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13.2.6
全等三角形-斜边直角边
课题
13.2.6
全等三角形-斜边直角边
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1、已知斜边和直角边会作直角三角形;2、熟练掌握“斜边、直角边”，利用它判定两个直角三角形全等。
重点难点
掌握“斜边、直角边”，利用它判定两个直角三角形全等。
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
三角形全等的判定定理有哪些?SSS:三组对应边分别相等的两个三角形全等SAS:有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等ASA:有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等AAS:”有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？不全等。理由如下：如图△ABC与△ABD中，AB=AB，∠B=∠B，AD=AC，
但△ABC与△ABD不全等；如果这个角是直角呢?在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢?如图13.
2.18，已知两条线段(这两条线段长不相等)
,试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边。步骤:1.画一条线段AB,使它等于2cm
;2.画∠MAB
=90°(用量角器或三角尺);3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C;4.连结BC.△ABC即为所求.把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，或将你画的直角三角形剪下,放到其他同学画的直角三角形上，看看是否完全重合，所画的直角三角形都全等吗?换两条线段，试试看，是否有同样的结论?斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为H.
L.
(或斜边直角边).例7
如图13.2.19，已知AC=BD，∠C=∠D=90°.求证:BC
=
AD.
图13.2.19证明:∵∠C=∠D=90°(已知)
∴△ABC与△BAD都是直角三角形(直角三角形的定义).在Rt△ABC与Rt△BAD中，∵AB=BA(公共边)，AC=BD(已知)，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(H.L.
)∴BC=AD(全等三角形的对应边相等).变式
如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD=CB，那么Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是(
)A.
SAS
B.
ASA
C.
HL
D.
SSS解：∵CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠B=∠D=90°，∴在Rt△ADC和Rt△ABC中
AC=AC
DC=BC，∴Rt△ADC≌Rt△ABC(HL)故选：C全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．课堂练习：
1.现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在
（
）
A．三角形三条中线的交点B．三角形三边的垂直平分线的交点C．三角形三条角平分线的交点D．三角形三条高所在直线的交点∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．
故选C．2.已知线段a、c(a﹤c)，用直尺和圆规画一个Rt△ABC,使∠C=90°
，一直角边CB=a，斜边AB=c.画法：1.画∠MCN=90
°.2.在射线CM上取CB=a.3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.4.连结AB
.△ABC就是所要画的直角三角形.3.AD∥BC，∠A＝90°，
E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.
(1)△ADE与△BEC全等吗？请说明理由；
(2)若AD＝3，AB＝7，请求出△DEC的
面积．解：(1)△ADE≌△BEC.理由如下：
∵∠1＝∠2，∴DE＝EC.
∵AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°.
又∵∠A＝90°，∴∠A＝∠B＝90°.
又∵AD＝BE，∴△ADE≌△BEC.
(2)∵△ADE≌△BEC，
∴AD＝BE＝3，AE＝BC，∠ADE＝∠BEC.
∵AD＝3，AB＝7，∴AE＝BC＝4.
∴DE＝EC＝5.
又∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BEC＋∠AED＝90°.∴∠DEC＝90°.4.在△ABC中，∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线交于点D.
求证：点D在∠A的平分线上．解：如答图，过D作DE⊥BC于E，
作DF⊥AB，交AB延长线于F，
作DG⊥AC，交AC延长线于G，
∵BD是∠CBF的角平分线，
DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
同理可得DE＝DG，
∴DF＝DG，
又∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴点D在∠A的平分线上．
课堂小结
判定三角形全等的方法有哪些？
由于AD与BC分别属于△BAD和△ABC,所以只需证明这两个三角形全等即可.
直角三角形可以用符号“Rt△”来表示.
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13.2.6
全等三角形-斜边直角边
学案
课题
13.2.6
全等三角形-斜边直角边
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、已知斜边和直角边会作直角三角形;
2、熟练掌握“斜边、直角边”，利用它判定两个直角三角形全等。
重点
难点
掌握“斜边、直角边”，利用它判定两个直角三角形全等。
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
三角形全等的判定定理有哪些?
SSS:三组对应边分别相等的两个三角形全等
SAS:有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
ASA:有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
AAS:”有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等
有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？
不全等。理由如下：
如图△ABC与△ABD中，
AB=AB，∠B=∠B，AD=AC，
但△ABC与△ABD不全等；
如果这个角是直角呢?
合
作
探
究
探究一：
在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢?
如图13.
2.18，已知两条线段(这两条线段长不相等)
,试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边。
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，或将你画的直角三角形剪下,放到其他同学画的直角三角形上，看看是否完全重合，所画的直角三角形都全等吗?换两条线段，试试看，是否有同样的结论?
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为H.
L.
(或斜边直角边).
探究二：
例7
如图13.2.19，已知AC
=
BD，∠C=∠D=90°.求证:BC
=
AD.
图13.2.19
由于AD与BC分别属于△BAD和△ABC,所以只需证明这两个三角形全等即可.
直角三角形可以用符号“Rt△”来表示.
全等三角形的判定方法：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
当
堂
检
测
1.现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在
（
）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三边的垂直平分线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三条高所在直线的交点
∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．
故选C．
2.已知线段a、c(a﹤c)，用直尺和圆规画一个Rt△ABC,使∠C=90°
，一直角边CB=a，斜边AB=c.
画法：1.画∠MCN=90
°.
2.在射线CM上取CB=a.
3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.
4.连结AB
.
△ABC就是所要画的直角三角形.
3.AD∥BC，∠A＝90°，
E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.
(1)△ADE与△BEC全等吗？请说明理由；
(2)若AD＝3，AB＝7，请求出△DEC的
面积．
解：(1)△ADE≌△BEC.理由如下：
∵∠1＝∠2，∴DE＝EC.
∵AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°.
又∵∠A＝90°，∴∠A＝∠B＝90°.
又∵AD＝BE，∴△ADE≌△BEC.
(2)∵△ADE≌△BEC，
∴AD＝BE＝3，AE＝BC，∠ADE＝∠BEC.
∵AD＝3，AB＝7，∴AE＝BC＝4.
∴DE＝EC＝5.
又∵∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠BEC＋∠AED＝90°.
∴∠DEC＝90°.
4.在△ABC中，∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线交于点D.
求证：点D在∠A的平分线上．
解：如答图，过D作DE⊥BC于E，
作DF⊥AB，交AB延长线于F，
作DG⊥AC，交AC延长线于G，
∵BD是∠CBF的角平分线，
DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
同理可得DE＝DG，
∴DF＝DG，
又∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴点D在∠A的平分线上．
课
堂
小
结
判定三角形全等的方法有哪些？
参考答案
合作探究：
探究一：
步骤:
1.画一条线段AB,使它等于2cm
;
2.画∠MAB
=90°(用量角器或三角尺);
3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C;
4.连结BC.△ABC即为所求.
探究二：
证明:∵∠C=∠D=90(已知)
∴△ABC与△BAD都是直角三角形
(直角三角形的定义).
在Rt△ABC与Rt△BAD中，
∵AB=BA(公共边)，AC
=
BD(已知)，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(H.L.
)
∴BC=AD(全等三角形的对应边相等).
课堂小结：
S.A.S
A.S.A
A.A.S
S.S.S
H.
L
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
三边分别相等的两个三角形全等
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
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13.2.6
全等三角形-斜边直角边
数学华师版
八年级上
新知导入
情境引入
三角形全等的判定
定义：
基本事实：
AAS
证得
复习回顾
能够重合的两个三角形是全等三角形
SSS
SAS
ASA
合作学习
有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？
不全等。理由如下：
如果这个角是直角呢?
如图△ABC与△ABD中，
AB=AB，∠B=∠B，AD=AC，
但△ABC与△ABD不全等；
证明你的结论
新知讲解
在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢?
新知讲解
做一做
如图13.
2.18，已知两条线段(这两条线段长不相等)
,试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边。
2cm
3cm
图13.2.18
新知讲解
A
B
C
M
步骤:
1.画一条线段AB,使它等于2cm
;
2.画∠MAB
=90°(用量角器或三角尺);
3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C;
4.连结BC.△ABC即为所求.
新知讲解
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，或将你画的直角三角形剪下,放到其他同学画的直角三角形上，看看是否完全重合，所画的直角三角形都全等吗?换两条线段，试试看，是否有同样的结论?
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为H.
L.
(或斜边直角边).
新知讲解
新知讲解
例7
如图13.2.19，已知AC=BD，∠C=∠D=90°.求证:BC
=
AD.
图13.2.19
由于AD与BC分别属于△BAD和△ABC,所以只需证明这两个三角形全等即可.
新知讲解
证明:∵∠C=∠D=90°(已知)
∴△ABC与△BAD都是直角三角形
(直角三角形的定义).
在Rt△ABC与Rt△BAD中，
∵AB=BA(公共边)，AC=BD(已知)，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(H.L.
)
∴BC=AD(全等三角形的对应边相等).
直角三角形可以用符号“Rt△”来表示.
新知讲解
变式
如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD=CB，那么Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是(
)
A.
SAS
B.
ASA
C.
HL
D.
SSS
新知讲解
解：∵CD⊥AD，CB⊥AB，
∴∠B=∠D=90°，
∴在Rt△ADC和Rt△ABC中
AC=AC
DC=BC，
∴Rt△ADC≌Rt△ABC(HL)
故选：C
全等三角形的判定方法：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
新知讲解
课堂练习
1.现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在
（ ）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三边的垂直平分线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三条高所在直线的交点
∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．
故选C．
C
2.已知线段a、c(a﹤c)，用直尺和圆规画一个Rt△ABC,使∠C=90°
，一直角边CB=a，斜边AB=c.
a
c
画法：1.画∠MCN=90
°.
3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.
4.连结AB
.
△ABC就是所要画的直角三角形.
2.在射线CM上取CB=a.
M
C
N
a
B
c
A
3.AD∥BC，∠A＝90°，
E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.
(1)△ADE与△BEC全等吗？请说明理由；
(2)若AD＝3，AB＝7，请求出△DEC的
面积．
【解析】
根据已知先说明△ADE与△BEC都是直角三角形，然后用“HL”定理证明即可．
解：(1)△ADE≌△BEC.理由如下：
∵∠1＝∠2，∴DE＝EC.
∵AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°.
又∵∠A＝90°，∴∠A＝∠B＝90°.
又∵AD＝BE，∴△ADE≌△BEC.
(2)∵△ADE≌△BEC，
∴AD＝BE＝3，AE＝BC，∠ADE＝∠BEC.
∵AD＝3，AB＝7，∴AE＝BC＝4.
∴DE＝EC＝5.
又∵∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠BEC＋∠AED＝90°.
∴∠DEC＝90°.
【点悟】 “HL”定理是判定两个直角三角形全等的特有的定理，判定一般三角形全等的四种方法对直角三角形也适用．
4.在△ABC中，∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线交于点D.
求证：点D在∠A的平分线上．
解：如答图，过D作DE⊥BC于E，
作DF⊥AB，交AB延长线于F，
作DG⊥AC，交AC延长线于G，
∵BD是∠CBF的角平分线，
DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
同理可得DE＝DG，
∴DF＝DG，
又∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴点D在∠A的平分线上．
