第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用
1．归纳总结反比例函数的图象和性质．(重点)
2．理解并掌握反比例函数的比例系数k的几何意义．(重点，难点)
一、情境导入
如图所示，对于反比例函数，在其图象上任取一点P，过P点作PQ⊥x轴于Q点并连接OP.
试着猜想△OPQ的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y＝(k≠0)中k值的几何意义．
二、合作探究
探究点一：用待定系数法确定反比例函数的解析式
已知点P(－1，4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值是( )
A．－
B.
C．4
D．－4
解析：∵点P(－1，4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，∴k＝xy＝(－1)×4＝－4，故选D.
方法总结：本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式，已知反比例函数上一点的坐标，要求函数解析式，只要把这点的坐标代入就可求得．
探究点二：反比例函数解析式中k的几何意义
如图所示，点A在反比例函数y＝的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．
解析：先设点A的坐标，然后用A的坐标表示△AOC的面积，进而求出k的值．
解：S△AOC＝yA·xA，∵A在反比例函数y＝的解析式上，∴xA·yA＝k，∴S△AOC＝·k＝2，∴k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝.
方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴与向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k|值的一半．
探究点三：反比例函数的图象与性质的综合应用
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都是反比例函数y＝的图象上的点，且x1<0解析：∵k＝1>0，∴y＝的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，∵x1<0方法总结：解决这类问题时应该从反比例函数图象性质入手，通过图象在不同象限中的性质来判断点的坐标的大小关系，解题时可画出反比例函数的大致图象，方便解答．
探究点四：反比例函数与一次函数的综合
【类型一】反比例函数与一次函数图象的综合
在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝(k≠0)的图象大致是( )
解析：在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝(k≠0)的图象只有两种情况，当k>0时，y＝分布在第一、三象限，此时y＝kx－k经过第一、三、四象限；当k<0时，y＝分布在第二、四象限，此时y＝kx－k经过第一、二、四象限，故选D.
方法总结：判断函数图象分布是否正确，主要通过假设条件，根据函数的图象及性质判断，若与选项一致则正确；若相矛盾，则错误．
【类型二】反比例函数与一次函数图象与性质的综合
如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于M、N两点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
解析：(1)把点N(－1，－4)代入y＝即可求出反比例函数解析式，进而求出点M，再把M、N代入一次函数即可求出一次函数的解析式．
(2)由图象可知当反比例函数大于一次函数时x的取值范围是x<－1或0解：(1)由反比例函数定义可知k＝(－1)×(－4)＝4.
∴y＝，而M(2，m)在反比例函数图象上．
∴m＝＝2，∴M(2，2)．
即在一次函数图象上有
∴a＝2，b＝－2，∴y＝2x－2.
(2)由图中观察可知，满足题设x的取值范围为x<－1或0方法总结：分别利用反比例函数和一次函数的定义求出其解析式，根据图象和性质判断，在解题过程中要考虑全面，不要漏解．
三、板书设计
本次教学过程重在归纳总结，通过引导学生主动参与来加深其对知识的理解，在结合基本题型教学的同时，通过发散思维的引导，进一步提升学生的创新思维和实际动手能力，全面提升学生的认知水平．1．2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数y＝(k>0)的图象与性质
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1．了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制简单的反比例函数图象．
2．了解并学会应用反比例函数y＝(k>0)图象的基本性质．(重点，难点)
一、情境导入
已知某面粉厂加工出4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市．
所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中形象地画出这个图形吗？
二、合作探究
探究点一：作反比例函数y＝(k>0)图象的步骤
画出反比例函数y＝的图象．
解析：画出函数的图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x≠0.
解：列表如下：
x
－8
－4
－2
－1
1
2
4
8
y＝
－1
－2
－4
－8
8
4
2
1
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得y＝的图象．如图：
方法总结：绘制反比例函数的图象与绘制一次函数的图象的步骤基本一致，不同之处在于反比例函数图象为曲线，连线时应该尽量保证线条自然．
探究点二：反比例函数y＝(k>0)的图象与性质
【类型一】反比例函数y＝(k>0)图象上的点
已知函数y＝的图象经过点(6，1)，则下列各点在该函数图象上的是( )
A．(－2，3)
B．(－1，－6)
C．(1，－6)
D．(2，－6)
解析：把(6，1)代入y＝，k＝1×6＝6.即y＝.∵(－2)×3＝－6，(－1)×(－6)＝6，1×(－6)＝－6，2×(－6)＝－12，∴(－1，
－6)符合y＝，故选B.
方法总结：根据题意可求得函数解析式，将各项中点的坐标代入即可得正确选项．
【类型二】反比例函数y＝(k>0)图象的增减性
已知反比例函数y＝的图象过点(－2，－3)，函数图象上有两点A(2，y1)，B(5，y2)，则y1与y2的大小关系为( )
A．y1>y2
B．y1＝y2
C．y1D．无法确定
解析：由题设可知反比例函数的解析式为y＝，根据其图象性质可知点A，B均位于第一象限内的函数图象上，∵xA>xB，∴y1方法总结：解此类题型时，先要由k的符号判断函数的增减性，再确定是不是在同一个分支上，再根据情况解题．
三、板书设计
本次教学过程中，引导学生动手绘制函数图象，切实感受函数图象的基本特性，在加深学生理解的同时提升学生动手解决问题的能力．在自主探究和合作交流过程中，学生能力得到有效提升，并为下一课时的学习打下良好的基础．第2课时 反比例函数y＝(k<0)的图象与性质
1．了解反比例函数y＝(k<0)的相关性质(重点，难点)．
2．理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系．(重点，难点)
3．利用双曲线的性质解决简单的数学问题．
一、情境导入
x
－6
－3
－2
－1
1
2
3
6
y
－1
－2
－3
－6
6
3
2
1
x
－6
－3
－2
－1
1
2
3
6
y
1
2
3
6
－6
－3
－2
－1
在一个平面直角坐标系中，根据所提供的数据描绘出相应的反比例函数图象.
观察这两个图象，试着求出它们的解析式，看看它们之间是否存在着某些关系？
二、合作探究
探究点一：作反比例函数y＝(k<0)图象的步骤
画出反比例函数y＝－的图象．
解析：画函数的图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，注意，k<0时，图象在第二、四象限．
解：列表如下：
x
－8
－4
－2
－1
1
2
4
8
y＝－
1
2
4
8
－8
－4
－2
－1
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得y＝－的图象．如图：
方法总结：y＝(k<0)图象的画法与y＝(k>0)的画法类似，但解题时要注意图象所在的象限．
探究点二：反比例函数y＝(k<0)的图象与性质
对于函数y＝－，下列说法正确的是( )
A．它的图象分别在第一、三象限
B．它的图象经过点(－1，2)
C．当x>0时，y的值随x的值增大而减小
D．当x<0时，y的值随x的值增大而减小
解析：函数y＝－的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，当x＝－1时，y＝2，所以A、C、D错误，B正确．故选B.
方法总结：解决这类问题需要熟练掌握反比例函数的基本图形和相关性质．
探究点三：双曲线的概念及性质
如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为(－1，3)，则它们的另一个交点坐标是( )
A．(1，3)
B．(3，1)
C．(1，－3)
D．(－1，3)
解析：双曲线是轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形，故选C.
方法总结：在解与反比例函数图象有关的问题时可以运用双曲线的对称性快速求解．
三、板书设计
教学的过程中，引导新的问题引发学生自主解答，在解决问题的过程中，加深对知识的理解和巩固．自主探究和合作交流相互结合，循序渐进，逐步积累解决问题的基本技巧，使学生能够适应考试命题方向．
