等差数列的前n项和
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文档简介
(共19张PPT)
【课标要求】
1．理解等差数列前n项和公式的推导方法．
2．掌握等差数列前n项和公式．
3．掌握由Sn求an的方法．
【核心扫描】
1．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关
系，能够由其中的三个求另外两个．(重点)
2．利用前n项和公式解决相关问题．(难点)
第1课时 等差数列的前n项和
2.3 等差数列的前n项和
数列前n项和的定义
一般地，称__________________为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝ __________________.
自学导引
1．
：尝试探索数列{an}的前n项和Sn与通项an之间的关系．
提示：当n≥2时，有Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，所以Sn－Sn－1＝an.
当n＝1时，a1＝S1.
a1＋a2＋a3＋…＋an
a1＋a2＋a3＋…＋an
等差数列的前n项和公式
是关于n的二次函数”，这种说法正确吗？
提示：不一定正确．当d≠0时，Sn＝An2＋Bn(A≠0)是关于
n的二次函数；当d＝0时，Sn＝na1＝a1n是关于n的一次函数．
2．
等差数列前n项和公式的理解
(1)两个公式共涉及到a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项公式和前
n项和．
(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量．
(3)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
名师点睛
1．
等差数列前n项和公式的函数特征
(2)当A＝0，B＝0时，Sn＝0是关于n的常数函数(此时a1＝0，
d＝0)；
当A＝0，B≠0时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数(此时a1≠0，
d＝0)；
当A≠0，B≠0时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(此时d≠0)．
2．
题型一 利用Sn求an
已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.
(2)当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，
又Sn＝3＋2n，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
又当n＝1时，a1＝21－1＝1≠5，
【例1】
(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an.
解 a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋
3(n－1)]＝4n＋1，
当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.
【变式1】
已知等差数列{an}．
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
[思路探索] 根据等差数列前n项和公式解方程．
题型二 与等差数列前n项和有关的基本量的计算
【例2】
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．
在等差数列{an}中；
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a3＋a15＝40，求S17.
【变式2】
审题指导
题型三 求数列{|an|}的前n项和
【例3】
＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)． (2分)
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. (4分)
(1)当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
(2)当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
【题后反思】 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．
已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列bn的前n项之和Tn的表达式．
解 由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n，(n≥2，n∈N*)．
验证a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N*
∴当n≤5时，an>0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n；
当n>5时，an<0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
【变式3】
已知一个数列的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？
[错解] an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]
＝2n，又an－an－1＝2n－2(n－1)＝2，即数列每一项与前一项的差是同一个常数，∴{an}是等差数列．
误区警示 对定义把握不准致错
【示例】
已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需分类讨论，即分n≥2与n＝1两种情况．
[正解] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋
(n－1)－1]＝2n；
∵a2－a1＝4－1＝3≠2，
∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，
∴{an}不是等差数列．
【课标要求】
1．理解等差数列前n项和公式的推导方法．
2．掌握等差数列前n项和公式．
3．掌握由Sn求an的方法．
【核心扫描】
1．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关
系，能够由其中的三个求另外两个．(重点)
2．利用前n项和公式解决相关问题．(难点)
第1课时 等差数列的前n项和
2.3 等差数列的前n项和
数列前n项和的定义
一般地，称__________________为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝ __________________.
自学导引
1．
：尝试探索数列{an}的前n项和Sn与通项an之间的关系．
提示：当n≥2时，有Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，所以Sn－Sn－1＝an.
当n＝1时，a1＝S1.
a1＋a2＋a3＋…＋an
a1＋a2＋a3＋…＋an
等差数列的前n项和公式
是关于n的二次函数”，这种说法正确吗？
提示：不一定正确．当d≠0时，Sn＝An2＋Bn(A≠0)是关于
n的二次函数；当d＝0时，Sn＝na1＝a1n是关于n的一次函数．
2．
等差数列前n项和公式的理解
(1)两个公式共涉及到a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项公式和前
n项和．
(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量．
(3)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
名师点睛
1．
等差数列前n项和公式的函数特征
(2)当A＝0，B＝0时，Sn＝0是关于n的常数函数(此时a1＝0，
d＝0)；
当A＝0，B≠0时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数(此时a1≠0，
d＝0)；
当A≠0，B≠0时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(此时d≠0)．
2．
题型一 利用Sn求an
已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.
(2)当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，
又Sn＝3＋2n，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
又当n＝1时，a1＝21－1＝1≠5，
【例1】
(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an.
解 a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋
3(n－1)]＝4n＋1，
当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.
【变式1】
已知等差数列{an}．
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
[思路探索] 根据等差数列前n项和公式解方程．
题型二 与等差数列前n项和有关的基本量的计算
【例2】
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．
在等差数列{an}中；
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a3＋a15＝40，求S17.
【变式2】
审题指导
题型三 求数列{|an|}的前n项和
【例3】
＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)． (2分)
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. (4分)
(1)当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
(2)当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
【题后反思】 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．
已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列bn的前n项之和Tn的表达式．
解 由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n，(n≥2，n∈N*)．
验证a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N*
∴当n≤5时，an>0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n；
当n>5时，an<0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
【变式3】
已知一个数列的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？
[错解] an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]
＝2n，又an－an－1＝2n－2(n－1)＝2，即数列每一项与前一项的差是同一个常数，∴{an}是等差数列．
误区警示 对定义把握不准致错
【示例】
已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需分类讨论，即分n≥2与n＝1两种情况．
[正解] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋
(n－1)－1]＝2n；
∵a2－a1＝4－1＝3≠2，
∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，
∴{an}不是等差数列．