高中数学人教A版（2019）选择性必修一立体几何与空间向量章节检测

高中数学人教A版（2019）选择性必修一立体几何与空间向量章节检测
一、单选题
1．（2020高三上·青岛期末）设 ， 是两个不同的平面， 是一条直线，以下结论正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
2．（2021·肥城模拟）如图， 为圆锥底面直径，点 是底面圆 上异于 的动点，已知 ，圆锥侧面展开图是圆心角为 的扇形，当 与 所成角为 时， 与 所成角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高三上·德州期末）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为 ，则该模型中球的体积为（　　）
A． B．4π C． D．
4．（2019·江南模拟）如图所示，正方体 中，点 ， ， ， ， 分别为棱 ， ， ， ， 的中点.则下列叙述中正确的是（　　）
A．直线 平面 B．直线 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
5．（2013·山东理）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·泰安模拟）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 中， ，若 ，当阳马 的体积最大时，堑堵 中异面直线 所成角的大小是（　　）
A． B． C． D．
7．（2019高三上·临沂期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AM⊥平面A1BD，垂足为M，以下四个结论中正确的个数为（　　）
①AM垂直于平面CB1D1；②直线AM与BB1所成的角为45°；③AM的延长线过点C1；④直线AM与平面A1B1C1D1所成的角为60°
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2019高三上·台州期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020·枣庄模拟）在长方体 中， ， ， 分别是 上的动点，下列结论正确的是（　　）
A．对于任意给定的点P，存在点 使得
B．对于任意给定的点Q，存在点 使得
C．当 时，
D．当 时， 平面
10．（2021·青岛模拟）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽 厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（　　）
A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为 平方厘米
C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为 平方厘米
D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为 厘米
11．（2020高三上·泰安期末）如图，在正方体 中， 是棱 上的动点．则下列结论正确的是（　　）
A． 平面
B．
C．直线 与 所成角的范围为
D．二面角 的大小为
12．（2020高三上·济南月考）如图，正方体 的棱长为1，动点E在线段 上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B． 平面
C．存在点E，使得平面 平面
D．三棱锥 的体积为定值
三、填空题
13．（2021·淄博模拟）已知某圆锥底面圆的半径 ，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为　 　.
14．（2018·榆林模拟）设 是不同的直线， 是不同的平面，则下列命题正确的是　 　．
①若 ，则 或 .
②若 ，则 或 .
③若 ，则 或 与 相交.
④若 ，则 或 .
15．（2019·淄博模拟）如图所示，平面 平面 ， ，四边形 为正方形，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为　 　．
16．（2020·威海模拟）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为 的鳖臑 中， 平面 ，且 ， ，则该鳖臑外接球的表面积为　 　．
四、解答题
17．（2021·济南模拟）如图，四棱锥
的底面
为直角梯形，
，且
为等边三角形，平面
平面
；点
分别为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
18．（2021·潍坊模拟）已知多面体 中， 为正方形，平面 平面 ， ， ， ， ， .
（1）证明： ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
19．（2021·淄博模拟）在图1所示的平面图形 中， 是边长为4的等边三角形， 是 的平分线，且 ， 为 的中点，以 为折痕将 折起得到四棱锥 （如图2）．
（1）设平面 和 的交线为 ，在四棱雉 的棱 上求一点 ，使直线 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求平面 和 所成锐二面角的余弦值．
20．（2021·泰安模拟）如图，在三棱柱 中，平面 平面
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
21．（2021·潍坊模拟）如图，已知 是以 为底边的等腰三角形，将 绕 转动到 位置，使得平面 平面 ，连接 ， ， 分别是 ， 的中点．
（1）证明： ；
（2）在① ，②点 到平面 的距离为3，③直线 与平面 所成的角为60°这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角 的余弦值．
22．（2021·肥城模拟）已知三棱柱 ， ， ， ，点 为 中点.
（1）试确定线段 上一点 ，使 平面 ；
（2）在（1）的条件下，若平面 平面 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A. 若两平面平行，则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平面，A符合题意.
B. 若 ，若 ， 且直线 不在平面 内，
此时满足 ， ，但此时 ，B不正确.
C. 若 ， ，则直线 可能有 ，也可能有 ，C不正确.
D. 若 ， ,则直线 可能在平面 内，可能与平面 相交，也可能 ，D不正确.
故答案为：A
【分析】利用直线与平面以及面面之间的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设圆锥母线长为 ，则 ，解得 ，
， 与 所成角 ，
， 中 ，
作 与圆 交于点 ，
连接 ，四边形 为平行四边形， ，
连接 ，则 为 与 所成角，
中 ，可得 ，
。
故答案为：C.
【分析】设圆锥母线长为 ，再利用扇形面积公式得出 ，从而求出的长，因为 ，所以 与 所成角 ，所以 ，在 中，利用勾股定理得出 的长 ，作 与圆 交于点 ，连接 ，四边形 为平行四边形，得出 ，连接 ，则 为 与 所成角，在 中， ，可得 ，从而求出当 与 所成角为 时， 与 所成角。
3．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意球的表面积为 ，即 ， ，
所以体积为 。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合球的表面积公式，进而求出球的半径，再利用球的体积公式，进而求出该模型中球的体积。
4．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】过点 的截面如图所示（ 分别为 的中点）
， 平面 ， 平面
平面
故答案为：
【分析】根据正方体中各点的位置，利用直线与平面的关系可得结论.
5．【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，
∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，
∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．
∵ = = ．
∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1= = ，解得 ．
又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴ = =1，
在Rt△AA1P中， ，
∴ ．
故选B．
【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1= 即可得出．
6．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】在堑堵 中， 平面 ， 平面
所以 ，又 ，且 ，所以 平面
所以阳马 的体积为
在直角三角形 中，
即 ，当且仅当 时取得等号.
所以当 时，阳马 的体积取得最大值
又 ，所以 （或其补角）为异面直线 所成角
，
即 ，所以
故答案为：C
【分析】由 ，所以 （或其补角）为异面直线 所成角，由题意可得 平面 ，则阳马 的体积为 ，由均值不等式可得当 时，阳马 的体积取得最大值，从而求出边长，得出答案。
7．【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于①，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AM⊥平面A1BD，
且平面A1BD∥CB1D1，∴AM⊥平面CB1D1，①正确；
对于②，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A（0，0，1），B（1，0，1），C（1，1，1），D（0，1，1），
A1（0，0，0），∴ =（﹣1，1，0）， =（1，0，1），
设平面BDA1的法向量为 =（x，y，z），
则 ，即 ，令x=1，则y=1，z=﹣1，∴ =（1，1，﹣1），
=（0，0，1），
∴cos＜ ， ＞= =﹣ ，
∴ 与 的夹角不是45°且不是135°，
又 与 共线，∴直线AM与BB1所成的角不是45°，②错误；
对于③， =（1，1，﹣1），与平面CB1D1的法向量 共线，
∴ 与 共线，即AM的延长线过点C1，③正确；
④ 与 共线，且tan∠AC1A1= = ，
∴AC1与平面A1B1C1D1所成的角是arctan ，
即直线AM与平面A1B1C1D1所成的角不是60°，④错误；
综上，正确的命题序号是①③，共2个．
故答案为：B．
【分析】建立空间直角坐标系，通过点的坐标表示相应的向量，利用空间向量的关系确定直线与平面的位置关系或求直线与平面所成的角即可.
8．【答案】B
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】取 的中点 ， 的中点为 ，因为 为等腰三角形，
故 ，同理 ， ，所以有 平面 ．
因为 平面 ，故平面 平面 ．
在四棱锥 中过点 作 的垂线，垂足为 ，再过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ．
因为 ， 平面 ，平面 平面 ，故 平面 ．
因为 平面 ，故 ，
又 ， ，故 平面 ，
又 平面 ，故 ，所以 为二面角 的平面角．
设 ，则 ， ，
，
所以 ，其中 ．
令 ，则 ，令 且 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 ，故 ，
故答案为：B．
【分析】取 的中点 ， 的中点为 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，再过 作 的垂线，垂足为 ，
可证 为二面角 的平面角，计算求其大小即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】如图所示，建立空间直角坐标系，设 ， ， ， ，
设 ，得到 ， .
， ， ，当 时， ， 正确；
， ，取 时， ， 正确；
，则 ，
，此时 ， 错误；
，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ，
故 ，故 平面 ，D符合题意.
故答案为： .
【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算 ， ， ， ，得到答案
10．【答案】A,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】对于A： ，
所以 ，
所以 ，A符合题意．
对于B：设 ，截面三角形面积和 ，B不符合题意；
对于C：设外接球球心为 ，半径为 ，∴
在 中，由勾股定理可得： ，解得：
所以该球的表面积 ， C符合题意；
对于D：设球心为 ，截面主视图如下图，设内切圆半径为 ，
各边长分别为 ， ，
所以 ，解得： ，
D符合题意．
故答案为：ACD
【分析】 利用勾股定理求出PO，在△BPO中，利用边角关系求出∠BPO，即可判断选项A，设∠APB=θ，用θ表示出截面三角形的面积结合正弦函数的有界性，即可判断选项B，设外接球球心为M，半径为R，在在△AOM中，求出R，由球的表面积公式求解即可判断选项C，设球心为O'，设内切圆半径为r，利用等面积法求出r，即可判断选项D．
11．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】对于A：因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，A符合题意；
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ，则 ， ，
， ， ，
对于B： ， ，因为
，所以 ，即 ，B符合题意；
对于C： ， ，设直线 与 所成角为 ，
则 ，当 时最大等于 ，此时 最小为 ，当 时 最小等于 ，此时 最大为 ，所以 ，即直线 与 所成角的范围为 ，C不正确；
对于D：二面角 即二面角 ，因为 ， ，
平面 ， 平面 ，所以 即为二面角 的平面角，
在正方形 中， ，所以二面角 的大小为 ，符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，再由空间向量的坐标运算以及数量积的坐标运算公式即可求出线线垂直、线面角以及二面角的平面角的大小，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】在A中，因为 分别是 的中点，所以 ，A符合题意；
在B中，因为 ， ，故 ，
故 .故 ，又有 ，
所以 平面 ，B符合题意；
在C中， 与平面 有交点，所以不存在点 ，使得平面 平面 ，C不符合题意.
在D中，三棱锥 以面 为底，则高是定值，所以三棱锥 的体积为定值，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】对A，根据中位线的性质判定即可.
对B，利用平面几何方法证明 再证明 平面 即可.
对C，根据 与平面 有交点判定即可.
对D，根据三棱锥 以 为底，且同底高不变，故体积不变判定即可.
13．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】圆锥底面圆的半径 ，
则圆锥的底面圆周长为 ，
由圆锥的展开图中,底面圆的周长为展开扇形的弧长,由展开图为半圆可得，
设展开后半圆的半径为 ,则 ,解得 ，
又由圆锥的结构可知,圆锥的母线为 ，
所以圆锥的高为 ，
则圆锥的体积为 ，
故答案为: 。
【分析】 利用某圆锥底面圆的半径 ，侧面展开图是一个半圆，再结合扇形的弧长公式，进而求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，再结合圆锥的体积公式，进而求出圆锥的体积。
14．【答案】②
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】①若l⊥m，m⊥α，则l α或 l∥α，故①错；
②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l α，故②对；
③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交，或l与m异面，故③错；
④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l β或l∥β或l β，或l与β相交．故④错．
故答案为：②
【分析】对各小题中的结论结合线面与面面平行垂直的判定和性质进行判断。
15．【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由题目中的位置关系，可将原图补为如图所示的直四棱柱：
异面直线 与 所成角即为直线 与 所成角
由余弦定理可得：
，又
.
本题正确结果：
【分析】利用直四棱柱的结构特征和已知条件找出异面直线所成的角，再利用余弦定理求出异面直线所成角的余弦值。
16．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】如图，
则该鳖臑四个面都是直角三角形，
且 平面 ，所以 ，
故 ，
所以 ，
由 知 ，
即 ，
在直角三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等，
可知AD中点O到A，B，C，D的距离相等，
所以鳖臑外接球的球心为 ，半径 ，
球的表面积 ，
故答案为：
【分析】根据鳖臑 的体积可求出 ，由勾股定理可求出 ，确定外接球球心为 中点，可得到球半径，即可求出球的表面积
17．【答案】（1）设 的中点为 ，连接 ，
为 的中点，所以 为 的中位线，
则可得 ，且 ；
在梯形 中， ，且 ，
，
所以四边形 是平行四边形，
，又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
法二：设 为 的中点，连接 ，
为 的中点，
所以 是 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又在梯形 中， ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，
平面 ．
（2）设 的中点为 ，又 ．
因为平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，
平面 ，
又由 ， ，
．
即有 两两垂直，如图，以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立坐标系．
已知点 ，
设平面 的法向量为： ．
则有 ，可得平面 的一个法向量为 ，
，
可得： ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)法一：根据题意作出辅助线由中点的性质得出线线平行，结合梯形的性质即可得出线线平行，由此得出四边形 是平行四边形，从而得出线线平行再由线面平行的判定定理即可得证出结论。法二：根据题意作出辅助线由中卫咸的性质即可得出线线平行，由线面平行的判定定理即可得出线面平行，由线面平行的性质定理即可得出线线平行，由此得出四边形 是平行四边形 ，进而得出线线平行，再由面面平行的性质定理即可得出线面平行即可。
(2)由已知条件结合面面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面 法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面 的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值即线面角的正弦值，由此得到直线 与平面 所成角的正弦值.
18．【答案】（1）因为 ， ， ，由勾股定理，可得 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
由 平面 ，可得 .
在正方形 中，有 ，
平面 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， ；
（2）以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
可得 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量
由 可得 令 ，得到 ，
可得 令 ，可得 ，
，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 因为 ， ， ，由勾股定理，可得 的长， 因为 ，再利用对应边成比例，所以 ，因为 ，所以 ，
再利用两三角形相似的判断方法，所以 ，因为 ，所以 ，又因为平面 平面 ，从而由面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，可得 ，在正方形 中，有 ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。
（2） 以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系， 从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
19．【答案】（1）解：延长 ， ，其交点为 ，如图所示，
因为点 ， 既在平面 内，又在平面 内，
所以直线 为平面 与 的交线 ，
因为 为是 的平分线，且 ，所以 为 的中点，
取 中点 ，连接 ，则 为 的中位线，
所以直线 ，即 ，
故 为棱 的中点．
（2）解：因为 ， ，所以 ，
又因为 ，
所以 为等边三角形，取 的中点 为坐标原点，以 所在直线为 轴，在平面 内过点 且和 垂直的直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，
所以： ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
设平面 和 所成锐二面角的大小为 ，
所以 ，
所以平面 和 所成锐二面角的余弦值为 ．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）根据线m与已知面平行，则m平行与过这条线m的面与已知面的交线l。由 ，所以BN平行面ADM， 所以BN//l.
（2）由BM垂直面AMD，所以 。由此找到A点的纵坐标，根据已知条件建系求点，然后根据两个法向量求二面角。由观察得出为锐二面角，结果取正值。
20．【答案】（1）由题知，四边形 为菱形，则 ，
又平面 平面 ，且AC为交线， ，
则 平面 ，又 平面 ，
则 ，又 ，
则 平面 ，又 平面 ，
则平面 平面 ；
（2）设 ，由（1）知， 平面 ，
则 即为 与平面 所成角， ，
由 ，结合（1）中结论有， ，
则 ， ，三角形 为正三角形，在菱形 中，
， ， ，
由（1）知， 平面 ，则 ，
延长 ，作 于F点，则 ，
平面 ，从而
则 即为二面角 的平面角，
则 ，则
即二面角 的余弦值为
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】 (1)推导出 平面 ， ， ，从而 平面 ，由此能证明平面 平面 ；
(2) 由（1）知， 平面 ，则 即为 与平面 所成角，由（1）知， 平面 ， 则 即为二面角 的平面角，则 即可得出 二面角 的余弦值 。
21．【答案】（1）证明：如图（1），过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
图（1）
由题意知， ，易证 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ．
（2）解：过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，
由平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 ．
以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图（2）所示的空间直角坐标系．
图（2）
设 ， ，
由条件①得 ，
由条件②得 ，
由条件③得 ，即 ．
若选条件①②，可求得 ．
， ， ， ，
因而 ， ，
所以 ， ．
设平面 的一个法向量 ，
由 得 取 ，
又易知平面 的一个法向量 ，
故 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
若选①③或②③均可求得 ，下同．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 （1）过点 作 ，垂足为 ，连接 ，由题意结合两三角形全等的判断方法，得出 ，进而得出 ，再利用全等三角形的性质，所以 ，即 ，因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。
（2） 过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，由平面 平面 结合面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 在① ，②点 到平面 的距离为3，③直线 与平面 所成的角为60°这三个条件中选择两个作为已知条件， 从而求出AB的长，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求夹角公式，从而求出二面角 的余弦值。
22．【答案】（1）解：当 时， 平面
证明如下：设 ，连接 ，则 ，
由 ，得
又 平面 ，
平面
平面
（2）解：取 中点 ，连接 ，
，
又
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面
，
，
，
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， ，
， ， ，
， ，
，设平面 法向量 ，则
解得 令 ，得
取平面 法向量
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 当 时， 平面 ，证明如下：设 ，连接 ，再利用对应边成比例，则 ，由 ，得 ，再利用对应边成比例两直线平行，所以，再利用线线平行推出线面平行，所以当 时， 平面 。
（2） 取 中点 ，连接 ， ，因为 ，再利用等腰三角形三线合一，所以 ，又因为 ，所以 ，因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，因为 ， ，再利用等边三角形的性质，得出 ，再利用勾股定理求出 ，再利用勾股定理推出线线垂直， 所以，以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一立体几何与空间向量章节检测
一、单选题
1．（2020高三上·青岛期末）设 ， 是两个不同的平面， 是一条直线，以下结论正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】A
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A. 若两平面平行，则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平面，A符合题意.
B. 若 ，若 ， 且直线 不在平面 内，
此时满足 ， ，但此时 ，B不正确.
C. 若 ， ，则直线 可能有 ，也可能有 ，C不正确.
D. 若 ， ,则直线 可能在平面 内，可能与平面 相交，也可能 ，D不正确.
故答案为：A
【分析】利用直线与平面以及面面之间的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。
2．（2021·肥城模拟）如图， 为圆锥底面直径，点 是底面圆 上异于 的动点，已知 ，圆锥侧面展开图是圆心角为 的扇形，当 与 所成角为 时， 与 所成角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设圆锥母线长为 ，则 ，解得 ，
， 与 所成角 ，
， 中 ，
作 与圆 交于点 ，
连接 ，四边形 为平行四边形， ，
连接 ，则 为 与 所成角，
中 ，可得 ，
。
故答案为：C.
【分析】设圆锥母线长为 ，再利用扇形面积公式得出 ，从而求出的长，因为 ，所以 与 所成角 ，所以 ，在 中，利用勾股定理得出 的长 ，作 与圆 交于点 ，连接 ，四边形 为平行四边形，得出 ，连接 ，则 为 与 所成角，在 中， ，可得 ，从而求出当 与 所成角为 时， 与 所成角。
3．（2020高三上·德州期末）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为 ，则该模型中球的体积为（　　）
A． B．4π C． D．
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意球的表面积为 ，即 ， ，
所以体积为 。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合球的表面积公式，进而求出球的半径，再利用球的体积公式，进而求出该模型中球的体积。
4．（2019·江南模拟）如图所示，正方体 中，点 ， ， ， ， 分别为棱 ， ， ， ， 的中点.则下列叙述中正确的是（　　）
A．直线 平面 B．直线 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】过点 的截面如图所示（ 分别为 的中点）
， 平面 ， 平面
平面
故答案为：
【分析】根据正方体中各点的位置，利用直线与平面的关系可得结论.
5．（2013·山东理）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，
∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，
∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．
∵ = = ．
∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1= = ，解得 ．
又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴ = =1，
在Rt△AA1P中， ，
∴ ．
故选B．
【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1= 即可得出．
6．（2021·泰安模拟）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 中， ，若 ，当阳马 的体积最大时，堑堵 中异面直线 所成角的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】在堑堵 中， 平面 ， 平面
所以 ，又 ，且 ，所以 平面
所以阳马 的体积为
在直角三角形 中，
即 ，当且仅当 时取得等号.
所以当 时，阳马 的体积取得最大值
又 ，所以 （或其补角）为异面直线 所成角
，
即 ，所以
故答案为：C
【分析】由 ，所以 （或其补角）为异面直线 所成角，由题意可得 平面 ，则阳马 的体积为 ，由均值不等式可得当 时，阳马 的体积取得最大值，从而求出边长，得出答案。
7．（2019高三上·临沂期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AM⊥平面A1BD，垂足为M，以下四个结论中正确的个数为（　　）
①AM垂直于平面CB1D1；②直线AM与BB1所成的角为45°；③AM的延长线过点C1；④直线AM与平面A1B1C1D1所成的角为60°
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于①，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AM⊥平面A1BD，
且平面A1BD∥CB1D1，∴AM⊥平面CB1D1，①正确；
对于②，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A（0，0，1），B（1，0，1），C（1，1，1），D（0，1，1），
A1（0，0，0），∴ =（﹣1，1，0）， =（1，0，1），
设平面BDA1的法向量为 =（x，y，z），
则 ，即 ，令x=1，则y=1，z=﹣1，∴ =（1，1，﹣1），
=（0，0，1），
∴cos＜ ， ＞= =﹣ ，
∴ 与 的夹角不是45°且不是135°，
又 与 共线，∴直线AM与BB1所成的角不是45°，②错误；
对于③， =（1，1，﹣1），与平面CB1D1的法向量 共线，
∴ 与 共线，即AM的延长线过点C1，③正确；
④ 与 共线，且tan∠AC1A1= = ，
∴AC1与平面A1B1C1D1所成的角是arctan ，
即直线AM与平面A1B1C1D1所成的角不是60°，④错误；
综上，正确的命题序号是①③，共2个．
故答案为：B．
【分析】建立空间直角坐标系，通过点的坐标表示相应的向量，利用空间向量的关系确定直线与平面的位置关系或求直线与平面所成的角即可.
8．（2019高三上·台州期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】取 的中点 ， 的中点为 ，因为 为等腰三角形，
故 ，同理 ， ，所以有 平面 ．
因为 平面 ，故平面 平面 ．
在四棱锥 中过点 作 的垂线，垂足为 ，再过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ．
因为 ， 平面 ，平面 平面 ，故 平面 ．
因为 平面 ，故 ，
又 ， ，故 平面 ，
又 平面 ，故 ，所以 为二面角 的平面角．
设 ，则 ， ，
，
所以 ，其中 ．
令 ，则 ，令 且 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 ，故 ，
故答案为：B．
【分析】取 的中点 ， 的中点为 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，再过 作 的垂线，垂足为 ，
可证 为二面角 的平面角，计算求其大小即可.
二、多选题
9．（2020·枣庄模拟）在长方体 中， ， ， 分别是 上的动点，下列结论正确的是（　　）
A．对于任意给定的点P，存在点 使得
B．对于任意给定的点Q，存在点 使得
C．当 时，
D．当 时， 平面
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】如图所示，建立空间直角坐标系，设 ， ， ， ，
设 ，得到 ， .
， ， ，当 时， ， 正确；
， ，取 时， ， 正确；
，则 ，
，此时 ， 错误；
，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ，
故 ，故 平面 ，D符合题意.
故答案为： .
【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算 ， ， ， ，得到答案
10．（2021·青岛模拟）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽 厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（　　）
A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为 平方厘米
C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为 平方厘米
D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为 厘米
【答案】A,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】对于A： ，
所以 ，
所以 ，A符合题意．
对于B：设 ，截面三角形面积和 ，B不符合题意；
对于C：设外接球球心为 ，半径为 ，∴
在 中，由勾股定理可得： ，解得：
所以该球的表面积 ， C符合题意；
对于D：设球心为 ，截面主视图如下图，设内切圆半径为 ，
各边长分别为 ， ，
所以 ，解得： ，
D符合题意．
故答案为：ACD
【分析】 利用勾股定理求出PO，在△BPO中，利用边角关系求出∠BPO，即可判断选项A，设∠APB=θ，用θ表示出截面三角形的面积结合正弦函数的有界性，即可判断选项B，设外接球球心为M，半径为R，在在△AOM中，求出R，由球的表面积公式求解即可判断选项C，设球心为O'，设内切圆半径为r，利用等面积法求出r，即可判断选项D．
11．（2020高三上·泰安期末）如图，在正方体 中， 是棱 上的动点．则下列结论正确的是（　　）
A． 平面
B．
C．直线 与 所成角的范围为
D．二面角 的大小为
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】对于A：因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，A符合题意；
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ，则 ， ，
， ， ，
对于B： ， ，因为
，所以 ，即 ，B符合题意；
对于C： ， ，设直线 与 所成角为 ，
则 ，当 时最大等于 ，此时 最小为 ，当 时 最小等于 ，此时 最大为 ，所以 ，即直线 与 所成角的范围为 ，C不正确；
对于D：二面角 即二面角 ，因为 ， ，
平面 ， 平面 ，所以 即为二面角 的平面角，
在正方形 中， ，所以二面角 的大小为 ，符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，再由空间向量的坐标运算以及数量积的坐标运算公式即可求出线线垂直、线面角以及二面角的平面角的大小，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2020高三上·济南月考）如图，正方体 的棱长为1，动点E在线段 上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B． 平面
C．存在点E，使得平面 平面
D．三棱锥 的体积为定值
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】在A中，因为 分别是 的中点，所以 ，A符合题意；
在B中，因为 ， ，故 ，
故 .故 ，又有 ，
所以 平面 ，B符合题意；
在C中， 与平面 有交点，所以不存在点 ，使得平面 平面 ，C不符合题意.
在D中，三棱锥 以面 为底，则高是定值，所以三棱锥 的体积为定值，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】对A，根据中位线的性质判定即可.
对B，利用平面几何方法证明 再证明 平面 即可.
对C，根据 与平面 有交点判定即可.
对D，根据三棱锥 以 为底，且同底高不变，故体积不变判定即可.
三、填空题
13．（2021·淄博模拟）已知某圆锥底面圆的半径 ，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为　 　.
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】圆锥底面圆的半径 ，
则圆锥的底面圆周长为 ，
由圆锥的展开图中,底面圆的周长为展开扇形的弧长,由展开图为半圆可得，
设展开后半圆的半径为 ,则 ,解得 ，
又由圆锥的结构可知,圆锥的母线为 ，
所以圆锥的高为 ，
则圆锥的体积为 ，
故答案为: 。
【分析】 利用某圆锥底面圆的半径 ，侧面展开图是一个半圆，再结合扇形的弧长公式，进而求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，再结合圆锥的体积公式，进而求出圆锥的体积。
14．（2018·榆林模拟）设 是不同的直线， 是不同的平面，则下列命题正确的是　 　．
①若 ，则 或 .
②若 ，则 或 .
③若 ，则 或 与 相交.
④若 ，则 或 .
【答案】②
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】①若l⊥m，m⊥α，则l α或 l∥α，故①错；
②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l α，故②对；
③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交，或l与m异面，故③错；
④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l β或l∥β或l β，或l与β相交．故④错．
故答案为：②
【分析】对各小题中的结论结合线面与面面平行垂直的判定和性质进行判断。
15．（2019·淄博模拟）如图所示，平面 平面 ， ，四边形 为正方形，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为　 　．
【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由题目中的位置关系，可将原图补为如图所示的直四棱柱：
异面直线 与 所成角即为直线 与 所成角
由余弦定理可得：
，又
.
本题正确结果：
【分析】利用直四棱柱的结构特征和已知条件找出异面直线所成的角，再利用余弦定理求出异面直线所成角的余弦值。
16．（2020·威海模拟）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为 的鳖臑 中， 平面 ，且 ， ，则该鳖臑外接球的表面积为　 　．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】如图，
则该鳖臑四个面都是直角三角形，
且 平面 ，所以 ，
故 ，
所以 ，
由 知 ，
即 ，
在直角三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等，
可知AD中点O到A，B，C，D的距离相等，
所以鳖臑外接球的球心为 ，半径 ，
球的表面积 ，
故答案为：
【分析】根据鳖臑 的体积可求出 ，由勾股定理可求出 ，确定外接球球心为 中点，可得到球半径，即可求出球的表面积
四、解答题
17．（2021·济南模拟）如图，四棱锥
的底面
为直角梯形，
，且
为等边三角形，平面
平面
；点
分别为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）设 的中点为 ，连接 ，
为 的中点，所以 为 的中位线，
则可得 ，且 ；
在梯形 中， ，且 ，
，
所以四边形 是平行四边形，
，又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
法二：设 为 的中点，连接 ，
为 的中点，
所以 是 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又在梯形 中， ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，
平面 ．
（2）设 的中点为 ，又 ．
因为平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，
平面 ，
又由 ， ，
．
即有 两两垂直，如图，以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立坐标系．
已知点 ，
设平面 的法向量为： ．
则有 ，可得平面 的一个法向量为 ，
，
可得： ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)法一：根据题意作出辅助线由中点的性质得出线线平行，结合梯形的性质即可得出线线平行，由此得出四边形 是平行四边形，从而得出线线平行再由线面平行的判定定理即可得证出结论。法二：根据题意作出辅助线由中卫咸的性质即可得出线线平行，由线面平行的判定定理即可得出线面平行，由线面平行的性质定理即可得出线线平行，由此得出四边形 是平行四边形 ，进而得出线线平行，再由面面平行的性质定理即可得出线面平行即可。
(2)由已知条件结合面面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面 法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面 的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值即线面角的正弦值，由此得到直线 与平面 所成角的正弦值.
18．（2021·潍坊模拟）已知多面体 中， 为正方形，平面 平面 ， ， ， ， ， .
（1）证明： ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）因为 ， ， ，由勾股定理，可得 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
由 平面 ，可得 .
在正方形 中，有 ，
平面 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， ；
（2）以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
可得 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量
由 可得 令 ，得到 ，
可得 令 ，可得 ，
，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 因为 ， ， ，由勾股定理，可得 的长， 因为 ，再利用对应边成比例，所以 ，因为 ，所以 ，
再利用两三角形相似的判断方法，所以 ，因为 ，所以 ，又因为平面 平面 ，从而由面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，可得 ，在正方形 中，有 ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。
（2） 以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系， 从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
19．（2021·淄博模拟）在图1所示的平面图形 中， 是边长为4的等边三角形， 是 的平分线，且 ， 为 的中点，以 为折痕将 折起得到四棱锥 （如图2）．
（1）设平面 和 的交线为 ，在四棱雉 的棱 上求一点 ，使直线 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求平面 和 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）解：延长 ， ，其交点为 ，如图所示，
因为点 ， 既在平面 内，又在平面 内，
所以直线 为平面 与 的交线 ，
因为 为是 的平分线，且 ，所以 为 的中点，
取 中点 ，连接 ，则 为 的中位线，
所以直线 ，即 ，
故 为棱 的中点．
（2）解：因为 ， ，所以 ，
又因为 ，
所以 为等边三角形，取 的中点 为坐标原点，以 所在直线为 轴，在平面 内过点 且和 垂直的直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，
所以： ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
设平面 和 所成锐二面角的大小为 ，
所以 ，
所以平面 和 所成锐二面角的余弦值为 ．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）根据线m与已知面平行，则m平行与过这条线m的面与已知面的交线l。由 ，所以BN平行面ADM， 所以BN//l.
（2）由BM垂直面AMD，所以 。由此找到A点的纵坐标，根据已知条件建系求点，然后根据两个法向量求二面角。由观察得出为锐二面角，结果取正值。
20．（2021·泰安模拟）如图，在三棱柱 中，平面 平面
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）由题知，四边形 为菱形，则 ，
又平面 平面 ，且AC为交线， ，
则 平面 ，又 平面 ，
则 ，又 ，
则 平面 ，又 平面 ，
则平面 平面 ；
（2）设 ，由（1）知， 平面 ，
则 即为 与平面 所成角， ，
由 ，结合（1）中结论有， ，
则 ， ，三角形 为正三角形，在菱形 中，
， ， ，
由（1）知， 平面 ，则 ，
延长 ，作 于F点，则 ，
平面 ，从而
则 即为二面角 的平面角，
则 ，则
即二面角 的余弦值为
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】 (1)推导出 平面 ， ， ，从而 平面 ，由此能证明平面 平面 ；
(2) 由（1）知， 平面 ，则 即为 与平面 所成角，由（1）知， 平面 ， 则 即为二面角 的平面角，则 即可得出 二面角 的余弦值 。
21．（2021·潍坊模拟）如图，已知 是以 为底边的等腰三角形，将 绕 转动到 位置，使得平面 平面 ，连接 ， ， 分别是 ， 的中点．
（1）证明： ；
（2）在① ，②点 到平面 的距离为3，③直线 与平面 所成的角为60°这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明：如图（1），过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
图（1）
由题意知， ，易证 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ．
（2）解：过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，
由平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 ．
以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图（2）所示的空间直角坐标系．
图（2）
设 ， ，
由条件①得 ，
由条件②得 ，
由条件③得 ，即 ．
若选条件①②，可求得 ．
， ， ， ，
因而 ， ，
所以 ， ．
设平面 的一个法向量 ，
由 得 取 ，
又易知平面 的一个法向量 ，
故 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
若选①③或②③均可求得 ，下同．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 （1）过点 作 ，垂足为 ，连接 ，由题意结合两三角形全等的判断方法，得出 ，进而得出 ，再利用全等三角形的性质，所以 ，即 ，因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。
（2） 过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，由平面 平面 结合面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 在① ，②点 到平面 的距离为3，③直线 与平面 所成的角为60°这三个条件中选择两个作为已知条件， 从而求出AB的长，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求夹角公式，从而求出二面角 的余弦值。
22．（2021·肥城模拟）已知三棱柱 ， ， ， ，点 为 中点.
（1）试确定线段 上一点 ，使 平面 ；
（2）在（1）的条件下，若平面 平面 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）解：当 时， 平面
证明如下：设 ，连接 ，则 ，
由 ，得
又 平面 ，
平面
平面
（2）解：取 中点 ，连接 ，
，
又
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面
，
，
，
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， ，
， ， ，
， ，
，设平面 法向量 ，则
解得 令 ，得
取平面 法向量
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 当 时， 平面 ，证明如下：设 ，连接 ，再利用对应边成比例，则 ，由 ，得 ，再利用对应边成比例两直线平行，所以，再利用线线平行推出线面平行，所以当 时， 平面 。
（2） 取 中点 ，连接 ， ，因为 ，再利用等腰三角形三线合一，所以 ，又因为 ，所以 ，因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，因为 ， ，再利用等边三角形的性质，得出 ，再利用勾股定理求出 ，再利用勾股定理推出线线垂直， 所以，以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
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