九年级数学相似三角形的性质
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(共25张PPT)
24.3.3相似三角形的性质
如图：△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？
探究
∴
A’
B’
D’
C’
B
C
D
A
相似三角形对应高的比等于相似比.
证明: ∵△ABC∽△A’B’C’ ,
∴∠B=∠B’.
又∵∠ ADB=∠A’D’B’=
∴△ABD∽△A’B’D’.
相似三角形的性质
已知：如图，△ABC∽△A’B’C’，且相似比是K，
AD、A’D’为对应高．
求证：
.
思考：如图，△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
相似三角形的对应中线的比等于相似比．
相似三角形的对应角平分线的比等于相似比．
理论
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
性质1
相似三角形的性质
例1、点D,E,F分别为三角形ABC三边的中点，连结DE，AF，试猜想DE与AF有什么关系，并证明你的猜想.
A
B
C
D
E
Ｆ
证明：
连结DF、EF
∵AD=DB，BE=CE
∴DE∥AC
同理EF∥AB
∴四边形ADEF是平行四边形
∴DE、AF互相平分
运用
A
B
C
D
E
F
例2、点D,E,F分别为三角形ABC三边的中点，
O
重心
重心：三角形三条边上的中线
的交点
连结AD，BE，CF,交点为点O.
运用
结论1：三角形的重心与一边中点的连线
的长是对应中线长的三分之一
A
B
C
D
E
F
O
例4. 如图，点O为三角形ABC的重心，
猜想△AOB、 △ AOC、 △ BOC的
面积有怎样的关系？说明理由.
A
B
C
D
E
F
O
P
Q
结论2：三角形的重心与三角形三个顶点
组成的三个三角形的面积相等.
A
B
C
D
E
F
O
从而由等比性质有
相似三角形周长的比等于
相似比.
性质2
相似三角形的性质
性质证明
图中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．
（2）与（1）的相似比＝__________，
（2）与（1）的面积比＝__________；
（3）与（1）的相似比＝__________，
（3）与（1）的面积比＝__________．
2：1
4：1
3：1
9：1
探究
已知：△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD、 A′D′分别是△ABC、△A′B′C′对应边BC、 B′C′上的高.
求证： ．
证明:
∴
∴
∵ △ABC∽△A′B′C′,
性质3:相似三角形的面积比等于相似比的平方．
1．相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．
2:5
2:5
2:5
4:25
演练
2. 已知△ABC∽△A’B’C’，且A’C’=3, BC=5,
AC=4，AB=7,则△A’B’C’的周长是 .
12
3. 已知△ABC∽△A’B’C’，
S△ABC:S△A’B’C’ =9:25， △ ABC的周长
是36，则△ ABC的周长是 .
60
4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE平行于BC，AD：DB＝3：2，求四边形DBCE与△ADE的面积比.
解：∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B ∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2
∵AD：DB＝3：2
∴AD：AB＝3：5
∴S△ADE：S△ABC=9：25
∴S△ADE：S四边形DBCE=9：16
所以四边形DBCE与△ADE的面积比为16：9
5.如图，△ABC的边BC=12cm，高AD=6cm，边长为x
的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点
分别在AB、AC上.
(1)求x的值；
(2)求△APN与 △ABC
的面积比
B
Q
D
M
C
A
P
N
E
6. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，
AC,BD相交于点E， S△DEC:S△CEB =1:2,
则S△DEC:S△BEA 等于 .
A
D
C
B
E
1:4
O
A1
A2
A3
A4
A
B
B1
B2
B3
1
4
7.如图，点
在射线
上，点
在射线
上，且
，
若
、
的面积分别为1，4，
则图中三个阴影三角形面积之和为 ．
O
A1
A2
A3
A4
A
B
B1
B2
B3
1
4
10.5
课堂小结：
今天我们学习相似三角形哪些性质？
1、相似三角形对应高的比等于相似比,
相似三角形对应中线的比等于相似比,
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
2、相似三角形周长的比等于相似比，
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
例：△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上， DE∥BC,EF∥AB, ，
求：
A
B
C
D
E
F
延伸：若DE∥BC,EF∥AB， ，
, .
（1）求y关于x的关系式。
（2）当x为何值时，y有最大值，
并求最大值。
（3）你认为 成立吗？为什么？
24.3.3相似三角形的性质
如图：△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？
探究
∴
A’
B’
D’
C’
B
C
D
A
相似三角形对应高的比等于相似比.
证明: ∵△ABC∽△A’B’C’ ,
∴∠B=∠B’.
又∵∠ ADB=∠A’D’B’=
∴△ABD∽△A’B’D’.
相似三角形的性质
已知：如图，△ABC∽△A’B’C’，且相似比是K，
AD、A’D’为对应高．
求证：
.
思考：如图，△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
相似三角形的对应中线的比等于相似比．
相似三角形的对应角平分线的比等于相似比．
理论
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
性质1
相似三角形的性质
例1、点D,E,F分别为三角形ABC三边的中点，连结DE，AF，试猜想DE与AF有什么关系，并证明你的猜想.
A
B
C
D
E
Ｆ
证明：
连结DF、EF
∵AD=DB，BE=CE
∴DE∥AC
同理EF∥AB
∴四边形ADEF是平行四边形
∴DE、AF互相平分
运用
A
B
C
D
E
F
例2、点D,E,F分别为三角形ABC三边的中点，
O
重心
重心：三角形三条边上的中线
的交点
连结AD，BE，CF,交点为点O.
运用
结论1：三角形的重心与一边中点的连线
的长是对应中线长的三分之一
A
B
C
D
E
F
O
例4. 如图，点O为三角形ABC的重心，
猜想△AOB、 △ AOC、 △ BOC的
面积有怎样的关系？说明理由.
A
B
C
D
E
F
O
P
Q
结论2：三角形的重心与三角形三个顶点
组成的三个三角形的面积相等.
A
B
C
D
E
F
O
从而由等比性质有
相似三角形周长的比等于
相似比.
性质2
相似三角形的性质
性质证明
图中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．
（2）与（1）的相似比＝__________，
（2）与（1）的面积比＝__________；
（3）与（1）的相似比＝__________，
（3）与（1）的面积比＝__________．
2：1
4：1
3：1
9：1
探究
已知：△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD、 A′D′分别是△ABC、△A′B′C′对应边BC、 B′C′上的高.
求证： ．
证明:
∴
∴
∵ △ABC∽△A′B′C′,
性质3:相似三角形的面积比等于相似比的平方．
1．相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．
2:5
2:5
2:5
4:25
演练
2. 已知△ABC∽△A’B’C’，且A’C’=3, BC=5,
AC=4，AB=7,则△A’B’C’的周长是 .
12
3. 已知△ABC∽△A’B’C’，
S△ABC:S△A’B’C’ =9:25， △ ABC的周长
是36，则△ ABC的周长是 .
60
4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE平行于BC，AD：DB＝3：2，求四边形DBCE与△ADE的面积比.
解：∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B ∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2
∵AD：DB＝3：2
∴AD：AB＝3：5
∴S△ADE：S△ABC=9：25
∴S△ADE：S四边形DBCE=9：16
所以四边形DBCE与△ADE的面积比为16：9
5.如图，△ABC的边BC=12cm，高AD=6cm，边长为x
的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点
分别在AB、AC上.
(1)求x的值；
(2)求△APN与 △ABC
的面积比
B
Q
D
M
C
A
P
N
E
6. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，
AC,BD相交于点E， S△DEC:S△CEB =1:2,
则S△DEC:S△BEA 等于 .
A
D
C
B
E
1:4
O
A1
A2
A3
A4
A
B
B1
B2
B3
1
4
7.如图，点
在射线
上，点
在射线
上，且
，
若
、
的面积分别为1，4，
则图中三个阴影三角形面积之和为 ．
O
A1
A2
A3
A4
A
B
B1
B2
B3
1
4
10.5
课堂小结：
今天我们学习相似三角形哪些性质？
1、相似三角形对应高的比等于相似比,
相似三角形对应中线的比等于相似比,
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
2、相似三角形周长的比等于相似比，
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
例：△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上， DE∥BC,EF∥AB, ，
求：
A
B
C
D
E
F
延伸：若DE∥BC,EF∥AB， ，
, .
（1）求y关于x的关系式。
（2）当x为何值时，y有最大值，
并求最大值。
（3）你认为 成立吗？为什么？