中小学教育资源及组卷应用平台
要点一、空间向量的相关概念
1.空间向量的定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。
2.空间向量的长度（模）：
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或
3．空间向量的有关概念：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。
单位向量：长度为1的空间向量，即.
相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
要点二、空间向量的加减法
1．加减法定义
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
2．运算律
交换律：
结合律：
要点三、空间向量的数乘运算
定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当＞0时，a与a方向相同；
当＞0时，a与a方向相反；
当=0时，a=0．
a的长度是a的长度的||倍．如右图所示．
2．运算律．
分配律：(a+b)=a+b；
结合律：(μa)=
(μ)a．
要点四、共线定理
1．共线向量的定义．
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．注意：
0与任意向量是共线向量．
2．共线向量定理．
空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．
3.
共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
要点五、共面定理
1．共面向量的定义．
通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
注意：
空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．
2．共面向量定理．
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（），使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使
或对空间任一点，有，上式叫做平面的向量表达式．
3.共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
类型一：空间向量的线性运算
例1.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（
）
B．
C．
D．
例2.如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（
）
①；②；③；④．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
例3．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：.
例4.正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值：
（1）；
（2）。
类型二：共线向量定理的应用
例1.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
类型三：共面向量及应用
例1．已知，从平面外一点引向量，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
一、选择题
1.已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝
B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝
D．x＝1，y＝
2.已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面
B．共面
C．不一定共面
D．无法判断
3．(2021·福建泉州市普通高中质量检测)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，N是A1B的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．(a＋b－c)
B．(a＋b＋c)
C．a＋b＋c
D．a＋(b＋c)
4．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
5.已知正方形ABCD的边长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0
B．3
C．2＋
D．2
6．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
7．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－
x＋
，则实数x的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
8.已知空间三点坐标分别为A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)．又点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x的值为( )
A．－4
B．1
C．10
D．11
9.若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB
B．P?AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
10.已知向量，则的最小值为?
??
A.
?
B.
C.
2
D.
4
二、多选题
1．下列命题中，真命题是( )
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．下列命题中为假命题的是( )
A．任意两个空间向量的模能比较大小
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
3．下列命题中假命题的是( )
A．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆
B．若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b
C．若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D．空间中任意两个单位向量必相等
4．(2021·辽宁省抚顺一中月考)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，互相垂直的有( )
A．与
B．与
C．与
D．与
5.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论是( )
A.＋与＋是一对相反向量
B.－与－是一对相反向量
C.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D.－与－是一对相反向量
三、填空题
1.已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝________.
2.在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，若＝x·＋2y·＋3z·，则x＋y＋z＝________________.
3．(2020·陕西白水高二期末)如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝____．
4．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC＝2?1，N为PD中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝____，y＝____，z＝____．
5．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝____．
四、解答题
1.已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，＝α＋β，求α＋β的值．
2.如图，设O为?ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．
3.如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，设．
试用表示向量；
若，，，求MN的长．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
要点一、空间向量的相关概念
1.空间向量的定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。
2.空间向量的长度（模）：
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或
3．空间向量的有关概念：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。
单位向量：长度为1的空间向量，即.
相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
要点诠释：
①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．
要点二、空间向量的加减法
1．加减法定义
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
2．运算律
交换律：
结合律：
空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
要点三、空间向量的数乘运算
定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当＞0时，a与a方向相同；
当＞0时，a与a方向相反；
当=0时，a=0．
a的长度是a的长度的||倍．如右图所示．
2．运算律．
分配律：(a+b)=a+b；
结合律：(μa)=
(μ)a．
要点四、共线定理
1．共线向量的定义．
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．注意：
0与任意向量是共线向量．
2．共线向量定理．
空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．
要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b；
存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b．
注意:
b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．
3.
共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
要点五、共面定理
1．共面向量的定义．
通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
注意：
空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．
2．共面向量定理．
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（），
使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使
或对空间任一点，有，
上式叫做平面的向量表达式．
3.共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
类型一：空间向量的线性运算
例1.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（
）
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】选：A，
∵，，，∴，
例2.如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（
）
①；②；③；④．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【答案】A
【解析】
①；
②；
③；
④．
因此，①②两式的运算结果为向量，而③④两式运算的结果不为向量．故选A．
例3．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：.
【答案】见解析
【解析】如图所示，∵G是ΔABC的重心，∴，D为BC的中点
∴
例4.正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值：
（1）；
（2）。
【答案】见解析
【解析】（1）∵，
又∵，∴x=1，y=－1，z=1。
（2）∵
，
又∵，∴，，。
类型二：共线向量定理的应用
例1.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
【答案】－8
【解析】＝＋＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2，
又A，B，D三点共线，所以＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，所以所以k＝－8.
类型三：共面向量及应用
例1．已知，从平面外一点引向量，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
【答案】见解析
【解析】（1）∵四边形是平行四边形，∴，∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴.所以，平面平面．
一、选择题
1.已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝
B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝
D．x＝1，y＝
【答案】D
【解析】因为＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝1，y＝.
2.已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面
B．共面
C．不一定共面
D．无法判断
【答案】B
【解析】因为＋＋＝1，所以点P，A，B，C四点共面．
3．(2021·福建泉州市普通高中质量检测)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，N是A1B的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．(a＋b－c)
B．(a＋b＋c)
C．a＋b＋c
D．a＋(b＋c)
【答案】B
【解析】本小题主要考查解空间向量的运算，若AB中点为D，＝＋＝(a＋b＋c)，故选B．
4．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
【答案】A
【解析】∵＋＝＋，∴＝．∴∥且||＝||．
∴四边形ABCD为平行四边形．
5.已知正方形ABCD的边长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0
B．3
C．2＋
D．2
【答案】D
【解析】利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a＋b＋c|＝2||＝2.
6．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
【答案】A
【解析】 因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又与有公共点A，所以A，B，D三点共线．
7．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－
x＋
，则实数x的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
【答案】A
【解析】 ＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－.
又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
∴－x－＝1，解得x＝.
8.已知空间三点坐标分别为A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)．又点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x的值为( )
A．－4
B．1
C．10
D．11
【答案】D
【解析】∵点P(x，－1，3)在平面ABC内，∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
∴(x－4，－2，0)＝λ(－2，2，－2)＋μ(－1，6，－8)．
即消去λ，μ解得x＝11.
9.若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB
B．P?AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
【答案】A
【解析】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以＝(1－n)＋n，即－＝n(－)，即＝n，所以与共线．
又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
10.已知向量，则的最小值为?
??
A.
?
B.
C.
2
D.
4
【答案】C
【解析】由已知，所以，
因为，所以．故选C．
二、多选题
1．下列命题中，真命题是( )
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【答案】ABC
【解析】共线的单位向量方向相同或相反，只有D错误．
2．下列命题中为假命题的是( )
A．任意两个空间向量的模能比较大小
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】BCD
【解析】对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，向量a与向量b不相等，它们的模可以相等．
3．下列命题中假命题的是( )
A．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆
B．若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b
C．若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝pD．空间中任意两个单位向量必相等
【答案】ABD
【解析】 A．假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．
B．假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但B中向量a与b的方向不一定相同．
C．真命题．向量的相等满足递推规律．
D．假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故D错．
4．(2021·辽宁省抚顺一中月考)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，互相垂直的有( BCD )
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】BCD
【解析】 结合图分析可知DA与PB，PD与AB，PA与CD分别垂直，则选项B，C，D中两向量垂直．而A中，只有当矩形ABCD为正方形时，才有⊥．
5.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论是( )
A.＋与＋是一对相反向量
B.－与－是一对相反向量
C.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D.－与－是一对相反向量
【答案】ACD
【解析】利用图形及向量的运算可知，B是相等向量，ACD是相反向量．
三、填空题
1.已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝________.
【答案】0
【解析】设D为AB的中点，则＋＝2.
又M为△ABC的重心，则＝－2，所以＋＋＝0.
2.在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，若＝x·＋2y·＋3z·，则x＋y＋z＝________________.
【答案】
【解析】如图所示，有＝＋＋＝＋＋(－1)·.
又因为＝x·＋2y·＋3z·，所以 解得
所以x＋y＋z＝1＋－＝.
3．(2020·陕西白水高二期末)如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝____．
【答案】1
【解析】 如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，
＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)
＝＋＋－＝＋＋．
∵＝x＋y＋z，∴x＋y＋z＝＋＋＝1．
4．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC＝2?1，N为PD中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝____，y＝____，z＝____．
【答案】x＝__－__，y＝__－__，z＝____
【解析】 在PD上取一点F，使PFFD＝2?1，连接MF，则＝＋，
∵＝－＝－＝＝(－)，＝＝＝－，
∴＝－－＋，∴x＝－，y＝－，z＝．
5．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝____．
【答案】
【解析】 ∵P、A、B、C四点共面，对于＝＋＋λ，∴＋＋λ＝1，解得λ＝．
四、解答题
1.已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，＝α＋β，求α＋β的值．
【答案】1
【解析】∵A、B、P三点共线，∴存在实数t，使＝t，
∵＝－，＝－，∴有＝(1－t)＋t，
∵＝α＋β，∴α＝1－t，β＝t．∴α＋β＝1．
2.如图，设O为?ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．
【答案】x＝，y＝－
【解析】因为＝＋＋＝－＋－－＝－＋＝－＋(＋)
＝－＋(＋)＝－＋＋(－)＝－＋＋，
所以x＝，y＝－.
3.如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，设．
试用表示向量；
若，，，求MN的长．
【答案】见解析
【解析】
；
因为
，
所以，
所以，即．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
