高中数学人教A版(2019)选择性必修一第二章 第五节直线与圆、圆与圆的位置关系同步练习
一、单选题
1.(2021·商丘模拟)若直线 始终平分圆 ,则 ( )
A.﹣6 B.﹣3 C.3 D.6
2.(2021·广东模拟)圆心在C(4,-3),且与直线4x-3y=0相切的圆的方程为( )
A.x2+y2+8x+6y=0 B.x2+y2+8x-6y=0
C.x2+y2-8x+6y=0 D.x2+y2-8x-6y=0
3.(2020高二上·黄冈期末)已知圆 与圆 ,则两圆公切线条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2020·眉山模拟)已知直线 是圆 在点 处的切线﹐则直线 的方程为( )
A. B. C. D.
5.(2020高二上·运城月考)若圆 被直线3x-4y+c=0所截的弦长为 ,则c的值是( )
A.6 B.-6或-16 C.-1或-21 D.1
6.(2020高二上·寿阳月考)设直线 与圆 相交于 两点,若 ,则圆 的面积为
A. B. C. D.
7.(2021·景德镇模拟)若直线 被圆 所截弦长最短,则 ( )
A.4 B.2 C. D.-2
8.(2021·安徽模拟)若直线y=kx与曲线(x- )2+(|y|-1)2=1有交点,则k的取值范围是( )
A.[- , ] B.[-1,1]
C.[- , ] D.[- , ]
二、多选题
9.(2021高二下·湛江期末)直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为2 ,则直线的倾斜角可能为( )
A. B. C. D.
10.(2020高一下·昆山期中)在同一直角坐标系中,直线 与圆 的位置可能是( )
A. B.
C. D.
11.(2021·海南模拟)已知圆 和圆 的交点为 , ,则( )
A.圆 和圆 有两条公切线
B.直线 的方程为
C.圆 上存在两点 和 使得
D.圆 上的点到直线 的最大距离为
12.(2020高二上·肥城期中)直线 分别与 轴, 轴交于 , 两点,点 在圆 上,则 面积的可能取值是( )
A. B.2 C.4 D.6
三、填空题
13.(2021高一下·铜仁期末)已知 为圆 : 上第二象限的一动点,直线 , 与圆 的另一个交点分别为 , ,且直线 , 的斜率之和为0,则直线 的斜率是 .
14.(2021·宁波模拟)直线 与圆 相交于A,B两点,弦长 的最小值为 ,若 的面积为 ,则m的值为 .
15.(2021·济宁模拟)实数 、 满足 ,则 的取值范围是 .
16.(2020高二上·四川期中)动直线 与曲线 有公共点,则 的取值范围是 .
四、解答题
17.已知过点 的圆M的圆心为 ,且圆M与直线 相切.
(1)求圆M的标准方程;
(2)若过点 且斜率为k的直线l交圆M于A,B两点,若 的面积为 ,求直线l的方程.
18.(2022高一下·焦作期末)已知圆 经过坐标原点 ,圆心在 轴正半轴上,且与直线 相切.
(1)求圆 的标准方程.
(2)直线 : 与圆 交于 , 两点.
(i)求 的取值范围;
(ii)证明:直线 与直线 的斜率之和为定值.
19.(2020高一上·黄陵期末)已知点 ,直线 及圆 .
(1)求过点M的圆C的切线方程;
(2)若直线 与圆C相切,求实数 的值;
(3)若直线 与圆C相交于A、B两点,且弦AB的长为 ,求 的值.
20.(2020高二上·遵义月考)已知圆 ,直线 .
(1)判断直线 与圆 的位置关系;
(2)若直线 与圆 交于不同两点 ,且 ,求直线 的方程.
21.(2021高一下·抚州期末)已知点 在圆 上运动.
(1)求 的最大值;
(2)求 的最小值.
22.(2020高二上·大同期中)已知直线 ,圆 .
(1)求直线 被圆截得的弦长;
(2)在直线 取一点 ,设Q为圆C上的点,求 的取值范围.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:由 得圆心 ,因为直线平分圆,所以直线必过圆心 ,则 ,则 .
故答案为:A.
【分析】 根据题意即可得出,当直线:始终平分圆C:,可得直线l经过圆心C,由此得到m、n的关系,整理计算出结果即可.
2.【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题可得圆的半径为圆心到直线的距离,即 ,
所以圆的方程为 ,即 .
故答案为:C.
【分析】根据直线与圆的位置关系即可得出答案。
3.【答案】B
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解:圆 ,即 ,圆心 ,半径 ;圆 ,即 ,圆心 ,半径 ,所以圆心距 , ,所以两圆相交,故有两条公切线,
故答案为:B。
【分析】利用两圆的位置关系判断方法,从而证出两圆相交,再利用两圆相交,从而求出两圆的公切线的条数。
4.【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由于 ,所以点 在圆 上,
圆 的圆心为 ,
,
由于 ,
所以 ,
所以直线l的方程为 .
故答案为:B
【分析】设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
5.【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆 整理得: ,圆心 ,半径 ,
设 为圆心到直线3x-4y+c=0的距离,则 ,
所以圆被直线所截的弦长为 ,得
所以 ,解得 或 .
故答案为:C
【分析】 将圆方程化为标准方程,找出圆心坐标与半径r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,利用垂径定理及勾股定理列出关于c的方程,求出方程的解即可得到c的值.
6.【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由题意,圆心 ,
故答案为:C
【分析】 圆 的圆心坐标为(0,a) ,半径为,利用圆的弦长公式,求出a值,进而求出圆半径,可得圆的面积.
7.【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】直线 过定点 ,
因这直线 被圆 所截弦长最短,
所以点 为弦的中点,故圆心 与点 连线与直线 垂直
则 ,解得
故答案为:C
【分析】 利用配方法将圆的方程化为标准式,求出圆心坐标和半径,判断出直线l过定点且在圆内,可得当l⊥PC时直线l被圆 截得的弦长最短,即可得出结论.
8.【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】当 时,曲线方程为 ,图象是圆心为 ,半径为1的圆, 时,曲线方程为 ,图象是圆心为 ,半径为1的圆,
画出曲线的图象如下图所示,
当直线 与曲线相切时,
或 ,
则 的取值范围是 。
故答案为:A
【分析】利用分类讨论的方法得出当 时,曲线方程为 ,进而求出其圆心坐标和半径长,当 时,曲线方程为 ,进而求出其圆心坐标和半径长,从而画出两圆的图像, 再利用直线y=kx与曲线(x- )2+(|y|-1)2=1有交点, 从而找出极端值,即找出当直线 与曲线相切时的直线的斜率,再利用直线与圆相切的位置关系判断方法,进而求出直线的斜率,从而求出满足要求的直线的斜率的取值范围。
9.【答案】A,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆(x-2)2+(y-3)2=4的圆心为 ,半径为 ,
圆心到直线 的距离 ,
因为弦长为 ,所以 ,即 ,解得 ,
所以 ,所以直线的倾斜角为 或 .
故答案为:A D
【分析】 根据几何方法求出弦长与已知弦长相等,解方程可得直线的斜率,进一步可得直线的倾斜角。
10.【答案】A,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:圆 的圆心为 ,半径为
则圆心 到直线 的距离为
不妨令 ,可得 ,即 ,
当 时,恒成立,可知A符合题意,B不正确;
当 时,不等式不成立,说明直线与圆相离,但是直线的斜率为负数,所以C 不正确,D符合题意,
故答案为:AD
【分析】利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径比较大小即可得到结果
11.【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆的位置关系;两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解:对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故正确;
对于B,将两圆方程作差可得 ,即得公共弦 的方程为 ,B符合题意;
对于C,直线 经过圆 的圆心 ,所以线段 是圆 的直径,故圆 中不存在比 长的弦,C不符合题意;
对于D,圆 的圆心坐标为 ,半径为2,圆心到直线 的距离为 ,所以圆 上的点到直线 的最大距离为 ,D符合题意.
故答案为:ABD.
【分析】A:两圆满相交,有两条公切线,正确;B:两圆方程作差,可得;
C:注意AB过圆心,是直径; D:垂径定理的应用。
12.【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】在 中,令 ,得 ,令 ,得 ,
所以 , ,
所以 ,
由 知,圆心为 ,半径 ,
所以圆心 到直线 的距离 ,
所以点 到直线 的距离 ,
所以 面积的范围为 .
所以三角形的面积可以为2,4,6
故答案为:BCD
【分析】由题意可知: , ,求出长,再利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离,则点 到直线 的最大值为圆心到直线的距离加上一个半径,最小
值为圆心到直线的距离减去一个半径,再结合三角形面积公式即可求出面积的取
值范围,即可得到答案。
13.【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解:设直线 方程为 ,则直线 方程为 ,
由 ,得 ,
,
所以 ,
因为 是直线与圆的交点的横坐标之一,
所以 , ,
由 得 ,
,
所以 ,
因为 是直线与圆的交点的横坐标之一,
所以 ,则
所以 ,
,
所以直线 的斜率为 ,
因为 ,所以
故答案为:
【分析】设直线 方程为 ,则直线 方程为 ,然后将两直线方程分别与圆方程联立方程组,求出A,B两点的坐标,从而可求出直线AB的斜率。
14.【答案】2;
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】直线 恒过圆 内的定点 , ,
圆心C到直线的距离 ,所以 ,
即弦长 的最小值为2;由 ,
即 或 .若 ,则圆心到弦AB的距离
,故不符合题意;当 时,圆心到直线的距离为
,设弦AB的中点为N,又 ,故 ,
即直线 的倾斜角为 或 ,则m的值为 .
故答案为2,
【分析】根据点到直线的距离公式和勾股定理、面积公式可得。
15.【答案】[-1,3]
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆 的圆心坐标为 ,该圆的半径为 ,
设 ,可知直线 与圆 有公共点,
所以, ,即 ,解得 .
因此, 的取值范围是[-1,3].
故答案为:[-1,3].
【分析】设 ,可知直线 与圆 有公共点,利用圆心到直线的距离不大于圆的半径可得出关于t的不等式,由此可解得t的取值范围,即为所求。
16.【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】在等式 两边平方并整理得 ,由 可知 ,
所以曲线 为圆 的上半圆,如下图所示:
当直线 过点 时,则 ,可得 ,
由图象可知,当直线 与曲线 的交点在第一象限时, ;
当直线 过点 时,则 ,可得 ;
由图象可知,当直线 与曲线 的交点在第二象限时, .
综上所述, 的取值范围是 .
故答案为: .
【分析】先作出图形,可知曲线 为圆 的上半圆,数形结合即可得出 的取值范围.
17.【答案】(1)解:设圆M的标准方程为: ,
则圆心M到直线 的距离为 ,
由题意得 ,解得 或 舍去 ,所以 ,
所以圆M的方程为
(2)解:设直线l的方程为 ,则圆心M到直线l的距离为 ,
,
又点 到直线l的距离为 ,
,解得 , ,
则直线的方程为 .
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【分析】 (1)根据题意设圆M的标准方程为: , 因为圆M 直线 相切,得 ,求出a,r进而得出圆的标准方程;
(2)求出|AB|,及点P到直线l的距离,表示出
,求出斜率k,进而得出直线方程.
18.【答案】(1)设圆C的圆心C坐标为 ,其中a>0,
由题意知, ,
又圆C与直线3x+4y-8=0相切,则圆心C到此直线的距离为:
,所以 ,解得a=1或a=-4(舍去),
所以圆心C为 , ,
故圆C的标准方程为: ;
(2)由(1), ,
因为直线 交圆C于点A,B,
所以
(i)k的取值范围是 ;
(ii)证明:设 ,
由韦达定理,得 ,
又
,
所以直线OA与直线OB的斜率之和为定值1.
【知识点】直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1) 设圆C的圆心C坐标为 ,其中a> 0,半径为r,圆C经过坐标原点O,圆心在x轴正半轴上,则r= a,再结合点到直线的距离公式,即可求解;
(2) (i)联立直线与圆的方程,可得 ,结合△> 0,即可求解 的取值范围;
(ii)由于 ,结合韦达定理,即可证明.
19.【答案】(1)解:由题意 , .
过点 且斜率不存在的直线为 与圆 相切,
过点 且斜率存在的直线,设其方程为 ,即 ,
∴ ,解得 ,切线方程为 ,即 .
∴所求切线方程为 或
(2)解:由题意 ,解得 或
(3)解: ,
∴ ,解得
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)根据圆的切线到圆心的距离等于半径,可得当直线的斜率不存在时方程为 ,符合题意;而直线的斜率存在时,利用点斜式列式并结合点到直线的距离公式加以计算,得到切线方程为 ,即可得出答案;
(2)根据圆的切线到圆心的距离等于半径,利用点到直线的距离公式建立关于a的方程,解之即可得到a的值。
20.【答案】(1)解:将圆方程化为标准方程 ,所以圆C的圆心 ,半径 ,圆心 到直线 的距离 ,因此直线l与圆C相交
(2)解:设圆心到直线l的距离为d,则 ,又 ,解得 ∴所求直线为x-y=0或x+y-2=0.
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)通过比较圆心到直线的距离与半径的关系,不难发现直线和圆相交.(2)根据垂径定理,得到圆心与直线的距离,进而列方程求解即可.
21.【答案】(1)由题意,点 在圆 上运动,
设 ,整理得 ,则 表示点 与点 连线的斜率,
当该直线与圆相切时, 取得最大值和最小值,
又由 ,解得 ,所以
所以 的最大值为 .
(2)设 ,整理得 ,
则 表示直线 在 轴上的截距,
当该直线与圆相切时, 取得最大值和最小值,
由 ,解得 ,所以
所以 的最小值为 .
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1)设 ,利用斜率模型,可转化为 ,根据圆心到直线的距离等于半径求解;
(2)设m=2x+y, 利用截距模型,可转化为2x+y-m=0,根据圆心到直线的距离等于半径求解.
22.【答案】(1)解:由题得圆 ,它表示圆心为 ,半径为 的圆.
圆心到直线的距离 ,
所以直线 被圆截得的弦长为 .
(2)解: ,
.
故 的取值范围为 .
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)先求出圆心到直线的距离,再求直线 被圆截得的弦长;(2)利用数形结合求出 的取值范围.
1 / 1高中数学人教A版(2019)选择性必修一第二章 第五节直线与圆、圆与圆的位置关系同步练习
一、单选题
1.(2021·商丘模拟)若直线 始终平分圆 ,则 ( )
A.﹣6 B.﹣3 C.3 D.6
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:由 得圆心 ,因为直线平分圆,所以直线必过圆心 ,则 ,则 .
故答案为:A.
【分析】 根据题意即可得出,当直线:始终平分圆C:,可得直线l经过圆心C,由此得到m、n的关系,整理计算出结果即可.
2.(2021·广东模拟)圆心在C(4,-3),且与直线4x-3y=0相切的圆的方程为( )
A.x2+y2+8x+6y=0 B.x2+y2+8x-6y=0
C.x2+y2-8x+6y=0 D.x2+y2-8x-6y=0
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题可得圆的半径为圆心到直线的距离,即 ,
所以圆的方程为 ,即 .
故答案为:C.
【分析】根据直线与圆的位置关系即可得出答案。
3.(2020高二上·黄冈期末)已知圆 与圆 ,则两圆公切线条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解:圆 ,即 ,圆心 ,半径 ;圆 ,即 ,圆心 ,半径 ,所以圆心距 , ,所以两圆相交,故有两条公切线,
故答案为:B。
【分析】利用两圆的位置关系判断方法,从而证出两圆相交,再利用两圆相交,从而求出两圆的公切线的条数。
4.(2020·眉山模拟)已知直线 是圆 在点 处的切线﹐则直线 的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由于 ,所以点 在圆 上,
圆 的圆心为 ,
,
由于 ,
所以 ,
所以直线l的方程为 .
故答案为:B
【分析】设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
5.(2020高二上·运城月考)若圆 被直线3x-4y+c=0所截的弦长为 ,则c的值是( )
A.6 B.-6或-16 C.-1或-21 D.1
【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆 整理得: ,圆心 ,半径 ,
设 为圆心到直线3x-4y+c=0的距离,则 ,
所以圆被直线所截的弦长为 ,得
所以 ,解得 或 .
故答案为:C
【分析】 将圆方程化为标准方程,找出圆心坐标与半径r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,利用垂径定理及勾股定理列出关于c的方程,求出方程的解即可得到c的值.
6.(2020高二上·寿阳月考)设直线 与圆 相交于 两点,若 ,则圆 的面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由题意,圆心 ,
故答案为:C
【分析】 圆 的圆心坐标为(0,a) ,半径为,利用圆的弦长公式,求出a值,进而求出圆半径,可得圆的面积.
7.(2021·景德镇模拟)若直线 被圆 所截弦长最短,则 ( )
A.4 B.2 C. D.-2
【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】直线 过定点 ,
因这直线 被圆 所截弦长最短,
所以点 为弦的中点,故圆心 与点 连线与直线 垂直
则 ,解得
故答案为:C
【分析】 利用配方法将圆的方程化为标准式,求出圆心坐标和半径,判断出直线l过定点且在圆内,可得当l⊥PC时直线l被圆 截得的弦长最短,即可得出结论.
8.(2021·安徽模拟)若直线y=kx与曲线(x- )2+(|y|-1)2=1有交点,则k的取值范围是( )
A.[- , ] B.[-1,1]
C.[- , ] D.[- , ]
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】当 时,曲线方程为 ,图象是圆心为 ,半径为1的圆, 时,曲线方程为 ,图象是圆心为 ,半径为1的圆,
画出曲线的图象如下图所示,
当直线 与曲线相切时,
或 ,
则 的取值范围是 。
故答案为:A
【分析】利用分类讨论的方法得出当 时,曲线方程为 ,进而求出其圆心坐标和半径长,当 时,曲线方程为 ,进而求出其圆心坐标和半径长,从而画出两圆的图像, 再利用直线y=kx与曲线(x- )2+(|y|-1)2=1有交点, 从而找出极端值,即找出当直线 与曲线相切时的直线的斜率,再利用直线与圆相切的位置关系判断方法,进而求出直线的斜率,从而求出满足要求的直线的斜率的取值范围。
二、多选题
9.(2021高二下·湛江期末)直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为2 ,则直线的倾斜角可能为( )
A. B. C. D.
【答案】A,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆(x-2)2+(y-3)2=4的圆心为 ,半径为 ,
圆心到直线 的距离 ,
因为弦长为 ,所以 ,即 ,解得 ,
所以 ,所以直线的倾斜角为 或 .
故答案为:A D
【分析】 根据几何方法求出弦长与已知弦长相等,解方程可得直线的斜率,进一步可得直线的倾斜角。
10.(2020高一下·昆山期中)在同一直角坐标系中,直线 与圆 的位置可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】A,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:圆 的圆心为 ,半径为
则圆心 到直线 的距离为
不妨令 ,可得 ,即 ,
当 时,恒成立,可知A符合题意,B不正确;
当 时,不等式不成立,说明直线与圆相离,但是直线的斜率为负数,所以C 不正确,D符合题意,
故答案为:AD
【分析】利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径比较大小即可得到结果
11.(2021·海南模拟)已知圆 和圆 的交点为 , ,则( )
A.圆 和圆 有两条公切线
B.直线 的方程为
C.圆 上存在两点 和 使得
D.圆 上的点到直线 的最大距离为
【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆的位置关系;两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解:对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故正确;
对于B,将两圆方程作差可得 ,即得公共弦 的方程为 ,B符合题意;
对于C,直线 经过圆 的圆心 ,所以线段 是圆 的直径,故圆 中不存在比 长的弦,C不符合题意;
对于D,圆 的圆心坐标为 ,半径为2,圆心到直线 的距离为 ,所以圆 上的点到直线 的最大距离为 ,D符合题意.
故答案为:ABD.
【分析】A:两圆满相交,有两条公切线,正确;B:两圆方程作差,可得;
C:注意AB过圆心,是直径; D:垂径定理的应用。
12.(2020高二上·肥城期中)直线 分别与 轴, 轴交于 , 两点,点 在圆 上,则 面积的可能取值是( )
A. B.2 C.4 D.6
【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】在 中,令 ,得 ,令 ,得 ,
所以 , ,
所以 ,
由 知,圆心为 ,半径 ,
所以圆心 到直线 的距离 ,
所以点 到直线 的距离 ,
所以 面积的范围为 .
所以三角形的面积可以为2,4,6
故答案为:BCD
【分析】由题意可知: , ,求出长,再利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离,则点 到直线 的最大值为圆心到直线的距离加上一个半径,最小
值为圆心到直线的距离减去一个半径,再结合三角形面积公式即可求出面积的取
值范围,即可得到答案。
三、填空题
13.(2021高一下·铜仁期末)已知 为圆 : 上第二象限的一动点,直线 , 与圆 的另一个交点分别为 , ,且直线 , 的斜率之和为0,则直线 的斜率是 .
【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解:设直线 方程为 ,则直线 方程为 ,
由 ,得 ,
,
所以 ,
因为 是直线与圆的交点的横坐标之一,
所以 , ,
由 得 ,
,
所以 ,
因为 是直线与圆的交点的横坐标之一,
所以 ,则
所以 ,
,
所以直线 的斜率为 ,
因为 ,所以
故答案为:
【分析】设直线 方程为 ,则直线 方程为 ,然后将两直线方程分别与圆方程联立方程组,求出A,B两点的坐标,从而可求出直线AB的斜率。
14.(2021·宁波模拟)直线 与圆 相交于A,B两点,弦长 的最小值为 ,若 的面积为 ,则m的值为 .
【答案】2;
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】直线 恒过圆 内的定点 , ,
圆心C到直线的距离 ,所以 ,
即弦长 的最小值为2;由 ,
即 或 .若 ,则圆心到弦AB的距离
,故不符合题意;当 时,圆心到直线的距离为
,设弦AB的中点为N,又 ,故 ,
即直线 的倾斜角为 或 ,则m的值为 .
故答案为2,
【分析】根据点到直线的距离公式和勾股定理、面积公式可得。
15.(2021·济宁模拟)实数 、 满足 ,则 的取值范围是 .
【答案】[-1,3]
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆 的圆心坐标为 ,该圆的半径为 ,
设 ,可知直线 与圆 有公共点,
所以, ,即 ,解得 .
因此, 的取值范围是[-1,3].
故答案为:[-1,3].
【分析】设 ,可知直线 与圆 有公共点,利用圆心到直线的距离不大于圆的半径可得出关于t的不等式,由此可解得t的取值范围,即为所求。
16.(2020高二上·四川期中)动直线 与曲线 有公共点,则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】在等式 两边平方并整理得 ,由 可知 ,
所以曲线 为圆 的上半圆,如下图所示:
当直线 过点 时,则 ,可得 ,
由图象可知,当直线 与曲线 的交点在第一象限时, ;
当直线 过点 时,则 ,可得 ;
由图象可知,当直线 与曲线 的交点在第二象限时, .
综上所述, 的取值范围是 .
故答案为: .
【分析】先作出图形,可知曲线 为圆 的上半圆,数形结合即可得出 的取值范围.
四、解答题
17.已知过点 的圆M的圆心为 ,且圆M与直线 相切.
(1)求圆M的标准方程;
(2)若过点 且斜率为k的直线l交圆M于A,B两点,若 的面积为 ,求直线l的方程.
【答案】(1)解:设圆M的标准方程为: ,
则圆心M到直线 的距离为 ,
由题意得 ,解得 或 舍去 ,所以 ,
所以圆M的方程为
(2)解:设直线l的方程为 ,则圆心M到直线l的距离为 ,
,
又点 到直线l的距离为 ,
,解得 , ,
则直线的方程为 .
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【分析】 (1)根据题意设圆M的标准方程为: , 因为圆M 直线 相切,得 ,求出a,r进而得出圆的标准方程;
(2)求出|AB|,及点P到直线l的距离,表示出
,求出斜率k,进而得出直线方程.
18.(2022高一下·焦作期末)已知圆 经过坐标原点 ,圆心在 轴正半轴上,且与直线 相切.
(1)求圆 的标准方程.
(2)直线 : 与圆 交于 , 两点.
(i)求 的取值范围;
(ii)证明:直线 与直线 的斜率之和为定值.
【答案】(1)设圆C的圆心C坐标为 ,其中a>0,
由题意知, ,
又圆C与直线3x+4y-8=0相切,则圆心C到此直线的距离为:
,所以 ,解得a=1或a=-4(舍去),
所以圆心C为 , ,
故圆C的标准方程为: ;
(2)由(1), ,
因为直线 交圆C于点A,B,
所以
(i)k的取值范围是 ;
(ii)证明:设 ,
由韦达定理,得 ,
又
,
所以直线OA与直线OB的斜率之和为定值1.
【知识点】直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1) 设圆C的圆心C坐标为 ,其中a> 0,半径为r,圆C经过坐标原点O,圆心在x轴正半轴上,则r= a,再结合点到直线的距离公式,即可求解;
(2) (i)联立直线与圆的方程,可得 ,结合△> 0,即可求解 的取值范围;
(ii)由于 ,结合韦达定理,即可证明.
19.(2020高一上·黄陵期末)已知点 ,直线 及圆 .
(1)求过点M的圆C的切线方程;
(2)若直线 与圆C相切,求实数 的值;
(3)若直线 与圆C相交于A、B两点,且弦AB的长为 ,求 的值.
【答案】(1)解:由题意 , .
过点 且斜率不存在的直线为 与圆 相切,
过点 且斜率存在的直线,设其方程为 ,即 ,
∴ ,解得 ,切线方程为 ,即 .
∴所求切线方程为 或
(2)解:由题意 ,解得 或
(3)解: ,
∴ ,解得
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)根据圆的切线到圆心的距离等于半径,可得当直线的斜率不存在时方程为 ,符合题意;而直线的斜率存在时,利用点斜式列式并结合点到直线的距离公式加以计算,得到切线方程为 ,即可得出答案;
(2)根据圆的切线到圆心的距离等于半径,利用点到直线的距离公式建立关于a的方程,解之即可得到a的值。
20.(2020高二上·遵义月考)已知圆 ,直线 .
(1)判断直线 与圆 的位置关系;
(2)若直线 与圆 交于不同两点 ,且 ,求直线 的方程.
【答案】(1)解:将圆方程化为标准方程 ,所以圆C的圆心 ,半径 ,圆心 到直线 的距离 ,因此直线l与圆C相交
(2)解:设圆心到直线l的距离为d,则 ,又 ,解得 ∴所求直线为x-y=0或x+y-2=0.
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)通过比较圆心到直线的距离与半径的关系,不难发现直线和圆相交.(2)根据垂径定理,得到圆心与直线的距离,进而列方程求解即可.
21.(2021高一下·抚州期末)已知点 在圆 上运动.
(1)求 的最大值;
(2)求 的最小值.
【答案】(1)由题意,点 在圆 上运动,
设 ,整理得 ,则 表示点 与点 连线的斜率,
当该直线与圆相切时, 取得最大值和最小值,
又由 ,解得 ,所以
所以 的最大值为 .
(2)设 ,整理得 ,
则 表示直线 在 轴上的截距,
当该直线与圆相切时, 取得最大值和最小值,
由 ,解得 ,所以
所以 的最小值为 .
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1)设 ,利用斜率模型,可转化为 ,根据圆心到直线的距离等于半径求解;
(2)设m=2x+y, 利用截距模型,可转化为2x+y-m=0,根据圆心到直线的距离等于半径求解.
22.(2020高二上·大同期中)已知直线 ,圆 .
(1)求直线 被圆截得的弦长;
(2)在直线 取一点 ,设Q为圆C上的点,求 的取值范围.
【答案】(1)解:由题得圆 ,它表示圆心为 ,半径为 的圆.
圆心到直线的距离 ,
所以直线 被圆截得的弦长为 .
(2)解: ,
.
故 的取值范围为 .
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)先求出圆心到直线的距离,再求直线 被圆截得的弦长;(2)利用数形结合求出 的取值范围.
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