高中数学人教A版（2019）选择性必修一第二章 第三节 直线的交点和距离同步练习
一、单选题
1．（2020高二上·怀仁月考）直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）
A．(3，-1) B．(-1，3) C．(-3，-1) D．(3，1)
2．（2020高二上·天津月考）若点 到直线 的距离是 ，则实数 为（ ）
A．-1 B．5 C．-1或5 D．-3或3
3．（2020高二上·北京期中）直线 与 的交点在第四象限，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·重庆期中）已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．4
5．（2020高二上·四川期中）过点（1，3）且与原点相距为1的直线共有（ ）.
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
6．（2020高二上·天津期中）过点P(1，2)引直线使两点A(2，3) B(4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ）
A．4x+y-6=0 B．x+4y-6=0
C．2x+3y-7=0或x+4y-6=0 D．4x+y-6=0或3x+2y-7=0
7．（2020高二上·宿州期中）直线 过定点（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高二下·重庆期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 ，若将军从山脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·济宁月考）已知直线 和 ，若直线 到直线 的距离与到直线 的距离之比为 ，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020高二上·河北月考）已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A．y=x+1 B．y=2 C． D．y=2x+1
三、填空题
11．当m变化时，平行线 和 间的距离的最小值等于 .
12．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是 ．
13．（2021·湛江模拟）一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于 的直线方程为 .
14． 到直线 的距离的最大值是 .
15．在平面直角坐标系 中，已知直线 与点 ，若直线 上存在点 满足 ，（ 为坐标原点），则实数 的取值范围是
四、解答题
16．在直线 上求一点P，使它到原点的距离与到直线 的距离相等．
17．综合题。
（1）求两条垂直的直线l1：2x+y+2=0与l2：ax+4y﹣2=0的交点坐标；
（2）求经过直线l1：x+3y﹣3=0与l2：x﹣y+1=0的交点且平行于直线l3：2x+y﹣3=0的直线l的方程．
18．在平面直角坐标系 中，已知点 和 ．
（1）若 ， 是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点 的两条边所在直线的方程；
（2）若 ， 是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．
19．（2020高二上·哈尔滨开学考）已知 的顶点 ， 边上的中线 所在直线方程为 ， 边上的高 所在直线方程为 ．
（Ⅰ）求顶点 的坐标；
（Ⅱ）求 的面积．
20．已知点P(2，－1)．
（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，﹣4），B（6，3），直线l：x+my+1=0．
（1）求AB的中垂线方程；
（2）若点A与点B到直线l的距离相等，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】由题意，联立方程组 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】 要求两条直线的交点坐标，联立两条直线的方程求出解集即可得到.
2．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由点到直线的距离公式可得： ，解得： 或5
故答案为：C
【分析】由点到直线的距离公式进行解答，即可求出实数 的值 。
3．【答案】C
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解： 直线 与 的交点在第四象限，
，
联立方程： ，
解得 ，
即 ，
解得： ，
故答案为：C.
【分析】联立两直线方程求出两直线交点的坐标，再利用交点所在象限，从而求出实数k的取值范围。
4．【答案】A
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为直线 与直线 平行，
所以 ，所以 ，
所以直线 即为 ，即 ，
所以两直线的距离为 .
故答案为：A.
【分析】首先由两条直线平行的关系求出m的值，再由两条直线间的距离公式计算出结果即可。
5．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】当斜率不存在时，过点（1，3）的直线为 ，原点到直线的距离为1，满足题意；
当斜率存在时，设直线的斜率为 ，则直线方程为 ，
即 ，
则原点到直线的距离 ，解得 ，
即直线方程为 ，
即满足题意的直线有2条，
故答案为：C。
【分析】利用分类讨论的方法设出直线方程再利用已知条件结合两点距离公式，从而求出满足要求的直线条数。
6．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为x=1，不成立；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为 ，即 ，
∵直线l与两点A (2，3)， B(4，-5）的距离相等，
解得 或
.:.直线l的方程为 或
整理，得： 或
故答案为：D
【分析】当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为x=1，不成立；当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.
7．【答案】D
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：由 ，得
，即 ，
因为 时，上式恒成立
所以 ，解得 ，
所以直线过的定点为 ，
故答案为：D
【分析】首先整理化简方程得到两条直线的方程再联立两条直线的方程求解出定点的坐标即可。
8．【答案】A
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】如图所示，设点 关于直线 的对称点为 ，
可得 ，解得 ，即
则 ，即“将军饮马”的最短总路程为 .
故答案为：A.
【分析】设点 关于直线 的对称点为 ，根据该直线是BC的中垂线可列出关于x1和y1的方程组，解之，再利用两点间距离公式求出|BC|即可.
9．【答案】B,D
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】设直线 ， 且 ，
直线 到直线 和 的距离分别为 ，
由题知： ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
即直线 为 或 。
故答案为：BD
【分析】首先设直线 ，直线 到直线 和 的距离分别为 ，根据题意得到 ，再解方程即可得到答案。
10．【答案】B,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】A. 点M(5，0)到直线 y=x+1的距离为： ，故错误；
B. 点M(5，0)到直线y=2的距离为： ，故正确；
C. 点M(5，0)到直线 的距离为： ，故正确；
D. 点M(5，0)到直线y=2x+1的距离为： ，故错误；
故答案为：BC
【分析】根据切割型直线的定义，由点M(5，0)到直线距离不大于4求解.
11．【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】平行线 和 间的距离
.
当 时有最小值
故答案为
【分析】根据题意由两条直线间的距离公式求出关于m的代数式再由二次函数的性质即可求出最小值。
12．【答案】±6
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】由题意，两直线的交点在 轴上，可设交点的坐标为 ，
分别代入直线的方程，联立方程组可得 ，整理得 ，解得 ，
故答案为±6.
【分析】根据题意首先求出交点的坐标再把点的坐标代入到直线的方程整理得到关于k的方程时间长k的值即可。
13．【答案】x-2y+9=0（答案不唯一）
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】设该直线方程为
由距离公式可知 ，解得 或
则该直线可为x-2y+9=0
故答案为：x-2y+9=0（答案不唯一）
【分析】 利用平行直线系方程设出所求的直线方程，然后利用两条平行线间的距离公式求解即可．
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由点到直线的距离公式可得，点 到直线 的距离
.
当 时， .
故答案为：
【分析】由点到直线的距离公式代入数值计算出关于距离d的代数式，结合正弦函数的性质即可求出最大值即可。
15．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】由题意设 ，
因为点 ， ，所以 ，
整理得： ①
因为直线 上存在点 满足 ，
所以方程①有解，因此 ，
解得 .
故答案为
【分析】 根据题意设M（x，-x-a），由已知条件利用两点间距离公式得，由此利用根的判别式求出实数a的取值范围即可．
16．【答案】解：设点P的坐标为 ，则 ，
解之得 ．
∴点P的坐标为 或
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】根据题意设出点P的坐标再由点到直线的距离公式代入数值计算出t的值，由此求出点P的坐标即可。
17．【答案】（1）解：由题意可得﹣2×（﹣ ）=﹣1，∴a=﹣2．
两直线即2x+y+2=0与﹣2x+4y﹣2=0．
联立两直线方程，
可得交点的坐标为（﹣1，0）
（2）解：联立方程组 ，解得 ，
∴直线l1：x+3y﹣3=0与l2：x﹣y+1=0的交点为（0，1）
可设平行于直线2x+y﹣3=0的直线方程为2x+y+c=0，
1+c=0，解得c=﹣1，
∴所求直线的方程为：2x+y﹣1=0
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出a=﹣2，把两直线的方程联立方程组求得交点的坐标．（2）解方程组 可得交点，可设平行于直线2x+y﹣3=0的直线方程为2x+y+c=0，代入点的坐标可得c值，可得直线方程．
18．【答案】（1）解：∵ ， ，
， ，
与 直线垂直的直线斜率 ， ，
整理得所求两条直线为 和
（2）解：∵直线 方程为： ，
另外一条对角线斜率 ，
设 中点为 ，则另一条对角线过 点，
∴ ，整理得 ，
设另外两个端点坐标分别为 ， ，
∵ 在直线 上，
∴ ，①
且 ，
∴ ，②
联立①②解出 或 ，
即另外两个端点为 与
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】(1) 首先由点的坐标结合斜率的公式代入数值计算出斜率的值再由垂直的斜率之间的关系求出 与 直线垂直的直线斜率 ，结合点斜式求出直线的方程即可。
(2)根据题意由直线的方程求出直线的斜率再由点斜式求出直线的方程，再由两点间的距离公式求解出端点的坐标即可。
19．【答案】解：（Ⅰ）设点 ，则点 ，由已知有 ，
故点 ，
同理设 则 ， 则点 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 、 ，所以
且 ，
所以直线 的方程为 ，即
边上的高即点 到直线 的距离为
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（Ⅰ）设点 ，即可表示出 点的坐标，由 在 上及 在直线 上得到方程组，解得即可；同理可求 的坐标；（Ⅱ）求出边长 ，以及对应 边上的高，计算 的面积．
20．【答案】（1）解:①当l的斜率k不存在时显然满足要求，
∴l的方程为x＝2；
②当l的斜率k存在时，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由点到直线距离公式得 ，
∴k＝ ，∴l的方程为3x－4y－10＝0.
故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
（2）解:易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线，由l⊥OP得klkOP＝－1，所以 ＝－ ＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，
最大距离为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）先对直线l的斜率的存在性进行讨论，当直线的斜率存在时利用斜截式设出直线l的方程，再由嗲到直线的距离公式列出方程，解方程即可求得斜率k的值，从而求得所需直线的方程；（2）先分析出满足距离最大直线的条件是：过P点且与PO垂直的直线，从而利用两直线垂直求得直线l的斜率，从而利用点斜式求得直线l的方程，也易求得最大距离.
21．【答案】（1）解： ，∴AB的中点坐标为 ，
∴AB的中垂线斜率为﹣ ，
∴AB的中垂线方程为y+ =﹣ （x﹣ ），即9x+7y﹣10=0；
（2）解：∵点A与点B到直线l的距离相等，
∴ = ，
∴m=5或﹣ ．
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）求出AB的中点坐标、中垂线斜率，即可求AB的中垂线方程；（2）若点A与点B到直线l的距离相等，可得方程，即可求m的值．
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一第二章 第三节 直线的交点和距离同步练习
一、单选题
1．（2020高二上·怀仁月考）直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）
A．(3，-1) B．(-1，3) C．(-3，-1) D．(3，1)
【答案】A
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】由题意，联立方程组 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】 要求两条直线的交点坐标，联立两条直线的方程求出解集即可得到.
2．（2020高二上·天津月考）若点 到直线 的距离是 ，则实数 为（ ）
A．-1 B．5 C．-1或5 D．-3或3
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由点到直线的距离公式可得： ，解得： 或5
故答案为：C
【分析】由点到直线的距离公式进行解答，即可求出实数 的值 。
3．（2020高二上·北京期中）直线 与 的交点在第四象限，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解： 直线 与 的交点在第四象限，
，
联立方程： ，
解得 ，
即 ，
解得： ，
故答案为：C.
【分析】联立两直线方程求出两直线交点的坐标，再利用交点所在象限，从而求出实数k的取值范围。
4．（2020高二上·重庆期中）已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为直线 与直线 平行，
所以 ，所以 ，
所以直线 即为 ，即 ，
所以两直线的距离为 .
故答案为：A.
【分析】首先由两条直线平行的关系求出m的值，再由两条直线间的距离公式计算出结果即可。
5．（2020高二上·四川期中）过点（1，3）且与原点相距为1的直线共有（ ）.
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】当斜率不存在时，过点（1，3）的直线为 ，原点到直线的距离为1，满足题意；
当斜率存在时，设直线的斜率为 ，则直线方程为 ，
即 ，
则原点到直线的距离 ，解得 ，
即直线方程为 ，
即满足题意的直线有2条，
故答案为：C。
【分析】利用分类讨论的方法设出直线方程再利用已知条件结合两点距离公式，从而求出满足要求的直线条数。
6．（2020高二上·天津期中）过点P(1，2)引直线使两点A(2，3) B(4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ）
A．4x+y-6=0 B．x+4y-6=0
C．2x+3y-7=0或x+4y-6=0 D．4x+y-6=0或3x+2y-7=0
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为x=1，不成立；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为 ，即 ，
∵直线l与两点A (2，3)， B(4，-5）的距离相等，
解得 或
.:.直线l的方程为 或
整理，得： 或
故答案为：D
【分析】当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为x=1，不成立；当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.
7．（2020高二上·宿州期中）直线 过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：由 ，得
，即 ，
因为 时，上式恒成立
所以 ，解得 ，
所以直线过的定点为 ，
故答案为：D
【分析】首先整理化简方程得到两条直线的方程再联立两条直线的方程求解出定点的坐标即可。
8．（2021高二下·重庆期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 ，若将军从山脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】如图所示，设点 关于直线 的对称点为 ，
可得 ，解得 ，即
则 ，即“将军饮马”的最短总路程为 .
故答案为：A.
【分析】设点 关于直线 的对称点为 ，根据该直线是BC的中垂线可列出关于x1和y1的方程组，解之，再利用两点间距离公式求出|BC|即可.
二、多选题
9．（2020高二上·济宁月考）已知直线 和 ，若直线 到直线 的距离与到直线 的距离之比为 ，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】设直线 ， 且 ，
直线 到直线 和 的距离分别为 ，
由题知： ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
即直线 为 或 。
故答案为：BD
【分析】首先设直线 ，直线 到直线 和 的距离分别为 ，根据题意得到 ，再解方程即可得到答案。
10．（2020高二上·河北月考）已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A．y=x+1 B．y=2 C． D．y=2x+1
【答案】B,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】A. 点M(5，0)到直线 y=x+1的距离为： ，故错误；
B. 点M(5，0)到直线y=2的距离为： ，故正确；
C. 点M(5，0)到直线 的距离为： ，故正确；
D. 点M(5，0)到直线y=2x+1的距离为： ，故错误；
故答案为：BC
【分析】根据切割型直线的定义，由点M(5，0)到直线距离不大于4求解.
三、填空题
11．当m变化时，平行线 和 间的距离的最小值等于 .
【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】平行线 和 间的距离
.
当 时有最小值
故答案为
【分析】根据题意由两条直线间的距离公式求出关于m的代数式再由二次函数的性质即可求出最小值。
12．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是 ．
【答案】±6
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】由题意，两直线的交点在 轴上，可设交点的坐标为 ，
分别代入直线的方程，联立方程组可得 ，整理得 ，解得 ，
故答案为±6.
【分析】根据题意首先求出交点的坐标再把点的坐标代入到直线的方程整理得到关于k的方程时间长k的值即可。
13．（2021·湛江模拟）一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于 的直线方程为 .
【答案】x-2y+9=0（答案不唯一）
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】设该直线方程为
由距离公式可知 ，解得 或
则该直线可为x-2y+9=0
故答案为：x-2y+9=0（答案不唯一）
【分析】 利用平行直线系方程设出所求的直线方程，然后利用两条平行线间的距离公式求解即可．
14． 到直线 的距离的最大值是 .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由点到直线的距离公式可得，点 到直线 的距离
.
当 时， .
故答案为：
【分析】由点到直线的距离公式代入数值计算出关于距离d的代数式，结合正弦函数的性质即可求出最大值即可。
15．在平面直角坐标系 中，已知直线 与点 ，若直线 上存在点 满足 ，（ 为坐标原点），则实数 的取值范围是
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】由题意设 ，
因为点 ， ，所以 ，
整理得： ①
因为直线 上存在点 满足 ，
所以方程①有解，因此 ，
解得 .
故答案为
【分析】 根据题意设M（x，-x-a），由已知条件利用两点间距离公式得，由此利用根的判别式求出实数a的取值范围即可．
四、解答题
16．在直线 上求一点P，使它到原点的距离与到直线 的距离相等．
【答案】解：设点P的坐标为 ，则 ，
解之得 ．
∴点P的坐标为 或
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】根据题意设出点P的坐标再由点到直线的距离公式代入数值计算出t的值，由此求出点P的坐标即可。
17．综合题。
（1）求两条垂直的直线l1：2x+y+2=0与l2：ax+4y﹣2=0的交点坐标；
（2）求经过直线l1：x+3y﹣3=0与l2：x﹣y+1=0的交点且平行于直线l3：2x+y﹣3=0的直线l的方程．
【答案】（1）解：由题意可得﹣2×（﹣ ）=﹣1，∴a=﹣2．
两直线即2x+y+2=0与﹣2x+4y﹣2=0．
联立两直线方程，
可得交点的坐标为（﹣1，0）
（2）解：联立方程组 ，解得 ，
∴直线l1：x+3y﹣3=0与l2：x﹣y+1=0的交点为（0，1）
可设平行于直线2x+y﹣3=0的直线方程为2x+y+c=0，
1+c=0，解得c=﹣1，
∴所求直线的方程为：2x+y﹣1=0
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出a=﹣2，把两直线的方程联立方程组求得交点的坐标．（2）解方程组 可得交点，可设平行于直线2x+y﹣3=0的直线方程为2x+y+c=0，代入点的坐标可得c值，可得直线方程．
18．在平面直角坐标系 中，已知点 和 ．
（1）若 ， 是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点 的两条边所在直线的方程；
（2）若 ， 是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．
【答案】（1）解：∵ ， ，
， ，
与 直线垂直的直线斜率 ， ，
整理得所求两条直线为 和
（2）解：∵直线 方程为： ，
另外一条对角线斜率 ，
设 中点为 ，则另一条对角线过 点，
∴ ，整理得 ，
设另外两个端点坐标分别为 ， ，
∵ 在直线 上，
∴ ，①
且 ，
∴ ，②
联立①②解出 或 ，
即另外两个端点为 与
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】(1) 首先由点的坐标结合斜率的公式代入数值计算出斜率的值再由垂直的斜率之间的关系求出 与 直线垂直的直线斜率 ，结合点斜式求出直线的方程即可。
(2)根据题意由直线的方程求出直线的斜率再由点斜式求出直线的方程，再由两点间的距离公式求解出端点的坐标即可。
19．（2020高二上·哈尔滨开学考）已知 的顶点 ， 边上的中线 所在直线方程为 ， 边上的高 所在直线方程为 ．
（Ⅰ）求顶点 的坐标；
（Ⅱ）求 的面积．
【答案】解：（Ⅰ）设点 ，则点 ，由已知有 ，
故点 ，
同理设 则 ， 则点 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 、 ，所以
且 ，
所以直线 的方程为 ，即
边上的高即点 到直线 的距离为
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（Ⅰ）设点 ，即可表示出 点的坐标，由 在 上及 在直线 上得到方程组，解得即可；同理可求 的坐标；（Ⅱ）求出边长 ，以及对应 边上的高，计算 的面积．
20．已知点P(2，－1)．
（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
【答案】（1）解:①当l的斜率k不存在时显然满足要求，
∴l的方程为x＝2；
②当l的斜率k存在时，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由点到直线距离公式得 ，
∴k＝ ，∴l的方程为3x－4y－10＝0.
故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
（2）解:易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线，由l⊥OP得klkOP＝－1，所以 ＝－ ＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，
最大距离为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）先对直线l的斜率的存在性进行讨论，当直线的斜率存在时利用斜截式设出直线l的方程，再由嗲到直线的距离公式列出方程，解方程即可求得斜率k的值，从而求得所需直线的方程；（2）先分析出满足距离最大直线的条件是：过P点且与PO垂直的直线，从而利用两直线垂直求得直线l的斜率，从而利用点斜式求得直线l的方程，也易求得最大距离.
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，﹣4），B（6，3），直线l：x+my+1=0．
（1）求AB的中垂线方程；
（2）若点A与点B到直线l的距离相等，求m的值．
【答案】（1）解： ，∴AB的中点坐标为 ，
∴AB的中垂线斜率为﹣ ，
∴AB的中垂线方程为y+ =﹣ （x﹣ ），即9x+7y﹣10=0；
（2）解：∵点A与点B到直线l的距离相等，
∴ = ，
∴m=5或﹣ ．
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）求出AB的中点坐标、中垂线斜率，即可求AB的中垂线方程；（2）若点A与点B到直线l的距离相等，可得方程，即可求m的值．
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