2021-2022学年北师大版数学 九年级上册1.2.1矩形的性质课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
1.2.1
矩形的性质
九年级上册
学习目标
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题．
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
学习重难点
重点
难点
掌握矩形的性质.
运用矩形的性质进行综合计算.
平行四边形有哪些性质？
知识回顾
1.在推动平行四边形的过程中，什么发生变化了？什么没变？
2.
在上述变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形？生活中有很多具有矩形形象的物品，你能举出一些例子吗？
思考
思考
长方形在生活中无处不在.
情景思考
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
也叫做长方形.
平行四边形不一定是矩形.
定义
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
思考
矩形具有哪些性质？
①
矩形的四个角都是直角；
②
矩形的对角线相等.
你能证明吗？
猜想
猜想
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D,∠C=∠A,
AB∥DC.
∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B
=
90°,
∴∠C
=
90°.
∴∠B=∠C=∠D=∠A
=90°.
如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°.
求证：∠B=∠C=∠D=∠A=90°.
A
B
C
D
证明角相等
证明
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
A
B
C
D
O
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
证明对角线相等
证明
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB
=90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
矩形的性质
如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4
,求矩形对角线的长.
∵四边形ABCD是矩形.
∴AC
=
BD，
OA=
OC=AC,OB
=OD
=BD
,
∴OA
=
OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
A
B
C
D
O
矩形的对角线相等且互相平分
例题
例1
答案
如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE
,垂足为F.求证：DF=DC.
A
C
D
F
连接DE.
∵AD
=AE,∴∠AED
=∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE,
∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
E
举一反三
练习
证明
B
如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
例题
例2
答案
如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.
AB=4，BC=6，求△FAC的周长.
由题意，得EC=BC=6，AE=AB=4，∠ECA=∠BCA
∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，AD=BC
∴∠BCA=∠FAC=∠ECA
∴AF=CF
∴AD-AF=CE-CF
即DF=FE
设DF=x，则FE=x，CF=6-x
在Rt△CDF中，
即
解得：x=，即DF=，则AF=AD-DF=
∵AB=4，BC=6∴AC=
故△AFC的周长为：
举一反三
练习
答案
观察图中的Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？
根据矩形的性质，可以得到：BO=
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
探究
如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，
DF＝AF=AC＝×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18
例题
例3
答案
如图，在△ABC中,∠ABC
=
90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC
=_____cm;
(2)若∠C=
30°,AB
=
5cm,则AC
=_____cm,
BD
=_____cm.
A
B
C
D
6
10
5
举一反三
练习
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
(
)
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为
(
)
A.13
B.6
C.6.5
D.不能确定
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是
(
)
A.20
°
B.40°
C.80
°
D.100°
A
C
C
课堂练习
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．
2.5
课堂练习
5.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．
6
课堂练习
6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.求证：BD=BE,
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
课堂练习
如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
解：连接OP.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=S矩形ABCD=×6×8=12.
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴AO·PE+
DO·PF=12，即5PE+5PF=24，
∴PE+PF=
.
拓展提升
矩形的相关概念及性质
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
总结
再
见