式，故①不正确；
对于②： 中的b，有正，有负，或是0，所以直线 与 轴的交点到原点的距离为 ，故②不正确；
对于③：当直线的在 轴、 轴上的截距不为0时，才可以表示成 ，故③不正确；
对于④：因为 中需满足 ，所以 不过 ，故④正确；
对于⑤：当一条直线的斜率是正的，另一条直线的斜率是负的，由于正数大于负数，而此时斜率大的直线的倾斜角是锐角，斜率小的直线的倾斜角是钝角，不满足斜率越大，倾斜角越大，故⑤不正确；
所以错误的命题有4个，
故答案为：C.
【分析】分别由直线的斜截式方程、直线在外轴上的截距、直线的截距式方程、斜率的公式以及斜率与倾斜角的关系逐一进行判断，即可得到答案。
二、多选题
9．（2020高二上·济宁月考）下列说法不正确的是（　　）
A． 不能表示过点 且斜率为 的直线方程；
B．在 轴、 轴上的截距分别为 的直线方程为 ；
C．直线 与 轴的交点到原点的距离为 ；
D．平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示.
【答案】B,C,D
【知识点】直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】由于 定义域为 ，故不过点 ，A选项正确；
当 时，在 轴、 轴上的截距分别为0的直线不可用 表示，B不正确；
直线 与 轴的交点为 ，到原点的距离为 ，C不正确；
平面内斜率不存在的直线不可用斜截式表示.
故答案为：BCD
【分析】由 中 可判断A；当 可判断B；由距离为正数可判断C；由截距式斜率一定存在可判断D
10．（2020高二上·重庆期中）下列说法正确的是（　　）
A．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过 ， 两点的直线方程为
C．直线 与直线 相互垂直．
D．经过点 且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
【答案】A,C
【知识点】直线的斜截式方程；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是 ×4×4＝8，A符合题意；
当x2＝x1或y2＝y1时，式子 ＝ 无意义，B不正确；
直线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0的斜率之积为 ×（﹣2）＝﹣1，故线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0垂直，C符合题意；
经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，D不符合题意，
故答案为：AC．
【分析】选项A直线在数轴上的截距的绝对值除以二即为三角形的面积故A正确。选项B是对两点式方程的检验，该直线不适合垂直于x轴的直线故不正确；选项D有两种情况故不正确
11．（2020高二上·泉州期中）已知直线 ， ，当 满足一定的条件时，它们的图形可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：直线 可化为 的斜率为 ，在 轴上的截距为 ．
直线 可化为 ，斜率为 ，在 轴上的截距为 ．
当 时，直线 与 平行，故 正确．
选项 中，由直线在 轴上的截距可得 ， ．
而由直线 的斜率为 ，可得 ，故 不正确．
在选项 中，由直线 的斜率为 ，而直线 在 轴上的截距 ．
直线 在 轴上的截距为 ，直线 的斜率为 ，故 正确．
选项 中，两直线斜率 ， ．
再由直线 在 轴上的截距 ，故 不正确．
故答案为：AC．
【分析】将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，再利用直线斜率与倾斜角的关系判断方法结合纵截距的定义和位置判断法，从而找出当 满足一定的条件时，两条直线的图形。
12．（2020高二上·沈阳期中）下列说法错误的是（　　）
A．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
B．直线 的倾斜角 的取值范围是
C．过 ， 两点的所有直线的方程为
D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
【答案】A,C,D
【知识点】直线的倾斜角；两条直线垂直的判定；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：对于A．当 ，两直线方程分别为 和 ，此时也满足直线垂直，A不符合题意，
对于B．直线的斜率 ，则 ，即 ，则 ， ，B符合题意，
对于C．当 ，或 ，时直线方程为 ，或 ，此时直线方程不成立，C不符合题意，
对于D．若直线过原点，则直线方程为 ，此时也满足条件，D不符合题意，
故答案为：ACD．
【分析】对于A，根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B，根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C，当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D，过原点的直线也满足条件。
三、填空题
13．（2020高二上·上海期中）直线 在 轴上的截距等于 轴上的截距的2倍，则 的值为　 　.
【答案】 或0
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】直线 ，
当 时，直线化为 ，
在 轴上的截距与在 轴上的截距都为0，满足题意；
当 时，直线化为 ，
在 轴上的截距是 ，在 轴上的截距是 ，
，解得 ；
综上， 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】对直线的截距进行讨论，即 和 两种情况，分别求出截距后，列方程求出 的值．
14．（2020高二上·浙江月考）已知直线 过点 ， ，则直线 的倾斜角为　 　，直线 的方程为　 　.
【答案】；
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】由题意知斜率存在，且由斜率公式得： ，
由于 ，且
所以直线l的倾斜角为 ；
由点斜式方程得直线 的方程为： ，整理得： .
故答案为： ；
【分析】 由两点求斜率公式可得AB所在直线斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解，进而求出直线方程.
15．（2020高二上·北京期中）已知 的三个顶点分别是 ， ， .若直线 过点 ，且将 分割成面积相等的两部分，则直线 的方程是　 　.
【答案】x+2y-6=0
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】由题意知：
直线 是 在 边上的中线，
由 ， ，
得 的中点坐标为 ，
所以直线 的斜率 ，
则直线 的方程为： ，
故答案为：x+2y-6=0。
【分析】 直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分分，所以直线l是△ABC在BC边上的中线，再利用已知条件结合中点坐标公式，从而求出B，C的中点坐标，再利用两点求斜率公式结合直线的点斜式方程求出直线方程，再转化为直线的一般式方程。
16．（2020高二上·济宁月考）直线 过点 且与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点， 为坐标原点，则 面积的最小值为　 　，当 面积取最小值时直线 的一般式方程是　 　；
【答案】8；x+4y-8=0
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的截距式方程
【解析】【解答】设直线 为 ， ，
因为直线 过点 ，所以 .
又因为 ，即 ， ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
所以 ，此时直线 为 ，即 .
故答案为：8；x+4y-8=0
【分析】首先设直线 为 ， ，根据题意得到 ，再利用基本不等式得到 ，从而得到答案.
四、解答题
17．（2020高二上·大同期中）已知直线
（1）求直线 的斜率；
（2）若直线m与 平行，且过点 ，求m的方程.
【答案】（1）解：由 ，可得 ，
所以斜率为 ；
（2）解：由直线m与 平行，且过点 ，
可得m的方程为 ，整理得： .
【知识点】直线的点斜式方程；直线的斜截式方程
【解析】【分析】（1）将直线变形为斜截式即可得斜率；（2）由平行可得斜率，再由点斜式可得结果.
18．（2020高二上·尚义期中）根据下列条件求直线的方程：
（1）过点 ，且在两坐标轴上的截距之和为2；
（2）过点 ，且在两坐标轴上的截距之差为2；
（3）过点 ，且在两坐标轴上的截距相等．
【答案】（1）解：在 轴上的截距为5，所以在 轴上的截距为 ，
利用截距式可得方程为 ．
（2）解：在 轴上的截距为5，所以在 轴上的截距为3或7，
利用截距式可得方程为 或 ．
（3）解：①若直线 在坐标轴上的截距不为零（或者说直线 不过原点），
则可设直线方程为 ，由已知 过点 ，即 ，解得 ，
∴ 的方程为 ，即 ；
②若直线 在两坐标轴上的截距为零（或者说直线 过原点），
则可设直线 的方程为 ，代入点A的坐标，得 ．
的方程为 ，即 ，
∴所求直线 的方程为 或
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）利用点（0，5）的坐标求出直线在 轴上的截距为5，再利用直线在两坐标轴上的截距之和为2，从而求出直线在 轴上的截距为 ，从而利用直线的截距式方程，从而求出直线的方程。
（2）利用点（5，0）的坐标求出直线在x轴上的截距为5，再利用直线在两坐标轴上的截距之差为2，从而求出直线在y轴上的截距为3或7 ，从而利用直线的截距式方程，从而求出直线的方程。
（3）利用分类讨论的方法结合代入法和已知条件直线在两坐标轴上的截距相等，从而结合直线的截距式方程，进而求出直线的方程。
19．（2020高二上·南昌月考）如图所示，在平行四边形 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）过点C作 于点D，求直线 的方程.
【答案】（1）解：因为点 ，点 ，所以直线 的斜率 ，
因为 ，所以 ，
所以 所在直线方程为 即 .
（2）解：在平行四边形 中， ，因为 ，
所以 所在直线的斜率 ，
所以 所在直线方程为
，即 .
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）先求出直线 和直线 的斜率，即可求出 所在直线方程；
（2）先求出直线 所在直线的斜率，利用点斜式即可求出 所在直线方程.
20．（2020高二上·宣城期中）根据下列条件，求直线方程：
（1）过点A ，且倾斜角是直线 的倾斜角的2倍；
（2）经过点P 且在两坐标轴上的截距相等．
【答案】（1）解：因为直线 的倾斜角为 ，所以所求直线的倾斜角为
又因过点A ，所以所求直线为
（2）解：设直线 在 轴上的截距均为 ，
若 ，即 过点 和 ，
∴ 的方程为 ，即 ．
若 ，则设 的方程为 ，
∵ 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的方程为 ，
综上可知，直线 的方程为 或 ．
【知识点】直线的点斜式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】(1)首先求出直线的倾斜角进而得出要求直线的倾斜角为，再由点斜式即可求出直线方程即可。
(2)根据题意对a分情况讨论求出不同情况下的直线与坐标轴的交点坐标，结合直线的截距式即可得出答案。
21．（2020高二上·上海月考）过点 作直线 交 轴正半轴于 点、交 轴正半轴于 点
（1）若 时，求这条直线 的方程；
（2）求当三角形 （其中 为坐标原点）的面积为4时的直线 的方程.
【答案】（1）显然直线 的斜率 存在且 ，
设 ： ，得 ， .
则， ， ，由 ，
得， ，即
所以，所求直线 的方程为 或写成 .
（2）由题意知，
，
则 ，解得 .
此时直线 的方程为 或写成 .
【知识点】平面向量的坐标运算；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1)首先整理出直线恒过的定点，由此得出向量的坐标结合已知条件，即可求出k的值从而求出直线的方程。
(2)根据题意首先求出直线的截距，再结合三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
22．（2020高二上·上海期中）
（1）已知直线l过点 ，若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的一般式方程；
（2）已知直线l过点 且与x轴，y轴的正半轴相交于A，B两点，求 面积最小值及这时直线l的一般式方程；
（3）已知直线l经过点 ，且与第一象限的平分线 ，y轴（原点除外）分别交于A，B两点，直线l，射线 ，y轴围成的三角形 的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由.
【答案】（1）解：设直线l的方程为 ，把点 代入可得 ，又因为 ，
解得， 或 ，故直线l的方程为 或 ，
直线l的一般式方程 或
（2）解：设 ，则直线l方程为 ，把点 代入可得 ，所以 ，得 当且仅当 时等号成立，
即 时 ，又 ，故最小值为12，此时直线l的方程为 ，即直线l的一般式方程
（3）解：依题意，设 ，则 ，面积为 ，
易见，直线l斜率存在，三点都在线上，则 ，即 ，化简得 ，联立方程得 ， ，两根之积 ，故只有一正解，即符合条件的直线只有一条
【知识点】基本不等式；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）先设直线截距式方程，再将点代入，结合条件，即得结果；（2）先设直线截距式方程，再将点代入，利用基本不等式求 最值，即得面积最值和对应方程；（3）先设交点，利用面积和斜率列关系，计算参数，即得结果.
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