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要点一、空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．
2．空间向量数量积的性质
设是非零向量，是单位向量，则
①；②；③或；
④；⑤
3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）（a）·b=（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．
要点二、
空间两个向量的夹角．
定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量a与
b
的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。
利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
要点三
、投影向量
(1)投影向量
在空间，向量a在向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉.
(2)向量a在平面β上的投影向量
向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
要点四、空间向量的长度。
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：。
将其推广：
。
要点五、空间向量的垂直。
若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b．根据数量积的定义：⊥?·＝0
类型一
数量积的概念及其运算
例1：设为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①;②;③;④;其中正确的个数为（
）
类型二
利用空间向量的数量积求夹角
例1：（2020山东济宁高二上检测）已知两条异面直线的方向向量分别为，且，则两条直线的夹角为（
）
类型三
利用空间向量的数量积求距离（线段长度）
例1：（2020上海复旦大学附属中学高二下期中）如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.
（1）证明：
（2）若为棱上一点，满足，求线段的长.
例2：如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
一、选择题
1.若1，是直线l的方向向量，3，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系是（
）
A.
直线l在平面内
B.
平行
C.
相交但不垂直
D.
垂直
2.设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2．其中正确的是(
)
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
3.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60°
B．120°
C．30°
D．90°
4.向量，若，则x的值为(
)
A.
B.
1
C.
D.
3
5.若向量、的坐标满，，则的等于(
)
A.
5
B.
C.
7
D.
6.已知向量，，若，则x的值为(
)
A.
B.
2
C.
3
D.
7.已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(
)
A．
B．
C．－
D．0
8.在空间四边形ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，则下列结论不成立的是（
）
A．|＋＋|＝|＋－|
B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2
C．(＋＋)·＝0
D．·＝·＝·
9.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为（
）
A．a
B．a
C．a
D．a
10.（2021年北京海淀阶段性考试）已知四面体的所有棱长都是，点是的中点，则（
）
11.已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于（
）
A．6
B．6
C．12
D．144
12．(2020·北京市房山区期末检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与向量的夹角是( )
A．150°
B．135°
C．45°
D．30°
13.已知空间向量满足则与的夹角为（
）
14.（2020甘肃天水一中高二月考）在四棱锥中，底面，底面为正方形，,则异面直线与所成角的余弦值为（
）
15.（2020安徽阜阳界首高二上期末）在底面是正方形的四棱柱中，，则（
）
16.若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是( )
A．等边三角形
B．斜三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
17.设O，A，B，C为空间四点，若·＝0，·＝0，·＝0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定
18.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(
)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
二、多选题
1.设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题正确的有(
)
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|＝
C．a2b＝b2a
D．(3a＋2b)(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题，其中正确的有(
)
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．与的夹角为60°
D．正方体的体积为|··|
三、填空题
1.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝____．
2.若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝____．
3．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝____．
4.（2020年浙江宁波九校高二上期末联考）在正四面体中，分别为棱的中点，设，用表示向量，异面直线与所成角的余弦值为____________.
5.（2021年山东心高考测评联盟高二上联考）如图所示，已知平行六面体中，为的中点，则的长度为______________
四、解答题
1.已知向量，，．
求；
若，求m，n；
求
2.已知，2，，0，，
求实数x的值；
若，求实数的值．
3.如下图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长．
4.（2020广西柳州高级中学期中）如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且为的中点.
证明：；
求直线与所成角的余弦值.
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要点一、空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．
2．空间向量数量积的性质
设是非零向量，是单位向量，则
①；
②；
③或；
④；
⑤
3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）（a）·b=（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．
要点诠释：
（1）对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，
若不能得出，即向量不能约分．
（2）若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．
（3）对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，
有，向量的数量积不满足结合律．
要点二、
空间两个向量的夹角．
定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量a与
b
的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。
要点诠释：
1.
规定：
2.
特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；
如果，那么与垂直，记作。
利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
要点三
、投影向量
(1)投影向量
在空间，向量a在向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉.
(2)向量a在平面β上的投影向量
向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
要点四、空间向量的长度。
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：。
将其推广：
。
要点五、空间向量的垂直。
若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b．根据数量积的定义：⊥?·＝0
类型一
数量积的概念及其运算
例1：设为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①;②;③;④;其中正确的个数为（
）
【答案】
【解析】①正确，；②错误，向量不能做比值；③；④正确，
类型二
利用空间向量的数量积求夹角
例1：（2020山东济宁高二上检测）已知两条异面直线的方向向量分别为，且，则两条直线的夹角为（
）
【答案】
【解析】设向量的夹角为，则,故两条直线的夹角为
类型三
利用空间向量的数量积求距离（线段长度）
例1：（2020上海复旦大学附属中学高二下期中）如图，在四棱锥中，PA⊥底面，点为棱的中点.
（1）证明：
（2）若为棱上一点，满足，求线段的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：为的中点，
因为为上一点，所以可设
，
，
例2：如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
【答案】当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；
当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为.
【解析】∵∠ACD＝90°，∴·CD＝0，同理可得·＝0.∵AB与CD成60°角，
∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.
又＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．
∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；
当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为.
归纳总结：(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．
(2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝＝.
(3)可用|a·e|＝|a||cos
θ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．
一、选择题
1.若1，是直线l的方向向量，3，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系是（
）
A.
直线l在平面内
B.
平行
C.
相交但不垂直
D.
垂直
【答案】C
【解析】解：由不存在实数使得成立，因此l与不垂直．
由，可得直线l与平面不平行．因此直线l与平面的位置关系是相交但不垂直．
2.设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2．其中正确的是( D )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
【答案】D
【解析】根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D．
3.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60°
B．120°
C．30°
D．90°
【答案】D
【解析】由题意得a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝＝．
∴cos〈a，b〉＝＝＝－．∴〈a，b〉＝120°．
4.向量，若，则x的值为(
)
A.
B.
1
C.
D.
3
【答案】D
【解析】向量，，，解得．
5.若向量、的坐标满，，则的等于(
)
A.
5
B.
C.
7
D.
【答案】B
【解析】解：因为向量、的坐标满，，
所以向量、1，，所以；
6.已知向量，，若，则x的值为(
)
A.
B.
2
C.
3
D.
【答案】A
【解析】因为向量，，，所以3，；
又，所以，即，解得．故选：A．
7.已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(
)
A．
B．
C．－
D．0
【答案】D
【解析】 ·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB
＝||||－||||＝0，所以⊥．所以cos〈，〉＝0．
8.在空间四边形ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，则下列结论不成立的是（
）
A．|＋＋|＝|＋－|
B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2
C．(＋＋)·＝0
D．·＝·＝·
【答案】C
【解析】A中，由|＋＋|＝|＋－|，得(＋＋)2＝(＋－)2，
展开得(＋)2＋||2＋2(＋)·＝(＋)2＋||2－2(＋)·，整理得(＋)·＝0，因为，，两两垂直，所以(＋)·＝0成立，因此A正确，易得B正确，
(＋＋)·＝(＋＋)·(－)＝·－||2＋·－·＋||2－·＝||2－||2，当||＝||时，||2－||2＝0，否则不成立，因此C不正确．
D中，·＝·(－)＝·－·＝0，同理·＝0，·＝0，因此D正确．
9.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为（
）
A．a
B．a
C．a
D．a
【答案】A
【解析】设＝a，＝b，＝c，∵＝，∴＝＝(＋＋)＝(a＋b＋c)，
∵N为BB1的中点，∴＝＋＝＋＝a＋c，
∴＝－＝(a＋c)－(a＋b＋c)＝a－b＋c，∴||2＝(a－b＋c)2＝a2＋a2＋a2＝a2，∴||＝a，故选A.
10.（2021年北京海淀阶段性考试）已知四面体的所有棱长都是，点是的中点，则（
）
【答案】
【解析】由题意可知
11.已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于（
）
A．6
B．6
C．12
D．144
【答案】C
【解析】∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，
∴||＝12.
12．(2020·北京市房山区期末检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与向量的夹角是( )
A．150°
B．135°
C．45°
D．30°
【答案】B
【解析】 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵AB∥A1B1，AC∥A1C1，
∴∠C1A1B1的补角即为向量与向量的夹角．
∵△C1A1B1为等腰直角三角形，∴∠C1A1B1＝45°，∴向量与向量的夹角为180°－45°＝135°，故选B．
13.已知空间向量满足则与的夹角为（
）
【答案】
【解析】设向量的夹角为，由
14.（2020甘肃天水一中高二月考）在四棱锥中，底面，底面为正方形，,则异面直线与所成角的余弦值为（
）
【答案】
【解析】由题意知，
故
15.（2020安徽阜阳界首高二上期末）在底面是正方形的四棱柱中，，则（
）
【答案】
【解析】由题意知
16.若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是( )
A．等边三角形
B．斜三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】∵＋＝，－＝，∴·＝0，∴BC⊥AC，∴△ABC一定是直角三角形．
17.设O，A，B，C为空间四点，若·＝0，·＝0，·＝0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定
【答案】A
【解析】设＝e1，＝e2，＝e3，则e1·e2＝0，e2·e1＝0，e1·e3＝0，
∴||2＝(e2－e1)2＝|e1|2＋|e2|2，||2＝(e3－e1)2＝|e1|2＋|e3|2，||2＝(e3－e2)2＝|e3|2＋|e2|2，
由此可知△ABC任一边的平方小于另两边的平方和，所以△ABC为锐角三角形．
18.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(
)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】B
【解析】 因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋，
所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，
所以||＝||，因此△ABC是等腰三角形．
二、多选题
1.设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题正确的有(
)
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|＝
C．a2b＝b2a
D．(3a＋2b)(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
【答案】BD
【解析】 由于数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质知B正确；C中|a|2b＝|b|2a不一定成立；D正确．
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题，其中正确的有(
)
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．与的夹角为60°
D．正方体的体积为|··|
【答案】AB
【解析】 如图所示，
(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；
·(－)＝·＝0；
与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；
正方体的体积为||||||．
三、填空题
1.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝____．
【答案】0
【解析】原式＝·＋·＋·(－)＝·(－)＋·(＋)
＝·＋·＝·－·＝0．
2.若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝____．
【答案】C
【解析】 |a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5．∴|a－b＋2c|＝．
3．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝____．
【答案】C
【解析】∵＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋，
∴·(＋＋)＝·
(＋＋)＝2＋2＋2＝×22＋×32＋×12＝．
4.（2020年浙江宁波九校高二上期末联考）在正四面体中，分别为棱的中点，设，用表示向量，异面直线与所成角的余弦值为____________.
【答案】
【解析】画出对应的正四面体，设棱长均为1，可知，
.设异面直线与所成角为,
5.（2021年山东心高考测评联盟高二上联考）如图所示，已知平行六面体中，为的中点，则的长度为______________
【答案】
【解析】
四、解答题
1.已知向量，，．
求；
若，求m，n；
求
【答案】4，；，；，.
【解析】因为，,所以4，；
由，，
当时，，解得，；
因为，，所以，
，，
所以，．
2.已知，2，，0，，
求实数x的值；
若，求实数的值．
【答案】(1)2；(2)
【解析】2，，0，，
，设，
0，，0，，
即的值为2；
2，，，，
2，，，，
，，．
3.如下图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)a.
【解析】(1)证明设＝p，＝q，＝r.
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°，
＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，
∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0，
∴MN⊥AB.同理可证MN⊥CD；
(2)解由(1)可知＝(q＋r－p)，
∴||2＝2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]
＝[a2＋a2＋a2＋2(－－)]＝×2a2＝，∴||＝a.
∴MN的长为a.
4.（2020广西柳州高级中学期中）如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且为的中点.
证明：；
求直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）
,
,.
所以直线与所成角的余弦值为
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