等差数列前n项和的应用2
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(共27张PPT)
1．掌握等差数列前n项和的性质，并能应用性质解决一些问题．
2．会求等差数列前n项和的最值．
3．会解决有关等差数列求和的综合问题．
1．等差数列前n项和的性质．(重点)
2．等差数列前n项和的最值问题．(难点)
第2课时 等差数列前n项和的应用
【课标要求】
【核心扫描】
等差数列前n项和的性质
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为____.
自学导引
1．
m2d
(4)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
nd
an
：如果数列的前n项和公式Sn＝An2＋Bn，其中A，B为常数，那么这个数列是否一定为等差数列？
提示：由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an①
得Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)②
由①－②得an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∵S1＝a1，
又Sn＝An2＋Bn，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2An－A＋B.
当n＝1时，a1＝S1＝A＋B符合上式，
∴an＝2An－A＋B(n∈N*)
∴数列{an}是等差数列，首项为A＋B，公差为2A.
等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中
2．
最大
最小
最小
最大
关于等差数列奇数项与偶数项性质的推导
①若项数为2n，则S偶－S奇＝a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－…－a2n－1＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝
名师点睛
1．
二次函数配方法求等差数列前n项和Sn的最值
2．
题型一 等差数列前n项和性质的应用
一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
[思路探索] 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．
【例1】
故此数列的前110项之和为－110.
法二 数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则
又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，
∴S110＝－120＋S100＝－110.
法三 设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
解决此类问题的方法较多，法一、法三是利用方程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；法二是利用等差数列的“片断和”性质，构造出新数列，从而使问题得到解决．
一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.
解 法一 设此数列首项为a1，公差为d，
∵S偶－S奇＝6d，∴d＝5.
【变式1】
在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求数列的前多少项和最大？
[思路探索] 可根据题意先求得数列的公差，从而由通项的正负或前n项和公式判断；也可根据前n项和的函数特性求解．
题型二 等差数列前n项和的最值问题
【例2】
所以数列的前13项和最大．
法二 同法一解得d＝－2.
∴an＝25＋(－2)(n－1)＝－2n＋27.
令an>0，即－2n＋27>0.解得n<13.5，
即数列的前13项均为正数，第13项以后均为负数，
所以数列的前13项和最大．
法三 ∵a1＝25，S9＝S17，∴公差d<0.
∵S9＝S17，即f(9)＝f(17)，
∴当x＝13时，f(x)取得最大值．
∴数列的前13项和最大．
法一是利用二次函数的最值求解，法二是通过数列的通项的特点找出正负项的分界点，法三是利用了前n项和的二次函数特性，由二次函数的对称性求解．
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值．
解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一 a1＝9，d＝－2，
【变式2】
＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列．
∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴S5最大．
已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn.
审题指导 (1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出an及Sn；(2)由(1)求出bn的通项公式，再根据通项公式的特点选择求和的方法．
[规范解答] (1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有
题型三 裂项相消法求数列的和
【例3】
【题后反思】 裂项相消法求和是数列求和的一种常用方法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项)，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相抵消，进而可求出数列的前n项和．常用到的裂项公式有如下形式：
已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝6，S3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
【变式3】
误区警示 分析问题不严密致误
【示例】
解中仅解不等式an＞0是不正确的，事实上应解an≥0，an＋1≤0.
∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝0，∴a13＝0.
∵公差d＜0，a1＞0，
∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数．
∴当n＝12或13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130.
求数列前n项和的最值问题的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使an≥0成立的最大n即可．这是因为：当an>0时，Sn>Sn－1，即Sn单调递增；当an<0，Sn
1．掌握等差数列前n项和的性质，并能应用性质解决一些问题．
2．会求等差数列前n项和的最值．
3．会解决有关等差数列求和的综合问题．
1．等差数列前n项和的性质．(重点)
2．等差数列前n项和的最值问题．(难点)
第2课时 等差数列前n项和的应用
【课标要求】
【核心扫描】
等差数列前n项和的性质
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为____.
自学导引
1．
m2d
(4)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
nd
an
：如果数列的前n项和公式Sn＝An2＋Bn，其中A，B为常数，那么这个数列是否一定为等差数列？
提示：由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an①
得Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)②
由①－②得an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∵S1＝a1，
又Sn＝An2＋Bn，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2An－A＋B.
当n＝1时，a1＝S1＝A＋B符合上式，
∴an＝2An－A＋B(n∈N*)
∴数列{an}是等差数列，首项为A＋B，公差为2A.
等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中
2．
最大
最小
最小
最大
关于等差数列奇数项与偶数项性质的推导
①若项数为2n，则S偶－S奇＝a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－…－a2n－1＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝
名师点睛
1．
二次函数配方法求等差数列前n项和Sn的最值
2．
题型一 等差数列前n项和性质的应用
一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
[思路探索] 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．
【例1】
故此数列的前110项之和为－110.
法二 数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则
又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，
∴S110＝－120＋S100＝－110.
法三 设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
解决此类问题的方法较多，法一、法三是利用方程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；法二是利用等差数列的“片断和”性质，构造出新数列，从而使问题得到解决．
一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.
解 法一 设此数列首项为a1，公差为d，
∵S偶－S奇＝6d，∴d＝5.
【变式1】
在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求数列的前多少项和最大？
[思路探索] 可根据题意先求得数列的公差，从而由通项的正负或前n项和公式判断；也可根据前n项和的函数特性求解．
题型二 等差数列前n项和的最值问题
【例2】
所以数列的前13项和最大．
法二 同法一解得d＝－2.
∴an＝25＋(－2)(n－1)＝－2n＋27.
令an>0，即－2n＋27>0.解得n<13.5，
即数列的前13项均为正数，第13项以后均为负数，
所以数列的前13项和最大．
法三 ∵a1＝25，S9＝S17，∴公差d<0.
∵S9＝S17，即f(9)＝f(17)，
∴当x＝13时，f(x)取得最大值．
∴数列的前13项和最大．
法一是利用二次函数的最值求解，法二是通过数列的通项的特点找出正负项的分界点，法三是利用了前n项和的二次函数特性，由二次函数的对称性求解．
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值．
解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一 a1＝9，d＝－2，
【变式2】
＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列．
∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴S5最大．
已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn.
审题指导 (1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出an及Sn；(2)由(1)求出bn的通项公式，再根据通项公式的特点选择求和的方法．
[规范解答] (1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有
题型三 裂项相消法求数列的和
【例3】
【题后反思】 裂项相消法求和是数列求和的一种常用方法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项)，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相抵消，进而可求出数列的前n项和．常用到的裂项公式有如下形式：
已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝6，S3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
【变式3】
误区警示 分析问题不严密致误
【示例】
解中仅解不等式an＞0是不正确的，事实上应解an≥0，an＋1≤0.
∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝0，∴a13＝0.
∵公差d＜0，a1＞0，
∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数．
∴当n＝12或13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130.
求数列前n项和的最值问题的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使an≥0成立的最大n即可．这是因为：当an>0时，Sn>Sn－1，即Sn单调递增；当an<0，Sn