重庆市第29重点中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

重庆市第29重点中学2020-2021学年高二下学期期中考试
数学试题卷
（时间：120分钟
满分：150分）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．）
1．
若函数，则（
）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
2．
函数的导函数的图像如图所示，则（
）
A．为的极大值点
B．为的极大值点
C．为的极大值点
D．为的极小值点
3．
已知，则的值为（
）
A．
6
B．
8
C．
12
D．
8或12
4．
已知函数的导函数为，且满足，则为（
）
A．
B．
C．
D．
5．
如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，，，则、、的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
7．现有2名学生代表，2名教师代表和1名家长代表合影，则同类代表互不相邻的排法共有（
）种
A．24
B．48
C．72
D．96
8．已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
　　
D．
二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（
）
A．
18
B．
C．
D．
10．已知为虚数单位，则下面命题正确的是（
）
A．
若复数，则．
B．
复数满足，在复平面内对应的点为，则．
C．
若复数，满足，则．
D．
复数的虚部是1．
11．设函数，则下列说法正确的是（
）
A．定义域是（0，+）
B．x
∈（0，1）时，图象位于x轴下方
C．有且仅有两个极值点
D．存在单调递增区间
12．设函数，且、、，下列命题正确的是（
）
A．存在，使得
B．若，则
C．若，则
D．对任意，总有，使得
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，则______
14．由1，2，3，4，5，6组成的无重复数字的三位数中，则十位上是偶数的数共有______个．
15．已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是______
16．已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是______
四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程;（2）求曲线过点的切线方程．
18．在中，，___________．
（1）求；
（2）若，求．
从①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分)
19．在边长为2的菱形中，，点是边的中点（如图1），将沿折起到的位置，连接，得到四棱锥（如图2）
（1）证明：平面平面；
（2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知椭圆
离心率等于，、是椭圆上的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上位于直线两侧的动点．当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．
21．下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．
（1）求两索塔之间桥面的长度；
（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．
22．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，且恒成立，求的取值范围．
重庆市第29重点中学2020-2021学年高二下学期期中考试
数学试题答案
1、单项选择题
BADB
DBBA
2、多项选择题
CD
ABC
BD
AC
3、填空题
8
60
K≥1
4、解答题
17.【详解】(1)由题意得，所以
又因为，所以切线方程为
整理得.
（2）或.设切点为，因为切点在函数图像上，所以，
故曲线在该点处的切线为
因为切线过点，所以
即.解得或
当时，切点为，因为，所以切线方程为，
当时，切点为，因为，
所以切线方程为
所以切线方程为或.
18.【解析】（1）因为，
所以
因为，所以
即，因为，；
（2）若选①
则在中，由余弦定理，
得，解得或(舍去)，所以
若选②
，则，
由正弦定理，得，解得，所以；
若选③
，由余弦定理得
，解得或(舍去)，所以．
19.【解析】（1）连接图1中的，因为四边形为菱形，且所以为等边三角形，所以
所以在图2中有，因为
所以平面，因为，所以平面平面
（2）因为平面平面，平面平面，，，所以平面，
以为原点建立如图空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值.
20.【解析】（1）由题意可得，解得a＝4，b，c＝2．∴椭圆C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
当∠APQ＝∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，
则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2），
联立，得（3+4k2）x2+8k（3﹣2k）x+4（3﹣2k）2﹣48＝0．
∴．同理直线PB的直线方程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），
可得．∴，，
∴AB的斜率为定值．
21.（1）设，，记，则
，
由，
化简得
，解得或（舍去），
所以，．
答：两索塔之间的距离AC=500米．
（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.
则，且，即（注：不写定义域扣1分）
记，则，
令，解得，
当，，单调递减；
当，，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值.
22.（?）由题可知函数的定义域为，，
当且，即时，，则函数在上单调递增；
当且，即时，令，即，
解得或，且均为正数，令得，令得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
（?）若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，
所以结合（?）可知，.又因为，所以.由恒成立，可得恒成立，
而
令，则.
令，则，
则函数在上单调递减，所以，故，
则函数在上单调递减，，可得，
所以的取值范围是.
P
D
C
B
A