【精品解析】高中数学人教A版（2019）选择性必修一第二章 直线和圆的方程单元测试

高中数学人教A版（2019）选择性必修一第二章 直线和圆的方程单元测试
一、单选题
1．（2021高一下·贵阳期末）已知两点 和 ，则直线 的倾斜角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（2021高二下·湖北期末）若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高一下·贵州期末）已知直线 ，直线 ，则 与 之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021·成都模拟）已知 为圆 上一动点，则点 到直线 的距离的最大值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高二下·开封期末）已知直线 经过点 ，且点 ， 到 的距离相等，则 被经过 ， ， 三点的圆所截得的弦长为（　　）
A． 或 B． C． 或 D．
6．（2021·四川模拟）圆 的圆心到经过点 的直线l的距离为 ，则直线 的方程为（　　）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
7．（2021高二下·二道期末）直线 被 截得弦长为6，则ab的最大值是（　　）
A．9 B．4 C． D．
8．（2020高二上·嘉兴期末）已知圆 ，有下列四个命题：
①一定存在与所有圆都相切的直线；②有无数条直线与所有的圆都相交；③存在与所有圆都没有公共点的直线；④所有的圆都不过原点.其中正确的命题个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2020高一下·秦淮期末）设直线l经过点 ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（　　）
A． B． C． D．x+2y=0
10．（2020高二上·郓城月考）下列说法中，正确的有（　　）
A．过点 且在 ， 轴截距相等的直线方程为
B．直线 在 轴上的截距为
C．直线 的倾斜角为
D．过点 并且倾斜角为 的直线方程为
11．（2021·张家口模拟）已知直线 与圆 ，则下列说法中正确的是（　　）
A．直线l与圆M一定相交
B．若 ，则直线l与圆M相切
C．当 时，直线l与圆M的相交弦最长
D．圆心M到直线l的距离的最大值为
12．（2021·青岛模拟）已知圆 ： ，下列说法正确的是（　　）
A． 的取值范围是
B．若 ，过 的直线与圆 相交所得弦长为 ，方程为
C．若 ，圆 与圆 相交
D．若 ， ， ，直线 恒过圆 的圆心，则 恒成立
三、填空题
13．（2021高一下·玉林期末）已知 三个顶点的直角坐标为分别为 ， ， ，则 边上的中线 所在的直线方程为　 　.
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）已知圆 ，圆 ，则两圆公切线的方程为　 　.
15．（2021高一下·资阳期末）直线 经过点 ，且分别与直线 和 相交于 ， 两点，若 ，则直线 的方程为　 　．
16．（2021·安庆模拟）已知圆 ，点 是直线 的一动点， 是圆 的一条直径，则 的最小值等于　 　.
四、解答题
17．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式）已知△ABC的内角平分线CD的方程为 ，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．
（1）求点A到直线CD的距离；
（2）求点C的坐标．
18．（2021高二下·遵义期末）已知 圆心在直线 上，且过点 、 ．
（1）求 的标准方程；
（2）已知过点 的直线 被所截得的弦长为4，求直线 的方程．
19．（2020高二上·上海月考）已知圆C的圆心为 ，且与直线 相切，
（1）求该圆的方程；
（2）若点P在圆C上运动，求 的最大值和最小值.
20．（2021高一下·赣州期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 ，过点 的直线与圆 相交于不同的两点 ， .
（1）求 面积的最大值；
（2）若 ，求直线 的方程.
21．（2020高二上·蚌埠期末）已知圆C过点 ，且与圆 外切于点 ，点 是x轴上的一个动点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）当圆C上存在点Q，使 ，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围.
22．（2020高一上·咸阳期末）已知圆 和 轴相切于点 ，与 轴的正半轴交于 、 两点（ 在 的左侧），且 .
（Ⅰ）求圆 的方程；
（Ⅱ）过点 任作一条直线与圆 ： 相交于点 、 ，连接 和 ，记 和 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】由题意，两点 和 ，利用斜率公式可得 ，
设直线 的倾斜角为 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，即直线 的倾斜角为 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，从而求出直线AB的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线AB的倾斜角。
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得 ，解得 ，
故答案为：C．
【分析】 求出圆的标准方程，结合点与圆的位置关系建立不等式关系进行求解即可.
3．【答案】D
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】直线 的方程可化为 ，
则 与 之间的距离 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合平行直线距离公式，从而求出两直线 与 之间的距离。
4．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】∵圆 ，∴圆心 ，半径 ，
∴圆心到直线的距离 ，
∴圆 上的点到直线 的距离最大值为 ，
故答案为：C.
【分析】 由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，加上半径得答案.
5．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，经过 ， ， 三点的圆的圆心为 ，半径为 ，
再由点 ， 到经过点 的直线 的距离相等，
可知直线 的斜率存在，设 ，
则 ，得 ，即直线 的方程为 或 ．
当直线 的方程为 时，圆心 适合直线方程，直线 被圆截得的弦长为 ；
当直线 的方程为 时，圆心 到直线 的距离 ，
直线 被圆截得的弦长为 ．
被经过 ， ， 三点的圆所截得的弦长为 或 ．
故答案为：A．
【分析】 由已知求得经过O，A，B三点的圆的圆心坐标与半径，再求出直线的方程，分类求出圆心到直线l的距离，再由垂径定理求弦长即可.
6．【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】当直线l的斜率存在时，设经过点 的直线l的方程为 ，即 ，
所以圆 的圆心 到直线l的距离为 ，解得： 或 ，
所以直线l的方程为 或
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，此时圆心 到直线的距离为3，不满足题意；
综上，直线l的方程为 或 .
故答案为：B
【分析】 由圆的方程求得圆心坐标，分析可知所求直线斜率存在，设直线方程，由点到直线的距离公式列式求直线的斜率，则直线方程可求.
7．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将 化为(x+1)2+(y-2)2=9是圆心为(-1，2)，半径为3的圆，
又因为直线 被 截得弦长为6，
所以直线 必过圆心(-1，2)，
∴2a×(-1)-2b+2=0
则a+b=1
则，当且仅当时，等号成立.
故答案为：D
【分析】根据直线与圆的位置关系及弦长公式，结合基本不等式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆 知
圆心坐标为 ，半径 ，圆心在直线 上，①假设存在直线与所有圆均相切，设为
则 到 的距离为
可得 ，
直线与所有圆均相切，故切线应与 无关，可取 ，有
解得 .即
所以，存在与所有圆均相切的直线，故①正确；
过点 介于两相切直线之间的直线，均与所有圆相交，故②正确；
过点 在两相切直线之外部区域的直线，与所有圆均没有交点，故③正确；
假设过原点，则 ，得 或 ，故④错误.
故答案为：C
【分析】首先求出圆心坐标以及半径，结合题意①由圆与直线相切的位置关系利用点到直线的距离公式即可得到k与b的值，由此判断正确；②③根据直线与两条切线的位置关系即可得出与圆相交和相离的直线；④结合题意假设过原点即可得出结果由此判断出错误；由此即可得出答案。
9．【答案】A,B
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：设直线l经过点 ，且在两坐标轴上的截距相等，
当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为 ，则 ， ，所以直线方程为 ，即 ；
当截距都不为零，则设直线方程为 ，则 ，所以直线方程为 ，即
综上直线方程为： 或
故答案为：AB
【分析】 当直线经过原点时，求得要求的方程．当直线不经过原点时，设方程为x+y=k，把点P（2，1）代入，求得k的值，可得所求的直线方程，综合可得结论．
10．【答案】B,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的点斜式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】对A项，点 在直线 上，且该直线在 ， 轴截距都为 ，则A不符合题意；
对B项，令 ，则直线 在 轴上的截距为 ，则B符合题意；
对C项， 可化为 ，则该直线的斜率 ，则倾斜角 ，则C不符合题意；
对D项，过点 并且倾斜角为 的直线上的所有点的横坐标 ，则D符合题意；
故答案为：BD
【分析】由点 在直线 上，结合截距的定义判断A；令 ，得出该直线在 轴上的截距，从而判断B；先得出该直线的斜率，从而得出其倾斜角，判断C；由倾斜角为 的直线上的所有点的横坐标都相等，从而判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】 ，即 ，是以 为圆心，以1为半径的圆，
A.因为直线 ，直线l过原点， ，原点在圆外，所以直线l与圆M不一定相交，故错误；
B.若 ，则直线 ，直线l与圆M相切，故正确；
C.当 时，直线l的方程为 ，过圆M的圆心，故正确；
D.由点到直线距高公式，知 (当 时，等号成立).故正确，
故答案为：BCD.
【分析】求出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可判断A,B。
关于C项，可验证K=-1时直线过圆心，此时相交弦最长。
关于D项，将圆心到直线的距离公式整理，利用均值定理求解最值。
12．【答案】A,C,D
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】对于A，方程表示圆可得 ，
解得 ，A符合题意；
对于B，若 ，可得圆方程： ，
过 的直线与圆 相交所得弦长为 ，
则圆心 到直线的距离为 ，当直线的斜率不存在时， ，满足条件，B不正确；
对于C， ，圆心 ，半径 ，
圆 ，圆心为 ，半径 ，
两圆心的距离为 ，两圆相交，C符合题意；
对于D，直线 恒过圆 的圆心，
可得 .
，
当且仅当 时取等号，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 将圆C的方程转化成圆的标准方程，再利用圆的性质，即可解出．
13．【答案】
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】 ， ，
的中点 的坐标为 ，又 ，
由直线方程的两点式得 边上的中线所在直线方程为 ，
整理为一般式为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合中点坐标公式，从而求出A，B的中点M的坐标，再利用两点式求出直线AB边上的中线CM所在的直线方程，再转化为直线的一般式方程。
14．【答案】x+1=0
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解析圆 ，圆心为 ，半径为1；
圆 ，圆心为 ，半径为5.
易知两圆内切，切点为 ，又两圆圆心都在 轴上，
所以两圆公切线的方程为 ，即x+1=0.
故答案为：x+1=0
【分析】 根据题意判断两圆内切，公切线只有一条，求出即可．
15．【答案】 或
【知识点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】直线 和 之间的距离为 ，
由 做 于 ，所以 ，因为 ，
所以 与 的夹角为 ，
当直线 的斜率存在时，设为 ，则 的直线方程为 ，
所以 ，解得 ，则 的直线方程为 ；
当直线 的斜率不存在时，则 的直线方程为 ，
与直线 和 的交点为 和 ，
因为两点间的距离为 ，符合题意，
所以 的直线方程为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】利用两平行线求距离的方法，从而求出直线 和 之间的距离，作 于 ，从而求出 的长 ，因为 ，从而求出两直线 与 的夹角 ，再利用分类讨论的方法结合两直线求夹角公式，从而求出直线的斜率或结合两直线求交点的方法，联立两直线方程求出直线 和 的交点坐标，从而求出直线的方程。
16．【答案】
【知识点】向量加减混合运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】圆 圆心 到直线 的距离 ，
.
故答案为：
【分析】 运用向量加减运算和数量积的性质，可得，即为 ，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．
17．【答案】（1）解：点 到直线 的距离
（2）解：依题意，点 关于直线 的对称点 在边 上，设 .则
，解得 ，
即 .
∴直线 的方程为 .
联立直线 与 的方程，解得 点的坐标为
【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】(1)根据题意由点到直线的距离公式代入数值计算出结果即可。
(2)首先由点的对称性质求出点的坐标，由点斜式得出直线的方程联立直线的方程求出点C的坐标。
18．【答案】（1）由点 、 可得 中点坐标为 ， ，
所以直线 的垂直平分线的斜率为-1，
可得直线 的垂直平分线的方程为： 即 ，
由 可得： ，所以圆心为 ，
，
所以 的标准方程为 ，
（2）设直线的方程为 即 ，
圆心 到直线的距离 ，
则 可得 ，
即 ，解得： 或 ，
所以直线 的方程为 或 ，
即 或
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)由已知条件即可求出点的A与B的坐标，由此得出 中点坐标然后由斜率的坐标公式以及直线垂直的斜率之间的关系，求出直线 的垂直平分线的斜率然后由点斜式求出 直线 的垂直平分线的方程，联立两个方程求出圆心的坐标，再由两点间的距离公式计算出圆的半径，由此得出圆的标准方程。
(2)首先根据题意设出直线的方程，再由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式求出k的值，然后由点斜式求出直线的方程即可。
19．【答案】（1）设圆的半径为r，由直线与圆相切，d=r，
即 ，所以圆的半径为1.
故圆的标准方程为： .
（2）设 ，即 ，
因为点P在圆C上运动，
只需 与 有公共点，
即圆心 到直线 的距离 即可.
∴ ，解得：
故 的最大值为 ，最小值为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)根据题意由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算出圆的半径，从而得出圆的方程。
(2)由已知条件设 ，即 ，结合点到直线的距离公式求出圆心坐标到直线的距离，从而得到 由此即可得出 的最大值。
20．【答案】（1）设 ，则 ，
且 ，
∵ ，所以 ，
∴ 面积取得最大值 .
（2）设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
解得 ，
根据题意，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，即 ，
则 ，解得 ，
因此，直线 的方程为 .
【知识点】函数的最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】(1)根据题意已知条件结合三角形的面积公式整理得到，由正弦函数的性质即可求出最大值。
(2)首先由元的几何性质即可求出圆心到直线的距离，再设出直线AB的方程利用点到直线的距离公式计算出k的值，由此得到直线的方程。
21．【答案】（1）解：所求圆与圆 相切于点 ，则所求圆的圆心在 轴上.
所以设圆 ，则 ，解得， ， ，
故圆C的标准方程为：
（2）解：当圆C上存在点Q，使 ，
等价于直线 或 与圆C有交点，
由对称性可知点O到直线 或 距离相等.
点O到直线 的距离小于等于半径1，
即 ，解得 ，
故实数m的取值范围是 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)利用直线与圆相切的性质结合题意即可计算出b与r的值由此即可得到圆的方程。
(2)根据题意即可得出直线与圆有交点结合圆的对称性以及点到直线的距离公式即可得出dr即，从而得到m的取值范围。
22．【答案】解：（Ⅰ）依题意可设圆心 的坐标为 ，则圆 的半径为 .
又 ，
∴ ，
解得 .
∴圆 的方程为 .
（Ⅱ）由 ，令y=0得 ，
所以 ， .
①当直线 的斜率为0时，可知 ，即 ；
②当直线 的斜率不为0时，设直线 ： ，
将 代入 ，整理得 ，
.
设 ， ，
∴ ， .
∴ ， .
综上可知， 为定值.
【知识点】斜率的计算公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用圆 和 轴相切于点 ， 可设圆心 的坐标为 ，则圆 的半径为 ，又 ，再利用两点距离公式求出m的值，进而求出圆的标准方程。
（2）利用（1）求出的圆的标准方程结合圆C与 轴的正半轴交于 、 两点（ 在 的左侧），从而令y=0得 ， 进而求出点M，N的坐标，再利用点斜式设出过点M的直线方程，再结合分类讨论的方法结合过点 任作一条直线与圆 ： 相交于点 、 ，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，再结合两点求斜率公式，进而证出 为定值 。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一第二章 直线和圆的方程单元测试
一、单选题
1．（2021高一下·贵阳期末）已知两点 和 ，则直线 的倾斜角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】由题意，两点 和 ，利用斜率公式可得 ，
设直线 的倾斜角为 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，即直线 的倾斜角为 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，从而求出直线AB的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线AB的倾斜角。
2．（2021高二下·湖北期末）若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得 ，解得 ，
故答案为：C．
【分析】 求出圆的标准方程，结合点与圆的位置关系建立不等式关系进行求解即可.
3．（2021高一下·贵州期末）已知直线 ，直线 ，则 与 之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】直线 的方程可化为 ，
则 与 之间的距离 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合平行直线距离公式，从而求出两直线 与 之间的距离。
4．（2021·成都模拟）已知 为圆 上一动点，则点 到直线 的距离的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】∵圆 ，∴圆心 ，半径 ，
∴圆心到直线的距离 ，
∴圆 上的点到直线 的距离最大值为 ，
故答案为：C.
【分析】 由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，加上半径得答案.
5．（2021高二下·开封期末）已知直线 经过点 ，且点 ， 到 的距离相等，则 被经过 ， ， 三点的圆所截得的弦长为（　　）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，经过 ， ， 三点的圆的圆心为 ，半径为 ，
再由点 ， 到经过点 的直线 的距离相等，
可知直线 的斜率存在，设 ，
则 ，得 ，即直线 的方程为 或 ．
当直线 的方程为 时，圆心 适合直线方程，直线 被圆截得的弦长为 ；
当直线 的方程为 时，圆心 到直线 的距离 ，
直线 被圆截得的弦长为 ．
被经过 ， ， 三点的圆所截得的弦长为 或 ．
故答案为：A．
【分析】 由已知求得经过O，A，B三点的圆的圆心坐标与半径，再求出直线的方程，分类求出圆心到直线l的距离，再由垂径定理求弦长即可.
6．（2021·四川模拟）圆 的圆心到经过点 的直线l的距离为 ，则直线 的方程为（　　）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】当直线l的斜率存在时，设经过点 的直线l的方程为 ，即 ，
所以圆 的圆心 到直线l的距离为 ，解得： 或 ，
所以直线l的方程为 或
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，此时圆心 到直线的距离为3，不满足题意；
综上，直线l的方程为 或 .
故答案为：B
【分析】 由圆的方程求得圆心坐标，分析可知所求直线斜率存在，设直线方程，由点到直线的距离公式列式求直线的斜率，则直线方程可求.
7．（2021高二下·二道期末）直线 被 截得弦长为6，则ab的最大值是（　　）
A．9 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将 化为(x+1)2+(y-2)2=9是圆心为(-1，2)，半径为3的圆，
又因为直线 被 截得弦长为6，
所以直线 必过圆心(-1，2)，
∴2a×(-1)-2b+2=0
则a+b=1
则，当且仅当时，等号成立.
故答案为：D
【分析】根据直线与圆的位置关系及弦长公式，结合基本不等式求解即可.
8．（2020高二上·嘉兴期末）已知圆 ，有下列四个命题：
①一定存在与所有圆都相切的直线；②有无数条直线与所有的圆都相交；③存在与所有圆都没有公共点的直线；④所有的圆都不过原点.其中正确的命题个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆 知
圆心坐标为 ，半径 ，圆心在直线 上，①假设存在直线与所有圆均相切，设为
则 到 的距离为
可得 ，
直线与所有圆均相切，故切线应与 无关，可取 ，有
解得 .即
所以，存在与所有圆均相切的直线，故①正确；
过点 介于两相切直线之间的直线，均与所有圆相交，故②正确；
过点 在两相切直线之外部区域的直线，与所有圆均没有交点，故③正确；
假设过原点，则 ，得 或 ，故④错误.
故答案为：C
【分析】首先求出圆心坐标以及半径，结合题意①由圆与直线相切的位置关系利用点到直线的距离公式即可得到k与b的值，由此判断正确；②③根据直线与两条切线的位置关系即可得出与圆相交和相离的直线；④结合题意假设过原点即可得出结果由此判断出错误；由此即可得出答案。
二、多选题
9．（2020高一下·秦淮期末）设直线l经过点 ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（　　）
A． B． C． D．x+2y=0
【答案】A,B
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：设直线l经过点 ，且在两坐标轴上的截距相等，
当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为 ，则 ， ，所以直线方程为 ，即 ；
当截距都不为零，则设直线方程为 ，则 ，所以直线方程为 ，即
综上直线方程为： 或
故答案为：AB
【分析】 当直线经过原点时，求得要求的方程．当直线不经过原点时，设方程为x+y=k，把点P（2，1）代入，求得k的值，可得所求的直线方程，综合可得结论．
10．（2020高二上·郓城月考）下列说法中，正确的有（　　）
A．过点 且在 ， 轴截距相等的直线方程为
B．直线 在 轴上的截距为
C．直线 的倾斜角为
D．过点 并且倾斜角为 的直线方程为
【答案】B,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的点斜式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】对A项，点 在直线 上，且该直线在 ， 轴截距都为 ，则A不符合题意；
对B项，令 ，则直线 在 轴上的截距为 ，则B符合题意；
对C项， 可化为 ，则该直线的斜率 ，则倾斜角 ，则C不符合题意；
对D项，过点 并且倾斜角为 的直线上的所有点的横坐标 ，则D符合题意；
故答案为：BD
【分析】由点 在直线 上，结合截距的定义判断A；令 ，得出该直线在 轴上的截距，从而判断B；先得出该直线的斜率，从而得出其倾斜角，判断C；由倾斜角为 的直线上的所有点的横坐标都相等，从而判断D.
11．（2021·张家口模拟）已知直线 与圆 ，则下列说法中正确的是（　　）
A．直线l与圆M一定相交
B．若 ，则直线l与圆M相切
C．当 时，直线l与圆M的相交弦最长
D．圆心M到直线l的距离的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】 ，即 ，是以 为圆心，以1为半径的圆，
A.因为直线 ，直线l过原点， ，原点在圆外，所以直线l与圆M不一定相交，故错误；
B.若 ，则直线 ，直线l与圆M相切，故正确；
C.当 时，直线l的方程为 ，过圆M的圆心，故正确；
D.由点到直线距高公式，知 (当 时，等号成立).故正确，
故答案为：BCD.
【分析】求出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可判断A,B。
关于C项，可验证K=-1时直线过圆心，此时相交弦最长。
关于D项，将圆心到直线的距离公式整理，利用均值定理求解最值。
12．（2021·青岛模拟）已知圆 ： ，下列说法正确的是（　　）
A． 的取值范围是
B．若 ，过 的直线与圆 相交所得弦长为 ，方程为
C．若 ，圆 与圆 相交
D．若 ， ， ，直线 恒过圆 的圆心，则 恒成立
【答案】A,C,D
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】对于A，方程表示圆可得 ，
解得 ，A符合题意；
对于B，若 ，可得圆方程： ，
过 的直线与圆 相交所得弦长为 ，
则圆心 到直线的距离为 ，当直线的斜率不存在时， ，满足条件，B不正确；
对于C， ，圆心 ，半径 ，
圆 ，圆心为 ，半径 ，
两圆心的距离为 ，两圆相交，C符合题意；
对于D，直线 恒过圆 的圆心，
可得 .
，
当且仅当 时取等号，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 将圆C的方程转化成圆的标准方程，再利用圆的性质，即可解出．
三、填空题
13．（2021高一下·玉林期末）已知 三个顶点的直角坐标为分别为 ， ， ，则 边上的中线 所在的直线方程为　 　.
【答案】
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】 ， ，
的中点 的坐标为 ，又 ，
由直线方程的两点式得 边上的中线所在直线方程为 ，
整理为一般式为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合中点坐标公式，从而求出A，B的中点M的坐标，再利用两点式求出直线AB边上的中线CM所在的直线方程，再转化为直线的一般式方程。
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）已知圆 ，圆 ，则两圆公切线的方程为　 　.
【答案】x+1=0
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解析圆 ，圆心为 ，半径为1；
圆 ，圆心为 ，半径为5.
易知两圆内切，切点为 ，又两圆圆心都在 轴上，
所以两圆公切线的方程为 ，即x+1=0.
故答案为：x+1=0
【分析】 根据题意判断两圆内切，公切线只有一条，求出即可．
15．（2021高一下·资阳期末）直线 经过点 ，且分别与直线 和 相交于 ， 两点，若 ，则直线 的方程为　 　．
【答案】 或
【知识点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】直线 和 之间的距离为 ，
由 做 于 ，所以 ，因为 ，
所以 与 的夹角为 ，
当直线 的斜率存在时，设为 ，则 的直线方程为 ，
所以 ，解得 ，则 的直线方程为 ；
当直线 的斜率不存在时，则 的直线方程为 ，
与直线 和 的交点为 和 ，
因为两点间的距离为 ，符合题意，
所以 的直线方程为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】利用两平行线求距离的方法，从而求出直线 和 之间的距离，作 于 ，从而求出 的长 ，因为 ，从而求出两直线 与 的夹角 ，再利用分类讨论的方法结合两直线求夹角公式，从而求出直线的斜率或结合两直线求交点的方法，联立两直线方程求出直线 和 的交点坐标，从而求出直线的方程。
16．（2021·安庆模拟）已知圆 ，点 是直线 的一动点， 是圆 的一条直径，则 的最小值等于　 　.
【答案】
【知识点】向量加减混合运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】圆 圆心 到直线 的距离 ，
.
故答案为：
【分析】 运用向量加减运算和数量积的性质，可得，即为 ，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．
四、解答题
17．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式）已知△ABC的内角平分线CD的方程为 ，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．
（1）求点A到直线CD的距离；
（2）求点C的坐标．
【答案】（1）解：点 到直线 的距离
（2）解：依题意，点 关于直线 的对称点 在边 上，设 .则
，解得 ，
即 .
∴直线 的方程为 .
联立直线 与 的方程，解得 点的坐标为
【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】(1)根据题意由点到直线的距离公式代入数值计算出结果即可。
(2)首先由点的对称性质求出点的坐标，由点斜式得出直线的方程联立直线的方程求出点C的坐标。
18．（2021高二下·遵义期末）已知 圆心在直线 上，且过点 、 ．
（1）求 的标准方程；
（2）已知过点 的直线 被所截得的弦长为4，求直线 的方程．
【答案】（1）由点 、 可得 中点坐标为 ， ，
所以直线 的垂直平分线的斜率为-1，
可得直线 的垂直平分线的方程为： 即 ，
由 可得： ，所以圆心为 ，
，
所以 的标准方程为 ，
（2）设直线的方程为 即 ，
圆心 到直线的距离 ，
则 可得 ，
即 ，解得： 或 ，
所以直线 的方程为 或 ，
即 或
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)由已知条件即可求出点的A与B的坐标，由此得出 中点坐标然后由斜率的坐标公式以及直线垂直的斜率之间的关系，求出直线 的垂直平分线的斜率然后由点斜式求出 直线 的垂直平分线的方程，联立两个方程求出圆心的坐标，再由两点间的距离公式计算出圆的半径，由此得出圆的标准方程。
(2)首先根据题意设出直线的方程，再由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式求出k的值，然后由点斜式求出直线的方程即可。
19．（2020高二上·上海月考）已知圆C的圆心为 ，且与直线 相切，
（1）求该圆的方程；
（2）若点P在圆C上运动，求 的最大值和最小值.
【答案】（1）设圆的半径为r，由直线与圆相切，d=r，
即 ，所以圆的半径为1.
故圆的标准方程为： .
（2）设 ，即 ，
因为点P在圆C上运动，
只需 与 有公共点，
即圆心 到直线 的距离 即可.
∴ ，解得：
故 的最大值为 ，最小值为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)根据题意由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算出圆的半径，从而得出圆的方程。
(2)由已知条件设 ，即 ，结合点到直线的距离公式求出圆心坐标到直线的距离，从而得到 由此即可得出 的最大值。
20．（2021高一下·赣州期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 ，过点 的直线与圆 相交于不同的两点 ， .
（1）求 面积的最大值；
（2）若 ，求直线 的方程.
【答案】（1）设 ，则 ，
且 ，
∵ ，所以 ，
∴ 面积取得最大值 .
（2）设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
解得 ，
根据题意，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，即 ，
则 ，解得 ，
因此，直线 的方程为 .
【知识点】函数的最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】(1)根据题意已知条件结合三角形的面积公式整理得到，由正弦函数的性质即可求出最大值。
(2)首先由元的几何性质即可求出圆心到直线的距离，再设出直线AB的方程利用点到直线的距离公式计算出k的值，由此得到直线的方程。
21．（2020高二上·蚌埠期末）已知圆C过点 ，且与圆 外切于点 ，点 是x轴上的一个动点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）当圆C上存在点Q，使 ，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：所求圆与圆 相切于点 ，则所求圆的圆心在 轴上.
所以设圆 ，则 ，解得， ， ，
故圆C的标准方程为：
（2）解：当圆C上存在点Q，使 ，
等价于直线 或 与圆C有交点，
由对称性可知点O到直线 或 距离相等.
点O到直线 的距离小于等于半径1，
即 ，解得 ，
故实数m的取值范围是 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)利用直线与圆相切的性质结合题意即可计算出b与r的值由此即可得到圆的方程。
(2)根据题意即可得出直线与圆有交点结合圆的对称性以及点到直线的距离公式即可得出dr即，从而得到m的取值范围。
22．（2020高一上·咸阳期末）已知圆 和 轴相切于点 ，与 轴的正半轴交于 、 两点（ 在 的左侧），且 .
（Ⅰ）求圆 的方程；
（Ⅱ）过点 任作一条直线与圆 ： 相交于点 、 ，连接 和 ，记 和 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【答案】解：（Ⅰ）依题意可设圆心 的坐标为 ，则圆 的半径为 .
又 ，
∴ ，
解得 .
∴圆 的方程为 .
（Ⅱ）由 ，令y=0得 ，
所以 ， .
①当直线 的斜率为0时，可知 ，即 ；
②当直线 的斜率不为0时，设直线 ： ，
将 代入 ，整理得 ，
.
设 ， ，
∴ ， .
∴ ， .
综上可知， 为定值.
【知识点】斜率的计算公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用圆 和 轴相切于点 ， 可设圆心 的坐标为 ，则圆 的半径为 ，又 ，再利用两点距离公式求出m的值，进而求出圆的标准方程。
（2）利用（1）求出的圆的标准方程结合圆C与 轴的正半轴交于 、 两点（ 在 的左侧），从而令y=0得 ， 进而求出点M，N的坐标，再利用点斜式设出过点M的直线方程，再结合分类讨论的方法结合过点 任作一条直线与圆 ： 相交于点 、 ，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，再结合两点求斜率公式，进而证出 为定值 。
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